Complejo cotangente

En matemáticas , el complejo cotangente es una generalización común del haz cotangente , fibrado normal y fibrado tangente virtual de una función de espacios geométricos como variedades o esquemas . Si es un morfismo de objetos geométricos o algebraicos, el complejo cotangente correspondiente puede considerarse como una "linealización" universal del mismo, que sirve para controlar la teoría de la deformación de . ^{[1] [2]} Se construye como un objeto en una determinada categoría derivada de haces sobre utilizando los métodos del álgebra homotópica . ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$

Las versiones restringidas de los complejos cotangentes fueron definidas por primera vez en varios casos por varios autores a principios de la década de 1960. A fines de la década de 1960, Michel André y Daniel Quillen propusieron de forma independiente la definición correcta para un morfismo de anillos conmutativos , utilizando métodos simpliciales para precisar la idea del complejo cotangente como dado al tomar el funtor derivado por la izquierda (no abeliano) de los diferenciales de Kähler . Luego, Luc Illusie globalizó esta definición a la situación general de un morfismo de topos anillados , incorporando así morfismos de espacios anillados , esquemas y espacios algebraicos a la teoría.

Motivación

Supongamos que y son variedades algebraicas y que hay un morfismo entre ellas. El complejo cotangente de es una versión más universal de las diferenciales relativas de Kähler . La motivación más básica para un objeto de este tipo es la secuencia exacta de diferenciales de Kähler asociadas a dos morfismos. Si es otra variedad, y si es otro morfismo, entonces hay una secuencia exacta ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$

${\displaystyle f^{*}\Omega _{Y/Z}\to \Omega _{X/Z}\to \Omega _{X/Y}\to 0.}$

En cierto sentido, por lo tanto, los diferenciales de Kähler relativos son un funtor exacto recto . (Literalmente, esto no es cierto, sin embargo, porque la categoría de variedades algebraicas no es una categoría abeliana y, por lo tanto, la exactitud recta no está definida). De hecho, antes de la definición del complejo cotangente, hubo varias definiciones de funtores que podrían extender la secuencia más hacia la izquierda, como los funtores de Lichtenbaum-Schlessinger y los módulos de imperfección. La mayoría de estos fueron motivados por la teoría de la deformación . ${\displaystyle T^{i}}$

Esta secuencia es exacta por la izquierda si el morfismo es suave. Si Ω admitiera un primer funtor derivado , entonces la exactitud por la izquierda implicaría que el homomorfismo conectivo se anulara, y esto sería ciertamente cierto si el primer funtor derivado de f , cualquiera que fuera, se anulara. Por lo tanto, una especulación razonable es que el primer funtor derivado de un morfismo suave se anula. Además, cuando cualquiera de los funtores que extendían la secuencia de diferenciales de Kähler se aplicaban a un morfismo suave, también se anulaban, lo que sugería que el complejo cotangente de un morfismo suave podría ser equivalente a los diferenciales de Kähler. ${\displaystyle f}$

Otra secuencia exacta natural relacionada con las diferenciales de Kähler es la secuencia exacta conormal. Si f es una inmersión cerrada con haz ideal I , entonces existe una secuencia exacta

${\displaystyle I/I^{2}\to f^{*}\Omega _{Y/Z}\to \Omega _{X/Z}\to 0.}$

Esta es una extensión de la secuencia exacta anterior: hay un nuevo término a la izquierda, el haz conormal de f , y los diferenciales relativos Ω _{X / Y} se han desvanecido porque una inmersión cerrada está formalmente no ramificada . Si f es la inclusión de una subvariedad suave, entonces esta secuencia es una secuencia exacta corta. ^[3] Esto sugiere que el complejo cotangente de la inclusión de una variedad suave es equivalente al haz conormal desplazado por un término.

Trabajos tempranos sobre complejos cotangentes

Los complejos cotangentes aparecieron en versiones múltiples y parcialmente incompatibles de creciente generalidad a principios de los años 1960. La primera instancia de los funtores de homología relacionados en el contexto restringido de extensiones de cuerpo apareció en Cartier (1956). Alexander Grothendieck desarrolló luego una versión temprana de los complejos cotangentes en 1961 para su teorema general de Riemann-Roch en geometría algebraica con el fin de tener una teoría de fibrados tangentes virtuales . Esta es la versión descrita por Pierre Berthelot en SGA 6, Exposé VIII. ^[4] Solo se aplica cuando f es un morfismo suavizable (uno que se factoriza en una inmersión cerrada seguida de un morfismo suavizado). ^[5] En este caso, el complejo cotangente de f como un objeto en la categoría derivada de haces coherentes en X se da de la siguiente manera:

• ${\displaystyle L_{0}^{X/Y}=i^{*}\Omega _{V/Y}.}$
• Si J es el ideal de X en V , entonces ${\displaystyle L_{1}^{X/Y}=J/J^{2}=i^{*}J.}$
• ${\displaystyle L_{i}^{X/Y}=0}$para todos los demás yo.
• El diferencial es el retroceso a lo largo de i de la inclusión de J en el haz de estructura de V seguido de la derivación universal ${\displaystyle L_{1}^{X/Y}\to L_{0}^{X/Y}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{V}}$ ${\displaystyle d:{\mathcal {O}}_{V}\to \Omega _{V/Y}.}$
• Todos los demás diferenciales son cero.

Esta definición es independiente de la elección de V, ^[6] y para un morfismo de intersección completo suavizable, este complejo es perfecto. ^[7] Además, si g  : Y → Z es otro morfismo de intersección completo suavizable y si se satisface una condición técnica adicional, entonces hay un triángulo exacto

${\displaystyle \mathbf {L} f^{*}L_{\bullet }^{Y/Z}\to L_{\bullet }^{X/Z}\to L_{\bullet }^{X/Y}\to \mathbf {L} f^{*}L_{\bullet }^{Y/Z}[1].}$

En 1963, Grothendieck desarrolló una construcción más general que elimina la restricción a los morfismos suavizables (que también funciona en contextos distintos a la geometría algebraica). Sin embargo, al igual que la teoría de 1961, esto produjo un complejo cotangente de longitud 2 solamente, correspondiente al truncamiento del complejo completo que aún no se conocía en ese momento. Este enfoque fue publicado más tarde en Grothendieck (1968). Al mismo tiempo, a principios de la década de 1960, teorías en gran medida similares fueron introducidas de forma independiente para anillos conmutativos (que corresponden al caso "local" de esquemas afines en geometría algebraica) por Gerstenhaber ^[8] y Lichtenbaum y Schlessinger ^[9] . Sus teorías se extendieron a complejos cotangentes de longitud 3, capturando así más información. ${\displaystyle \tau _{\leq 1}\mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }}$

La definición del complejo cotangente

La definición correcta del complejo cotangente comienza en el contexto homotópico . Quillen y André trabajaron con anillos conmutativos simpliciales , mientras que Illusie trabajó de manera más general con topos anillados simpliciales , cubriendo así la teoría "global" sobre varios tipos de espacios geométricos. Para simplificar, consideraremos solo el caso de anillos conmutativos simpliciales. Supongamos que y son anillos simpliciales y que es un -álgebra. Elija una resolución de mediante -álgebras libres simpliciales . Tal resolución de puede construirse utilizando el funtor -álgebra conmutativa libre que toma un conjunto y produce el -álgebra libre . Para un -álgebra , esto viene con una función de aumento natural que asigna una suma formal de elementos de a un elemento de mediante la regla ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle r:P^{\bullet }\to B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A[S]}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \eta _{B}:A[B]\to B}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle a_{1}[b_{1}]+\cdots +a_{n}[b_{n}]\mapsto a_{1}\cdot b_{1}+\cdots a_{n}\cdot b_{n}}$

Iterando esta construcción se obtiene un álgebra simple.

${\displaystyle \cdots \to A[A[A[B]]]\to A[A[B]]\to A[B]\to B}$

De donde provienen los mapas horizontales que componen los mapas de aumento para las distintas opciones. Por ejemplo, hay dos mapas de aumento a través de las reglas ${\displaystyle A[A[B]]\to A[B]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{i}[a_{i,1}[b_{i,1}]+\cdots +a_{i,n_{i}}[b_{i,n_{i}}]]&\mapsto a_{i}a_{i,1}[b_{i,1}]+\cdots +a_{i}a_{i,n_{i}}[b_{i,n_{i}}]\\&\mapsto a_{i,1}[a_{i}\cdot b_{i,1}]+\cdots +a_{i,n_{i}}[a_{i}\cdot b_{i,n_{i}}]\end{aligned}}}$

que se puede adaptar a cada una de las álgebras libres . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A[\cdots A[A[B]]}$

La aplicación del funtor diferencial de Kähler a produce un -módulo simplicial. El complejo total de este objeto simplicial es el complejo cotangente L ^{B / A} . El morfismo r induce un morfismo del complejo cotangente a Ω _{B / A} llamado mapa de aumento . En la categoría de homotopía de las A -álgebras simpliciales (o de los topos anillados simpliciales), esta construcción equivale a tomar el funtor derivado izquierdo del funtor diferencial de Kähler. ${\displaystyle P^{\bullet }}$ ${\displaystyle B}$

Dado un cuadrado conmutativo como sigue:

Existe un morfismo de complejos cotangentes que respeta las funciones de aumento. Esta función se construye eligiendo una resolución C -álgebra simple libre de D , por ejemplo, Como es un objeto libre, el compuesto hr puede elevarse a un morfismo. Al aplicar la functorialidad de las diferenciales de Kähler a este morfismo se obtiene el morfismo requerido de complejos cotangentes. En particular, dados los homomorfismos, esto produce la secuencia ${\displaystyle L^{B/A}\otimes _{B}D\to L^{D/C}}$ ${\displaystyle s:Q^{\bullet }\to D.}$ ${\displaystyle P^{\bullet }}$ ${\displaystyle P^{\bullet }\to Q^{\bullet }.}$ ${\displaystyle A\to B\to C,}$

${\displaystyle L^{B/A}\otimes _{B}C\to L^{C/A}\to L^{C/B}.}$

Hay un homomorfismo de conexión,

${\displaystyle L^{C/B}\to \left(L^{B/A}\otimes _{B}C\right)[1],}$

lo que convierte esta secuencia en un triángulo exacto.

El complejo cotangente también se puede definir en cualquier categoría de modelo combinatorio M . Supóngase que es un morfismo en M . El complejo cotangente (o ) es un objeto en la categoría de espectros en . Un par de morfismos componibles, e induce un triángulo exacto en la categoría de homotopía, ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle L^{f}}$ ${\displaystyle L^{B/A}}$ ${\displaystyle M_{B//B}}$ ${\displaystyle f:A\to B}$ ${\displaystyle g:B\to C}$

${\displaystyle L^{B/A}\otimes _{B}C\to L^{C/A}\to L^{C/B}\to \left(L^{B/A}\otimes _{B}C\right)[1].}$

Complejos cotangentes en la teoría de la deformación

Configuración

Una de las primeras aplicaciones directas del complejo cotangente es en la teoría de la deformación. Por ejemplo, si tenemos un esquema y un engrosamiento infinitesimal de cero cuadrado , es decir, un morfismo de esquemas donde el núcleo ${\displaystyle f:X\to S}$ ${\displaystyle S\to S'}$

${\displaystyle {\mathcal {I}}={\text{ker}}\{{\mathcal {O}}_{S'}\to {\mathcal {O}}_{S}\}}$

tiene la propiedad de que su cuadrado es el haz cero, por lo que

${\displaystyle {\mathcal {I}}^{2}=0}$

Una de las cuestiones fundamentales en la teoría de la deformación es construir el conjunto de ajuste en cuadrados cartesianos de la forma ${\displaystyle X'}$

${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}X&\to &X'\\\downarrow &&\downarrow \\S&\to &S'\end{matrix}}\right\}}$

Un par de ejemplos a tener en cuenta son los esquemas de extensión definidos sobre , o los esquemas definidos sobre un cuerpo de característica hasta el anillo donde . El complejo cotangente controla entonces la información relacionada con este problema. Podemos reformularlo considerando el conjunto de extensiones del diagrama conmutativo ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{2}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle k[\varepsilon ]}$ ${\displaystyle \varepsilon ^{2}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{X/S}^{\bullet }}$

${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &{\mathcal {G}}&\to &{\mathcal {O}}_{X'}&\to &{\mathcal {O}}_{X}&\to &0\\&&\uparrow &&\uparrow &&\uparrow \\0&\to &{\mathcal {I}}&\to &{\mathcal {O}}_{S'}&\to &{\mathcal {O}}_{S}&\to &0\end{matrix}}}$

que es un problema homológico. Entonces, el conjunto de tales diagramas cuyo núcleo es es isomorfo al grupo abeliano ${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

${\displaystyle {\text{Ext}}^{1}(\mathbf {L} _{X/S}^{\bullet },{\mathcal {G}})}$

mostrando que el complejo cotangente controla el conjunto de deformaciones disponibles. ^[1] Además, desde la otra dirección, si hay una secuencia exacta corta

${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &{\mathcal {G}}&\to &{\mathcal {O}}_{X'}&\to &{\mathcal {O}}_{X}&\to &0\end{matrix}}}$

existe un elemento correspondiente

${\displaystyle \xi \in {\text{Ext}}^{2}(\mathbf {L} _{X/S}^{\bullet },{\mathcal {G}})}$

cuyo desvanecimiento implica que es una solución al problema de deformación planteado anteriormente. Además, el grupo

${\displaystyle {\text{Ext}}^{0}(\mathbf {L} _{X/S}^{\bullet },{\mathcal {G}})}$

controla el conjunto de automorfismos para cualquier solución fija al problema de deformación.

Algunas implicaciones importantes

Una de las propiedades geométricamente más importantes del complejo cotangente es el hecho de que dado un morfismo de esquemas ${\displaystyle S}$

${\displaystyle f:X\to Y}$

Podemos formar el complejo cotangente relativo como el cono de ${\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }}$

${\displaystyle f^{*}\mathbf {L} _{Y/S}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X/S}^{\bullet }}$

encajando en un triángulo distinguido

${\displaystyle f^{*}\mathbf {L} _{Y/S}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X/S}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }\xrightarrow {+1} }$

Este es uno de los pilares de los complejos cotangentes porque implica que las deformaciones del morfismo de los esquemas - están controladas por este complejo. En particular, controla las deformaciones de como un morfismo fijo en , deformaciones de las cuales pueden extenderse a , lo que significa que hay un morfismo que se factoriza a través de la función de proyección compuesta con , y deformaciones de definidas de manera similar. Esta es una técnica poderosa y es fundamental para la teoría de Gromov-Witten (ver más abajo), que estudia los morfismos desde curvas algebraicas de un género fijo y un número fijo de punciones hasta un esquema . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}^{\bullet }}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\text{Hom}}_{S}(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f':X'\to S}$ ${\displaystyle X'\to X}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$

Propiedades del complejo cotangente

Cambio de base plana

Supóngase que B y C son A -álgebras tales que para todo q > 0 . Entonces existen cuasi-isomorfismos ^[10] ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{q}^{A}(B,C)=0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}L^{B\otimes _{A}C/C}&\cong C\otimes _{A}L^{B/A}\\L^{B\otimes _{A}C/A}&\cong \left(L^{B/A}\otimes _{A}C\right)\oplus \left(B\otimes _{A}L^{C/A}\right)\end{aligned}}}$

Si C es una A -álgebra plana, entonces la condición que se anula para q > 0 es automática. La primera fórmula demuestra entonces que la construcción del complejo cotangente es local en la base en la topología plana . ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{q}^{A}(B,C)}$

Propiedades que desaparecen

Sea f  : A → B . Entonces: ^{[11] [12]}

• Si B es una localización de A , entonces . ${\displaystyle L_{B/A}\simeq 0}$
• Si f es un morfismo étale , entonces . ${\displaystyle L_{B/A}\simeq 0}$
• Si f es un morfismo suave , entonces es cuasi-isomorfo a . En particular, tiene dimensión proyectiva cero. ${\displaystyle L_{B/A}}$ ${\displaystyle \Omega _{B/A}}$
• Si f es un morfismo de intersección completo local , entonces es un complejo perfecto con amplitud Tor en [-1,0]. ^[13] ${\displaystyle L_{B/A}}$
• Si A es noetheriano, , y está generado por una secuencia regular, entonces es un módulo proyectivo y es cuasi-isomorfo a ${\displaystyle B=A/I}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle I/I^{2}}$ ${\displaystyle L_{B/A}}$ ${\displaystyle I/I^{2}[1].}$
• Si f es un morfismo de k -álgebras perfectas sobre un cuerpo perfecto k de característica p > 0 , entonces . ^[14] ${\displaystyle L_{B/A}\simeq 0}$

Caracterización de intersecciones completas locales

La teoría del complejo cotangente permite dar una caracterización homológica de los morfismos de intersección completa local (lci), al menos bajo supuestos noetherianos. Sea f  : A → B un morfismo de anillos noetherianos tal que B es un A -álgebra finitamente generada. Tal como lo reinterpreta Quillen, el trabajo de Lichtenbaum–Schlessinger muestra que el segundo grupo de homología de André–Quillen se anula para todos los B -módulos M si y solo si f es lci. ^[15] Por lo tanto, combinado con el resultado de anulación anterior, deducimos: ${\textstyle D_{2}(B/A,M)}$

El morfismo f  : A → B es lci si y sólo si es un complejo perfecto con amplitud Tor en [-1,0]. ${\displaystyle L_{B/A}}$

Quillen conjeturó además que si el complejo cotangente tiene dimensión proyectiva finita y B es de dimensión Tor finita como un módulo A , entonces f es lci. ^[16] Esto fue demostrado por Luchezar Avramov en un artículo de Annals de 1999. ^[17] Avramov también extendió la noción de morfismo lci al entorno de tipo no finito, asumiendo solo que el morfismo f es localmente de dimensión plana finita, y demostró que la misma caracterización homológica de los morfismos lci se cumple allí (aparte de que ya no es perfecto). El resultado de Avramov fue mejorado recientemente por Briggs-Iyengar, quien mostró que la propiedad lci se sigue una vez que se establece que se desvanece para cualquier . ^[18] ${\displaystyle L_{B/A}}$ ${\displaystyle L_{B/A}}$ ${\displaystyle {\textstyle D_{n}(B/A,-)}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$

En todo esto, es necesario suponer que los anillos en cuestión son noetherianos. Por ejemplo, sea k un cuerpo perfecto de característica p > 0 . Entonces, como se señaló anteriormente, se anula para cualquier morfismo A → B de k -álgebras perfectas. Pero no todo morfismo de k -álgebras perfectas es lci. ^[19] ${\displaystyle L_{B/A}}$

Descenso plano

Bhargav Bhatt demostró que el complejo cotangente satisface (deriva) una descendencia fielmente plana . ^[20] En otras palabras, para cualquier morfismo fielmente plano f  : A → B de R -álgebras, se tiene una equivalencia

${\displaystyle L_{A/R}\simeq \mathrm {Tot} (L_{\mathrm {Cech} (A\to B)/R})}$

en la categoría derivada de R , donde el lado derecho denota el límite de homotopía del objeto cosimplicial dado al tomar la conerva de Čech de f . (La conerva de Čech es el objeto cosimplicial que determina el complejo de Amitsur .) De manera más general, todas las potencias exteriores del complejo cotangente satisfacen fielmente la descendencia plana. ${\textstyle L_{-/R}}$

Ejemplos

Esquemas suaves

Sea suave. Entonces el complejo cotangente es . En el marco de Berthelot, esto queda claro al tomar . En general, étale localmente en es un espacio afín de dimensión finita y el morfismo es proyección, por lo que podemos reducir a la situación donde y Podemos tomar la resolución de como el mapa identidad, y entonces queda claro que el complejo cotangente es el mismo que las diferenciales de Kähler. ${\displaystyle X\in \operatorname {Sch} /S}$ ${\displaystyle \Omega _{X/S}}$ ${\displaystyle V=X}$ ${\displaystyle S,X}$ ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle S=\operatorname {Spec} (A)}$ ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (A[x_{1},\ldots ,x_{n}]).}$ ${\displaystyle \operatorname {Spec} (A[x_{1},\ldots ,x_{n}])}$

Incrustaciones cerradas en esquemas suaves

Sea una incrustación cerrada de esquemas suaves en . Utilizando el triángulo exacto correspondiente a los morfismos , podemos determinar el complejo cotangente . Para ello, observe que por el ejemplo anterior, los complejos cotangentes y consisten en las diferenciales de Kähler y en el grado cero, respectivamente, y son cero en todos los demás grados. El triángulo exacto implica que es distinto de cero solo en el primer grado, y en ese grado, es el núcleo de la función Este núcleo es el fibrado conormal, y la sucesión exacta es la sucesión exacta conormal, por lo que en el primer grado, es el fibrado conormal . ${\displaystyle i:X\to Y}$ ${\displaystyle {\text{Sch}}/S}$ ${\displaystyle X\to Y\to S}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{X/S}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{Y/S}}$ ${\displaystyle \Omega _{X/S}}$ ${\displaystyle \Omega _{Y/S}}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}}$ ${\displaystyle i^{*}\mathbf {L} _{Y/S}\to \mathbf {L} _{X/S}.}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{X/Y}}$ ${\displaystyle C_{X/Y}}$

Intersección local completa

De manera más general, un morfismo de intersección completa local con un objetivo suave tiene un complejo cotangente perfecto en amplitud. Esto viene dado por el complejo ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle [-1,0].}$

${\displaystyle I/I^{2}\to \Omega _{Y}|_{X}.}$

Por ejemplo, el complejo cotangente de la cúbica torcida está dado por el complejo ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {s}}\Omega _{\mathbb {P} ^{3}}|_{X}.}$

Complejos cotangentes en la teoría de Gromov-Witten

En la teoría de Gromov-Witten, los matemáticos estudian los invariantes geométricos enumerativos de curvas de n puntas en espacios. En general, existen pilas algebraicas

${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}(X,\beta )}$

¿Cuáles son los espacios de módulos de los mapas?

${\displaystyle \pi :C\to X}$

Desde curvas de género con punciones hasta un objetivo fijo. Dado que la geometría enumerativa estudia el comportamiento genérico de tales aplicaciones, la teoría de la deformación que controla este tipo de problemas requiere la deformación de la curva , la aplicación y el espacio objetivo . Afortunadamente, toda esta información teórica de la deformación puede rastrearse mediante el complejo cotangente . Utilizando el triángulo distinguido ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{C/X}^{\bullet }}$

${\displaystyle \pi ^{*}\mathbf {L} _{X}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{C}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{C/X}^{\bullet }\to }$

asociado a la composición de morfismos

${\displaystyle C\xrightarrow {\pi } X\rightarrow {\text{Spec}}(\mathbb {C} )}$

El complejo cotangente se puede calcular en muchas situaciones. De hecho, para una variedad compleja , su complejo cotangente está dado por , y para una curva con puntos suaves , está dado por . De la teoría general de categorías trianguladas , el complejo cotangente es cuasi-isomorfo al cono ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Omega _{X}^{1}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Omega _{C}^{1}(p_{1}+\cdots +p_{n})}$ ${\displaystyle \mathbf {L} _{C/X}^{\bullet }}$

${\displaystyle {\text{Cone}}(\pi ^{*}\mathbf {L} _{X}^{\bullet }\to \mathbf {L} _{C}^{\bullet })\simeq {\text{Cone}}(\pi ^{*}\Omega _{X}^{1}\to \Omega _{C}^{1}(p_{1}+\cdots +p_{n}))}$

Véase también

• Cohomología de André-Quillen
• Teoría de la deformación
• Comité Ejecutivo
• Clase Kodaira-Spencer
• Clase de Atiyah

Notas

1. "Sección 91.21 (08UX): Deformaciones de espacios anillados y el complejo cotangente: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 2 de diciembre de 2021 .
2. "Sección 91.23 (08V3): Deformaciones de topos anillados y el complejo cotangente: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 2 de diciembre de 2021 .
3. Grothendieck 1967, Proposición 17.2.5
4. Berthelot 1966, VIII Proposición 2.2
5. (Grothendieck 1968, pág. 4)
6. Berthelot 1966, VIII Proposición 2.2
7. Berthelot 1966, VIII Proposición 2.4
8. (Gerstenhaber 1964)
9. (Lichenbaum; Schlessinger 1967)
10. Quillen 1970, Teorema 5.3
11. Quillen 1970, Teorema 5.4
12. Quillen 1970, Corolario 6.14
13. "Sección 91.14 (08SH): El complejo cotangente de una intersección completa local: el proyecto Stacks". stacks.math.columbia.edu . Consultado el 21 de septiembre de 2022 .
14. Mathew, Akhil (2 de marzo de 2022). "Algunos avances recientes en la homología topológica de Hochschild". Bull. London Math. Soc . 54 (1). Prop. 3.5. arXiv : 2101.00668 . doi :10.1112/blms.12558. S2CID  230435604.
15. Lichtenbaum–Schlessinger 1967, Corolario 3.2.2.
16. Quillen 1970, Conjetura 5.7.
17. Avramov, Luchezar L. (1999). "Homomorfismos de intersección localmente completos y una conjetura de Quillen sobre la desaparición de la homología cotangente". Anales de Matemáticas . 150 (2): 455–487. arXiv : math/9909192 . doi :10.2307/121087. ISSN  0003-486X. JSTOR  121087. S2CID  17250847.
18. Briggs, Benjamin; Iyengar, Srikanth (2022). "Propiedades de rigidez del complejo cotangente". Revista de la Sociedad Matemática Americana . 36 : 291–310. arXiv : 2010.13314 . doi :10.1090/jams/1000. ISSN  0894-0347. S2CID  225070623.
19. Haine, Peter (2 de abril de 2020). "El lugar geométrico lci del esquema de puntos de Hilbert y el complejo cotangente" (PDF) . pág. 11. Archivado (PDF) desde el original el 8 de julio de 2021.
20. Bhatt, Bhargav; Morrow, Matthew; Scholze, Peter (1 de junio de 2019). "Homología topológica de Hochschild y teoría integral p-ádica de Hodge". Publications mathématiques del IHÉS . 129 (1): 199–310. doi :10.1007/s10240-019-00106-9. ISSN  1618-1913. S2CID  254165606.

Referencias

Aplicaciones

• https://mathoverflow.net/questions/372128/what-is-the-cotangent-complex-good-for

Generalizaciones

• El complejo cotangente logarítmico
• El complejo cotangente y los espectros de Thom

Referencias

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• Berthelot, Pierre (1971), Grothendieck, Alexandre ; Illusie, Luc (eds.), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1966-67 - Théorie des junctions et théorème de Riemann-Roch - (SGA 6) (Apuntes de clase de matemáticas 225 ) (en francés), Berlín; Nueva York: Springer-Verlag , xii+700.
• Cartier, Pierre (1956), Dérivations dans les corps, Séminaire Cartan, vol. 8
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• Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1967), "Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la colaboration de Jean Dieudonné): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Quatrième partie", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 32 : 5–361 , doi :10.1007/BF02732123, ISSN  1618-1913, S2CID  189794756, archivado desde el original el 3 de marzo de 2016 , consultado el 10 de agosto de 2009
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