En la teoría de la homotopía , una rama de las matemáticas , una conjunción de Quillen entre dos categorías de modelos cerrados C y D es un tipo especial de conjunción entre categorías que induce una conjunción entre las categorías de homotopía Ho( C ) y Ho( D ) a través del funtor derivado total. construcción. Las conjunciones de Quillen reciben su nombre en honor al matemático Daniel Quillen .
Dadas dos categorías de modelo cerrado C y D , una conjunción de Quillen es un par
de funtores adjuntos con F adjunto a la izquierda de G tal que F preserva las cofibraciones y las cofibraciones triviales o, de manera equivalente, según los axiomas del modelo cerrado, de modo que G preserva las fibraciones y las fibraciones triviales. En tal conjunción, F se llama funtor Quillen izquierdo y G se llama funtor Quillen derecho .
Es una consecuencia de los axiomas que un funtor de Quillen izquierdo (derecho) conserva equivalencias débiles entre objetos cofibrantes (fibrantes). El teorema del funtor derivado total de Quillen dice que el funtor derivado total por la izquierda
es un adjunto izquierdo del funtor derivado total derecho
Esta conjunción ( LF , RG ) se llama conjunción derivada .
Si ( F , G ) es un complemento de Quillen como el anterior, tal que
con c cofibrant y d fibrant es una equivalencia débil en D si y sólo si
es una equivalencia débil en C, entonces se llama equivalencia de Quillen de las categorías del modelo cerrado C y D. En este caso, la adjunción derivada es una equivalencia adjunta de categorías , de modo que
es un isomorfismo en Ho( D ) si y sólo si
es un isomorfismo en Ho ( C ).
