Categoría del modelo

Categoría matemática con equivalencias débiles, fibraciones y cofibraciones

En matemáticas , particularmente en teoría de homotopía , una categoría modelo es una categoría con clases diferenciadas de morfismos ('flechas') llamados ' equivalencias débiles ', ' fibraciones ' y ' cofibraciones ' que satisfacen ciertos axiomas que los relacionan. Estos se abstraen de la categoría de espacios topológicos o de complejos de cadenas ( teoría de categorías derivadas ). El concepto fue introducido por Daniel G. Quillen  (1967).

En las últimas décadas, el lenguaje de categorías de modelos se ha utilizado en algunas partes de la teoría K algebraica y la geometría algebraica , donde los enfoques teóricos de homotopía condujeron a resultados profundos.

Motivación

Las categorías modelo pueden proporcionar un marco natural para la teoría de la homotopía : la categoría de espacios topológicos es una categoría modelo, y la homotopía corresponde a la teoría habitual. De manera similar, los objetos que se consideran espacios suelen admitir una estructura de categoría modelo, como la categoría de conjuntos simpliciales .

Otra categoría modelo es la categoría de complejos de cadena de R -módulos para un anillo conmutativo R. La teoría de homotopía en este contexto es álgebra homológica . La homología puede entonces ser vista como un tipo de homotopía, permitiendo generalizaciones de homología a otros objetos, tales como grupos y R -álgebras , una de las primeras aplicaciones importantes de la teoría. Debido al ejemplo anterior sobre homología, el estudio de categorías de modelos cerrados a veces se considera álgebra homotópica .

Definición formal

La definición dada inicialmente por Quillen fue la de una categoría de modelo cerrada, cuyos supuestos parecían sólidos en ese momento, lo que motivó a otros a debilitar algunos de los supuestos para definir una categoría de modelo. En la práctica, la distinción no ha demostrado ser significativa y la mayoría de los autores recientes (por ejemplo, Mark Hovey y Philip Hirschhorn) trabajan con categorías de modelo cerradas y simplemente eliminan el adjetivo "cerrado".

La definición se ha separado en la de una estructura modelo sobre una categoría y luego en la de condiciones categóricas adicionales sobre esa categoría, cuya necesidad puede parecer inmotivada al principio, pero que cobra importancia más adelante. La siguiente definición sigue la dada por Hovey.

Una estructura modelo en una categoría C consta de tres clases distinguidas de morfismos (equivalentemente subcategorías): equivalencias débiles , fibraciones y cofibraciones , y dos factorizaciones funcionales y sujetas a los siguientes axiomas. Una fibración que también es una equivalencia débil se denomina fibración acíclica (o trivial ) ^[1] y una cofibración que también es una equivalencia débil se denomina cofibración acíclica (o trivial ) (o a veces denominada morfismo anodino ). ${\displaystyle (\alpha ,\beta )}$ ${\displaystyle (\gamma ,\delta )}$

Axiomas

1. Retractos : si g es un morfismo que pertenece a una de las clases distinguidas, y f es un retracto de g (como objetos en la categoría flecha , donde 2 es el conjunto ordenado de 2 elementos), entonces f pertenece a la misma clase distinguida. Explícitamente, el requisito de que f sea un retracto de g significa que existen i , j , r y s , tales que el siguiente diagrama conmuta: ${\displaystyle C^{2}}$

2. 2 de 3 : si f y g son mapas en C tales que gf está definido y dos de estos son equivalencias débiles, entonces también lo es el tercero.
3. Elevación : las cofibraciones acíclicas tienen la propiedad de elevación hacia la izquierda con respecto a las fibraciones, y las cofibraciones tienen la propiedad de elevación hacia la izquierda con respecto a las fibraciones acíclicas. Explícitamente, si el cuadrado exterior del siguiente diagrama conmuta, donde i es una cofibración y p es una fibración, e i o p son acíclicos, entonces existe h que completa el diagrama.

4. Factorización :
   • todo morfismo f en C puede escribirse como para una fibración p y una cofibración acíclica i ; ${\displaystyle p\circ i}$
   • Todo morfismo f en C puede escribirse como para una fibración acíclica p y una cofibración i . ${\displaystyle p\circ i}$

Una categoría modelo es una categoría que tiene una estructura modelo y todos los límites y colimites (pequeños) , es decir, una categoría completa y co-completa con una estructura modelo.

Definición mediante sistemas de factorización débil

La definición anterior se puede resumir sucintamente en la siguiente definición equivalente: una categoría de modelo es una categoría C y tres clases de equivalencias (denominadas) débiles W , fibraciones F y cofibraciones C , de modo que

• C tiene todos los límites y colimites,

• ${\displaystyle (C\cap W,F)}$es un sistema de factorización débil ,

• ${\displaystyle (C,F\cap W)}$es un sistema de factorización débil
• ${\displaystyle W}$satisface la propiedad 2 de 3. ^[2]

Primeras consecuencias de la definición

Los axiomas implican que dos de las tres clases de mapas determinan la tercera (por ejemplo, las cofibraciones y las equivalencias débiles determinan las fibraciones).

Además, la definición es autodual: si C es una categoría modelo, entonces su categoría opuesta también admite una estructura modelo de modo que las equivalencias débiles corresponden a sus opuestos, fibraciones opuestos de cofibraciones y cofibraciones opuestos de fibraciones. ${\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}}$

Ejemplos

Espacios topológicos

La categoría de espacios topológicos , Top , admite una estructura de categoría de modelo estándar con las fibraciones (de Serre) usuales y con equivalencias débiles como equivalencias de homotopía débil. Las cofibraciones no son la noción usual encontrada aquí , sino más bien la clase más estrecha de aplicaciones que tienen la propiedad de levantamiento por la izquierda con respecto a las fibraciones de Serre acíclicas. Equivalentemente, son los retractos de los complejos de celdas relativos, como se explica por ejemplo en las Categorías de Modelo de Hovey . Esta estructura no es única; en general puede haber muchas estructuras de categoría de modelo en una categoría dada. Para la categoría de espacios topológicos, otra estructura de este tipo está dada por las fibraciones de Hurewicz y las cofibraciones estándar, y las equivalencias débiles son las equivalencias de homotopía (fuertes) .

Complejos de cadena

La categoría de complejos de cadena (graduados no negativamente) de módulos R tiene al menos dos estructuras modelo, las cuales ocupan un lugar destacado en el álgebra homológica:

• Las equivalencias débiles son mapas que inducen isomorfismos en la homología;
• Las cofibraciones son mapas que son monomorfismos en cada grado con cokernel proyectivo ; y
• Las fibraciones son mapas que son epimorfismos en cada grado distinto de cero.

o

• Las equivalencias débiles son mapas que inducen isomorfismos en la homología;
• Las fibraciones son mapas que son epimorfismos en cada grado con núcleo inyectivo ; y
• Las cofibraciones son mapas que son monomorfismos en cada grado distinto de cero.

Esto explica por qué los grupos Ext de módulos R se pueden calcular resolviendo la fuente de manera proyectiva o la meta de manera inyectiva. Estos son reemplazos cofibrantes o fibrantes en las respectivas estructuras del modelo.

La categoría de complejos de cadena arbitrarios de módulos R tiene una estructura de modelo que está definida por

• Las equivalencias débiles son equivalencias de homotopía de cadena de complejos de cadena;
• Las cofibraciones son monomorfismos que se dividen como morfismos de los módulos R subyacentes ; y
• Las fibraciones son epimorfismos que se dividen como morfismos de los módulos R subyacentes .

Más ejemplos

Otros ejemplos de categorías que admiten estructuras modelo incluyen la categoría de todas las categorías pequeñas, la categoría de conjuntos simpliciales o prehaces simpliciales en cualquier sitio pequeño de Grothendieck , la categoría de espectros topológicos y las categorías de espectros simpliciales o prehaces de espectros simpliciales en un sitio pequeño de Grothendieck.

Los objetos simpliciales en una categoría son una fuente frecuente de categorías de modelos; por ejemplo, los anillos conmutativos simpliciales o los R -módulos simpliciales admiten estructuras de modelos naturales. Esto se debe a que existe una adjunción entre conjuntos simpliciales y anillos conmutativos simpliciales (dada por los funtores olvidadizos y libres), y en casos agradables se pueden levantar estructuras de modelos bajo una adjunción.

Una categoría de modelo simplicial es una categoría simplicial con una estructura de modelo que es compatible con la estructura simplicial. ^[3]

Dada cualquier categoría C y una categoría modelo M , bajo cierta hipótesis adicional la categoría de funtores Fun ( C , M ) (también llamados C -diagramas en M ) es también una categoría modelo. De hecho, siempre hay dos candidatos para estructuras de modelo distintas: en una, la llamada estructura de modelo proyectiva, las fibraciones y las equivalencias débiles son aquellos mapas de funtores que son fibraciones y equivalencias débiles cuando se evalúan en cada objeto de C . Dualmente, la estructura de modelo inyectiva es similar con cofibraciones y equivalencias débiles en cambio. En ambos casos la tercera clase de morfismos está dada por una condición de elevación (ver abajo). En algunos casos, cuando la categoría C es una categoría de Reedy, hay una tercera estructura de modelo que se encuentra entre la proyectiva y la inyectiva.

El proceso de forzar que ciertas aplicaciones se conviertan en equivalencias débiles en una nueva estructura de categoría de modelo sobre la misma categoría subyacente se conoce como localización de Bousfield . Por ejemplo, la categoría de haces simpliciales se puede obtener como una localización de Bousfield de la categoría de modelo de prehaces simpliciales .

Denis-Charles Cisinski ha desarrollado ^[4] una teoría general de estructuras de modelos sobre categorías de prehaces (generalizando conjuntos simpliciales, que son prehaces sobre la categoría simplex ).

Si C es una categoría modelo, entonces también lo es la categoría Pro( C ) de pro-objetos en C . Sin embargo, una estructura modelo sobre Pro( C ) también puede construirse imponiendo un conjunto más débil de axiomas a C . ^[5]

Algunas construcciones

Toda categoría de modelo cerrada tiene un objeto terminal por completitud y un objeto inicial por cocompletitud, ya que estos objetos son el límite y colimite, respectivamente, del diagrama vacío. Dado un objeto X en la categoría de modelo, si la función única del objeto inicial a X es una cofibración, entonces se dice que X es cofibrante . Análogamente, si la función única de X al objeto terminal es una fibración, entonces se dice que X es fibrante .

Si Z y X son objetos de una categoría de modelo tal que Z es cofibrante y existe una equivalencia débil de Z a X , entonces se dice que Z es un reemplazo cofibrante de X. De manera similar, si Z es fibrante y existe una equivalencia débil de X a Z , entonces se dice que Z es un reemplazo fibrante de X. En general, no todos los objetos son fibrantes o cofibrantes, aunque a veces este es el caso. Por ejemplo, todos los objetos son cofibrantes en la categoría de modelos estándar de conjuntos simpliciales y todos los objetos son fibrantes para la estructura de categorías de modelos estándar dada anteriormente para espacios topológicos.

La homotopía izquierda se define con respecto a los objetos cilíndricos y la homotopía derecha se define con respecto a los objetos del espacio de trayectorias. Estas nociones coinciden cuando el dominio es cofibrante y el codominio es fibrante. En ese caso, la homotopía define una relación de equivalencia en los conjuntos hom en la categoría del modelo dando lugar a clases de homotopía.

Caracterización de fibraciones y cofibraciones por propiedades de elevación

Las cofibraciones se pueden caracterizar como los mapas que tienen la propiedad de elevación izquierda con respecto a las fibraciones acíclicas, y las cofibraciones acíclicas se caracterizan como los mapas que tienen la propiedad de elevación izquierda con respecto a las fibraciones. De manera similar, las fibraciones se pueden caracterizar como los mapas que tienen la propiedad de elevación derecha con respecto a las cofibraciones acíclicas, y las fibraciones acíclicas se caracterizan como los mapas que tienen la propiedad de elevación derecha con respecto a las cofibraciones.

Homotopía y la categoría de homotopía

La categoría de homotopía de una categoría modelo C es la localización de C con respecto a la clase de equivalencias débiles. Esta definición de categoría de homotopía no depende de la elección de fibraciones y cofibraciones. Sin embargo, las clases de fibraciones y cofibraciones son útiles para describir la categoría de homotopía de una manera diferente y, en particular, para evitar problemas de teoría de conjuntos que surgen en localizaciones generales de categorías. Más precisamente, el "teorema fundamental de categorías modelo" establece que la categoría de homotopía de C es equivalente a la categoría cuyos objetos son los objetos de C que son tanto fibrantes como cofibrantes, y cuyos morfismos son clases de homotopía izquierda de morfismos (equivalentemente, clases de homotopía derecha de morfismos) como se definió anteriormente. (Véase, por ejemplo, Categorías modelo de Hovey, Thm 1.2.10)

Aplicando esto a la categoría de espacios topológicos con la estructura modelo dada anteriormente, la categoría de homotopía resultante es equivalente a la categoría de complejos CW y clases de homotopía de mapas continuos, de ahí el nombre.

Adjuntos de Quillen

Un par de funtores adjuntos

${\displaystyle F:C\leftrightarrows D:G}$

entre dos categorías de modelo C y D se denomina adjunción de Quillen si F preserva las cofibraciones y las cofibraciones acíclicas o, equivalentemente por los axiomas del modelo cerrado, de modo que G preserva las fibraciones y las fibraciones acíclicas. En este caso, F y G inducen una adjunción

${\displaystyle LF:Ho(C)\leftrightarrows Ho(D):RG}$

entre las categorías de homotopía. También existe un criterio explícito para que esta última sea una equivalencia ( F y G se denominan entonces equivalencia de Quillen ).

Un ejemplo típico es la adjunción estándar entre conjuntos simpliciales y espacios topológicos:

${\displaystyle |-|:\mathbf {sSet} \leftrightarrows \mathbf {Top} :Sing}$

que implica la realización geométrica de un conjunto simplicial y las cadenas singulares en algún espacio topológico. Las categorías sSet y Top no son equivalentes, pero sus categorías de homotopía sí lo son. Por lo tanto, los conjuntos simpliciales se utilizan a menudo como modelos para espacios topológicos debido a esta equivalencia de categorías de homotopía.

Véase también

• (∞,1)-categoría
• Categoría de ciclomotores
• Categoría de modelo estable

Notas

1. Algunos lectores encuentran ambiguo el término "trivial" y prefieren utilizar "acíclico".
2. Riehl (2014, §11.3)
3. Definición 2.1. de [1].
4. Cisinski, Denis-Charles. Los préfaisceaux como modelos de tipos de homomotopie. (Francés) [Presheaves como modelos para tipos de homotopía] Astérisque No. 308 (2006), xxiv+390 pp. ISBN  978-2-85629-225-9 MR 2294028
5. Barnea, Ilan; Schlank, Tomer M. (2016), "Una estructura de modelo proyectivo en haces pro-simpliciales y el tipo de homotopía étale relativa", Advances in Mathematics , 291 : 784–858, arXiv : 1109.5477 , Bibcode :2011arXiv1109.5477B, doi : 10.1016/j.aim.2015.11.014 , MR  3459031

Referencias

• Denis-Charles Cisinski : Les préfaisceaux commes modèles des type d'homotopie , Astérisque, (308) 2006, xxiv+392 págs.
• Dwyer, William G. ; Spaliński, Jan (1995), "Teorías de homotopía y categorías de modelos" (PDF) , Manual de topología algebraica , Ámsterdam: Holanda Septentrional, págs. 73–126, doi :10.1016/B978-044481779-2/50003-1, ISBN 9780444817792, Sr.  1361887
• Philip S. Hirschhorn: Categorías modelo y sus localizaciones , 2003, ISBN 0-8218-3279-4 . 
• Mark Hovey: Categorías de modelos , 1999, ISBN 0-8218-1359-5 . 
• Klaus Heiner Kamps y Timothy Porter: Homotopía abstracta y teoría de homotopía simple , 1997, World Scientific, ISBN 981-02-1602-5 . 
• Georges Maltsiniotis: La teoría del homomotopie de Grothendieck . Astérisque, (301) 2005, vi+140 págs.

• Riehl, Emily (2014), Teoría de la homotopía categórica , Cambridge University Press, doi :10.1017/CBO9781107261457, ISBN 978-1-107-04845-4, Sr.  3221774

• Quillen, Daniel G. (1967), Álgebra homotópica , Lecture Notes in Mathematics, n.º 43, vol. 43, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0097438, ISBN 978-3-540-03914-3, Sr.  0223432

• Balchin, Scott (2021), Un manual de categorías de modelos , Álgebra y aplicaciones, vol. 27, Springer, doi : 10.1007/978-3-030-75035-0, ISBN 978-3-030-75034-3, MR  4385504, S2CID  240268465

Lectura adicional

• "¿Aún necesitamos categorías de modelos?"
• "(infinito,1)-categorías directamente de las categorías del modelo"
• Paul Goerss y Kristen Schemmerhorn, Categorías de modelos y métodos simples

Enlaces externos

• Categoría de modelo en el n Lab
• Categoría de modelo en el catlab de Joyal