Lema de la serpiente

Teorema en álgebra homológica

El lema de la serpiente es una herramienta utilizada en matemáticas , particularmente en álgebra homológica , para construir sucesiones largas y exactas . El lema de la serpiente es válido en todas las categorías abelianas y es una herramienta crucial en el álgebra homológica y sus aplicaciones, por ejemplo en la topología algebraica . Los homomorfismos construidos con su ayuda se denominan generalmente homomorfismos conexos .

Declaración

En una categoría abeliana (como la categoría de grupos abelianos o la categoría de espacios vectoriales sobre un cuerpo dado ), considere un diagrama conmutativo :

donde las filas son secuencias exactas y 0 es el objeto cero .

Luego hay una secuencia exacta que relaciona los núcleos y conúcleos de a , b y c :

${\displaystyle \ker a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker c~{\overset {d}{\longrightarrow }}~\operatorname {coker} a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c}$

donde d es un homomorfismo, conocido como homomorfismo de conexión .

Además, si el morfismo f es un monomorfismo , entonces también lo es el morfismo , y si g' es un epimorfismo , entonces también lo es . ${\displaystyle \ker a~{\color {Gray}\longrightarrow }~\ker b}$ ${\displaystyle \operatorname {coker} b~{\color {Gray}\longrightarrow }~\operatorname {coker} c}$

Los núcleos aquí son: , , . ${\displaystyle \operatorname {coker} a=A'/\operatorname {im} a}$ ${\displaystyle \operatorname {coker} b=B'/\operatorname {im} b}$ ${\displaystyle \operatorname {coker} c=C'/\operatorname {im} c}$

Explicación del nombre

Para ver de dónde obtiene su nombre el lema de la serpiente, amplíe el diagrama anterior de la siguiente manera:

y luego la secuencia exacta que es la conclusión del lema se puede dibujar en este diagrama expandido en la forma de "S" invertida de una serpiente serpenteante .

Construcción de los mapas

Una animación de la construcción del mapa d

Las funciones entre los núcleos y las funciones entre los conúcleos se inducen de manera natural a partir de las funciones (horizontales) dadas debido a la conmutatividad del diagrama. La exactitud de las dos secuencias inducidas se deduce de manera directa de la exactitud de las filas del diagrama original. La afirmación importante del lema es que existe un homomorfismo de conexión d que completa la secuencia exacta.

En el caso de grupos o módulos abelianos sobre algún anillo , la función d se puede construir de la siguiente manera:

Elija un elemento x en ker  c y considérelo como un elemento de C ; dado que g es sobreyectiva , existe y en B con g ( y ) = x . Debido a la conmutatividad del diagrama, tenemos g' ( b ( y )) = c ( g ( y )) = c ( x ) = 0 (dado que x está en el núcleo de c ), y por lo tanto b ( y ) está en el núcleo de g' . Dado que la fila inferior es exacta, encontramos un elemento z en A' con f  ' ( z ) = b ( y ). z es único por inyectividad de f  '. Luego definimos d ( x ) = z + im ( a ). Ahora uno tiene que verificar que d está bien definido (es decir, d ( x ) solo depende de x y no de la elección de y ), que es un homomorfismo y que la secuencia larga resultante es de hecho exacta. La exactitud se puede verificar rutinariamente mediante la búsqueda de diagramas (ver la prueba del Lema 9.1 en ^[1] ).

Una vez hecho esto, el teorema queda demostrado para grupos abelianos o módulos sobre un anillo. Para el caso general, el argumento puede reformularse en términos de propiedades de flechas y cancelación en lugar de elementos. Alternativamente, se puede invocar el teorema de incrustación de Mitchell .

Naturalidad

En las aplicaciones, a menudo es necesario demostrar que las secuencias largas y exactas son "naturales" (en el sentido de transformaciones naturales ). Esto se desprende de la naturalidad de la secuencia producida por el lema de la serpiente.

Si

es un diagrama conmutativo con filas exactas, entonces el lema de la serpiente se puede aplicar dos veces, al "frente" y a la "espalda", produciendo dos secuencias largas y exactas; estas están relacionadas por un diagrama conmutativo de la forma

Ejemplo

Sea un campo, un espacio vectorial. es un módulo al ser una transformación lineal, por lo que podemos tensar y sobre . ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k[t]}$ ${\displaystyle t:V\to V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k[t]}$

${\displaystyle V\otimes _{k[t]}k=V\otimes _{k[t]}(k[t]/(t))=V/tV=\operatorname {coker} (t).}$

Dada una secuencia corta y exacta de espacios vectoriales , podemos inducir una secuencia exacta mediante la exactitud correcta del producto tensorial. Pero la secuencia no es exacta en general. Por lo tanto, surge una pregunta natural: ¿por qué esta secuencia no es exacta? ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 0\to M\to N\to P\to 0}$ ${\displaystyle M\otimes _{k[t]}k\to N\otimes _{k[t]}k\to P\otimes _{k[t]}k\to 0}$ ${\displaystyle 0\to M\otimes _{k[t]}k\to N\otimes _{k[t]}k\to P\otimes _{k[t]}k\to 0}$

Según el diagrama anterior, podemos inducir una secuencia exacta aplicando el lema de la serpiente. Por lo tanto, el lema de la serpiente refleja la imposibilidad de que el producto tensorial sea exacto. ${\displaystyle \ker(t_{M})\to \ker(t_{N})\to \ker(t_{P})\to M\otimes _{k[t]}k\to N\otimes _{k[t]}k\to P\otimes _{k[t]}k\to 0}$

En la categoría de grupos

Aunque muchos resultados del álgebra homológica, como el lema de los cinco o el lema de los nueve , se cumplen tanto para las categorías abelianas como para la categoría de grupos, el lema de la serpiente no. De hecho, no existen conúcleos arbitrarios. Sin embargo, se pueden reemplazar los conúcleos por coconjuntos (izquierdos) , , y . Entonces, el homomorfismo de conexión todavía se puede definir, y se puede escribir una secuencia como en el enunciado del lema de la serpiente. Esto siempre será un complejo de cadena, pero puede no ser exacto. Sin embargo, se puede afirmar la exactitud cuando las secuencias verticales en el diagrama son exactas, es decir, cuando las imágenes de a , b y c son subgrupos normales . ^{[ cita requerida ]} ${\displaystyle A'/\operatorname {im} a}$ ${\displaystyle B'/\operatorname {im} b}$ ${\displaystyle C'/\operatorname {im} c}$

Contraejemplo

Considérese el grupo alternado : éste contiene un subgrupo isomorfo al grupo simétrico , que a su vez puede escribirse como un producto semidirecto de grupos cíclicos : . ^[2] Esto da lugar al siguiente diagrama con filas exactas: ${\displaystyle A_{5}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle S_{3}\simeq C_{3}\rtimes C_{2}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&1&\to &C_{3}&\to &C_{3}&\to 1\\&\downarrow &&\downarrow &&\downarrow \\1\to &1&\to &S_{3}&\to &A_{5}\end{matrix}}}$

Nótese que la columna del medio no es exacta: no es un subgrupo normal en el producto semidirecto. ${\displaystyle C_{2}}$

Como es simple , la flecha vertical derecha tiene un núcleo trivial. Mientras tanto, el grupo cociente es isomorfo a . Por lo tanto, la secuencia en el enunciado del lema de la serpiente es ${\displaystyle A_{5}}$ ${\displaystyle S_{3}/C_{3}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

${\displaystyle 1\longrightarrow 1\longrightarrow 1\longrightarrow 1\longrightarrow C_{2}\longrightarrow 1}$,

Lo cual, de hecho, no es exacto.

En la cultura popular

La prueba del lema de la serpiente es enseñada por el personaje de Jill Clayburgh al comienzo de la película de 1980 It's My Turn . ^[3]

Véase también

• Lema en zigzag

Referencias

1. Lang 2002, pág. 159
2. "Extensiones de C2 por C3". GroupNames . Consultado el 6 de noviembre de 2021 .
3. Schochet, CL (1999). "El lema de la serpiente topológica y las álgebras de corona" (PDF) . New York Journal of Mathematics . 5 : 131–7. CiteSeerX 10.1.1.73.1568 . Archivado (PDF) desde el original el 2022-10-09. 

• Lang, Serge (2002). "III §9 El lema de la serpiente". Álgebra (3.ª ed.). Springer. pp. 157–9. ISBN 978-0-387-95385-4.
• Atiyah, MF ; Macdonald, IG (1969). Introducción al álgebra conmutativa . Addison–Wesley. ISBN 0-201-00361-9.
• Hilton, P.; Stammbach, U. (1997). Un curso de álgebra homológica . Textos de posgrado en matemáticas . Springer. pág. 99. ISBN. 0-387-94823-6.

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Lema de la serpiente". MathWorld .
• Lema de la serpiente en PlanetMath
• Prueba del lema de la serpiente en la película It's My Turn