Cuasicategoría

Generalización de una categoría.

En matemáticas, más específicamente en la teoría de categorías , una cuasi-categoría (también llamada cuasicategoría , complejo Kan débil , complejo Kan interno , categoría infinita , ∞-categoría , complejo de Boardman , quategoría ) es una generalización de la noción de categoría . El estudio de tales generalizaciones se conoce como teoría de categorías superiores .

Boardman y Vogt (1973) introdujeron las cuasicategorías. André Joyal ha avanzado mucho en el estudio de las cuasicategorías mostrando que la mayor parte de la teoría de categorías básicas habitual y algunas de las nociones y teoremas avanzados tienen sus análogos para las cuasicategorías. Jacob Lurie  (2009) ha expuesto un tratado elaborado sobre la teoría de las cuasicategorías .

Las cuasicategorías son ciertos conjuntos simples . Al igual que las categorías ordinarias, contienen objetos (los 0-simplices del conjunto simplicial) y morfismos entre estos objetos (1-simplices). Pero a diferencia de las categorías, no es necesario definir de forma única la composición de dos morfismos. Todos los morfismos que pueden servir como composición de dos morfismos dados están relacionados entre sí mediante morfismos invertibles de orden superior (2-simplices considerados "homotopías"). Estos morfismos de orden superior también se pueden componer, pero nuevamente la composición está bien definida sólo hasta morfismos invertibles de orden aún superior, etc.

La idea de la teoría de categorías superiores (al menos, la teoría de categorías superiores cuando los morfismos superiores son invertibles) es que, a diferencia de la noción estándar de categoría, debería haber un espacio de mapeo (en lugar de un conjunto de mapeos) entre dos objetos. Esto sugiere que una categoría superior debería ser simplemente una categoría topológicamente enriquecida . Sin embargo, el modelo de cuasicategorías se adapta mejor a las aplicaciones que el de categorías topológicamente enriquecidas, aunque Lurie ha demostrado que los dos tienen estructuras de modelos naturales que son equivalentes a Quillen .

Definición

Por definición, una cuasicategoría C es un conjunto simplicial que satisface las condiciones Kan internas (también llamada condición Kan débil): cada cuerno interno en C , es decir, un mapa de conjuntos simpliciales donde , tiene un relleno, es decir, una extensión de un mapa . (Consulte Kan fibration#Definitions para obtener una definición de los conjuntos simpliciales y ). ${\displaystyle \Lambda ^{k}[n]\to C}$ ${\displaystyle 0<k<n}$ ${\displaystyle \Delta [n]\to C}$ ${\displaystyle \Delta [n]}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}[n]}$

La idea es que se supone que los 2 simples representan triángulos conmutativos (al menos hasta la homotopía). Un mapa representa un par componible. Por tanto, en una cuasicategoría, no se puede definir una ley de composición de morfismos, ya que se pueden elegir muchas formas de componer mapas. ${\displaystyle \Delta [2]\to C}$ ${\displaystyle \Lambda ^{1}[2]\to C}$

Una consecuencia de la definición es que se trata de una fibración Kan trivial. En otras palabras, si bien la ley de composición no está definida de manera única, sí lo es hasta una elección contractual. ${\displaystyle C^{\Delta [2]}\to C^{\Lambda ^{1}[2]}}$

La categoría de homotopía

Dada una cuasicategoría C, se le puede asociar una categoría ordinaria hC, llamada categoría de homotopía de C. La categoría de homotopía tiene como objetos los vértices de C. Los morfismos están dados por clases de homotopía de aristas entre vértices. La composición se da utilizando la condición de relleno de bocina para n  = 2.

Para un conjunto simplicial general hay un funtor de sSet a Cat , conocido como functor de categoría fundamental , y para una cuasicategoría C la categoría fundamental es la misma que la categoría de homotopía, es decir . ${\displaystyle \tau _{1}}$ ${\displaystyle \tau _{1}(C)=hC}$

Ejemplos

• El nervio de una categoría es una cuasicategoría con la propiedad adicional de que el relleno de cualquier cuerno interior es único. Por el contrario, una cuasicategoría en la que cualquier cuerno interno tiene un relleno único es isomorfa al nervio de alguna categoría. La categoría de homotopía del nervio de C es isomorfa a C.
• Dado un espacio topológico X , se puede definir su conjunto singular S ( X ), también conocido como el ∞-grupoide fundamental de X. S ( X ) es una cuasicategoría en la que cada morfismo es invertible. La categoría de homotopía de S ( X ) es el grupoide fundamental de X.
• De manera más general que el ejemplo anterior, cada complejo Kan es un ejemplo de una cuasicategoría. En un complejo Kan se pueden rellenar todos los mapas de todos los cuernos (no sólo los internos), lo que a su vez tiene la consecuencia de que todos los morfismos en un complejo Kan son invertibles. Los complejos Kan son, por tanto, análogos a los grupoides: el nervio de una categoría es un complejo Kan si la categoría es un grupoide.

Variantes

• Una categoría (∞, 1) es una categoría ∞ no necesariamente cuasicategoría en la que todos los n -morfismos para n  > 1 son equivalencias. Hay varios modelos de categorías (∞, 1), incluida la categoría de Segal , la categoría simplemente enriquecida , la categoría topológica y el espacio de Segal completo . Una cuasicategoría también es una categoría (∞, 1).
• Estructura del modelo Hay una estructura de modelo en sSet-categories que presenta la (∞,1)-categoría (∞,1)Cat.
• Extensión Kan de homotopía La noción de extensión Kan de homotopía y, por tanto, en particular la de límite de homotopía y colimit de homotopía, tiene una formulación directa en términos de categorías enriquecidas en complejos Kan. Consulte la extensión Kan de homotopía para obtener más información.
• Presentación de la teoría de (∞,1)-topos Toda la teoría de (∞,1)-topos se puede modelar en términos de categorías sSet. (Toën Vezzosi). Existe una noción de sSet-site C que modela la noción de (∞,1)-site y una estructura modelo en presheaves enriquecidos con sSet en sSet-sites que es una presentación para los ∞-stack (∞,1)-toposes en c.

Ver también

• Categoría de modelo
• Categoría infinita estable
• ∞-grupoide
• Teoría de categoría superior
• conjunto globular

Referencias

• Boardman, JM; Vogt, RM (1973), Estructuras algebraicas invariantes de homotopía en espacios topológicos , Lecture Notes in Mathematics, vol. 347, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0068547, ISBN 978-3-540-06479-4, señor  0420609
• Groth, Moritz, Un curso breve sobre categorías infinitas (PDF)
• Joyal, André (2002), "Cuasicategorías y complejos Kan", Journal of Pure and Applied Algebra , 175 (1): 207–222, doi :10.1016/S0022-4049(02)00135-4, SEÑOR  1935979
• Joyal, André ; Tierney, Myles (2007), "Cuasicategorías vs espacios de Segal", Categorías en álgebra, geometría y física matemática , Contemp. Matemáticas, vol. 431, Providencia, Rhode Island: Amer. Matemáticas. Soc., págs. 277–326, arXiv : math.AT/0607820 , MR  2342834
• Joyal, A. (2008), La teoría de las cuasicategorías y sus aplicaciones, conferencias en CRM Barcelona (PDF) , archivado desde el original (PDF) el 6 de julio de 2011
• Joyal, A., Notas sobre cuasicategorías (PDF)
• Lurie, Jacob (2009), Teoría del topos superior , Annals of Mathematics Studies, vol. 170, Princeton University Press , arXiv : math.CT/0608040 , ISBN 978-0-691-14049-0, señor  2522659
• Entrada del Catlab de Joyal: La teoría de las cuasicategorías
• cuasicategoría en el n Lab
• categoría infinita en el n Lab
• categoría+fundamental en el n Lab
• Bergner, Julia E (2011). "Taller de teoría de la homotopía de las teorías de la homotopía". arXiv : 1108.2001 [matemáticas.AT].
• (∞, 1) -categoría en el n Lab
• Hinich, Vladimir (19 de septiembre de 2017). "Conferencias sobre categorías infinitas". arXiv : 1709.06271 [matemáticas.CT].
• Toën, Bertrand; Vezzosi, Gabriele (2005), "Geometría algebraica homotópica I: teoría del topos", Avances en matemáticas , 193 (2): 257–372, arXiv : math.AG/0207028 , doi : 10.1016/j.aim.2004.05.004