complejo CW

Tipo de espacio topológico

Un complejo CW (también llamado complejo celular o complejo celular ) es una especie de espacio topológico que es particularmente importante en topología algebraica . ^[1] Fue introducido por JHC Whitehead ^[2] para satisfacer las necesidades de la teoría de la homotopía . Esta clase de espacios es más amplia y tiene algunas propiedades categóricas mejores que los complejos simpliciales , pero aún conserva una naturaleza combinatoria que permite el cálculo (a menudo con un complejo mucho más pequeño). La C significa "cierre finito" y la W significa topología "débil". ^[2]

Definición

complejo CW

Un complejo CW se construye tomando la unión de una secuencia de espacios topológicos.

$${\displaystyle \emptyset =X_{-1}\subset X_{0}\subset X_{1}\subset \cdots }$$

bolamapas adjuntos ${\displaystyle X_{k}}$ ${\displaystyle X_{k-1}}$ ${\displaystyle (e_{\alpha }^{k})_{\alpha }}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle D^{k}}$ ${\displaystyle X_{k-1}}$ ${\displaystyle g_{\alpha }^{k}:\partial e_{\alpha }^{k}\to X_{k-1}}$

Cada uno se llama k-esqueleto del complejo. ${\displaystyle X_{k}}$

La topología de es una topología débil : un subconjunto está abierto si está abierto para cada celda . ${\displaystyle X=\cup _{k}X_{k}}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle U\cap e_{\alpha }^{k}}$ ${\displaystyle e_{\alpha }^{k}}$

En el lenguaje de la teoría de categorías, la topología es el límite directo del diagrama. ${\displaystyle X}$

$${\displaystyle X_{-1}\hookrightarrow X_{0}\hookrightarrow X_{1}\hookrightarrow \cdots }$$

Teorema  :  un espacio X de Hausdorff es homeomorfo a un complejo CW si existe una partición de X en "celdas abiertas" , cada una con un cierre correspondiente (o "celda cerrada") que satisfaga: ${\displaystyle e_{\alpha }^{k\circ }}$ ${\displaystyle e_{\alpha }^{k}:=cl(e_{\alpha }^{k\circ })}$

• Para cada uno , existe una sobreyección continua de la bola cerrada de dimensiones tales que ${\displaystyle e_{\alpha }^{k}}$ ${\displaystyle g_{\alpha }^{k}:D^{k}\to e_{\alpha }^{k}}$ ${\displaystyle k}$
  • La restricción a la bola abierta es un homeomorfismo . ${\displaystyle g_{\alpha }^{k}:B^{k}\to e_{\alpha }^{k\circ }}$
  • (cierre-finitud) La imagen del límite está cubierta por un número finito de celdas cerradas, cada una de las cuales tiene una dimensión de celda menor que k. ${\displaystyle g_{\alpha }^{k}(\partial D^{k})}$
• (topología débil) Un subconjunto de X es cerrado si y sólo si se encuentra con cada celda cerrada en un conjunto cerrado.

Esta partición de X también se llama celulación .

La construcción, en palabras.

La construcción compleja CW es una generalización sencilla del siguiente proceso:

• Un complejo CW de 0 dimensiones es simplemente un conjunto de cero o más puntos discretos (con la topología discreta ).
• Un complejo CW unidimensional se construye tomando la unión disjunta de un complejo CW de dimensión 0 con una o más copias del intervalo unitario . Para cada copia, hay un mapa que " pega " su límite (sus dos puntos finales) a elementos del complejo de dimensión 0 (los puntos). La topología del complejo CW es la topología del espacio cociente definido por estos mapas de pegado.
• En general, un complejo CW de n dimensiones se construye tomando la unión disjunta de un complejo CW de k dimensiones (para algunos ) con una o más copias de la bola de n dimensiones . Para cada copia, hay un mapa que "pega" su límite (la esfera -dimensional ) a los elementos del complejo -dimensional. La topología del complejo CW es la topología del cociente definida por estos mapas de pegado. ${\displaystyle k<n}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle k}$
• Se puede construir un complejo CW de dimensión infinita repitiendo el proceso anterior contablemente muchas veces. Dado que la topología de la unión es indeterminada, se toma la topología de límite directo, ya que el diagrama sugiere mucho un límite directo. Esto resulta tener grandes beneficios técnicos. ${\displaystyle \cup _{k}X_{k}}$

Complejos CW regulares

Un complejo CW regular es un complejo CW cuyos mapas de pegado son homeomorfismos. En consecuencia, la partición de X también se denomina celulación regular .

Un gráfico sin bucles está representado por un complejo CW unidimensional regular. Un gráfico cerrado de 2 celdas incrustado en una superficie es un complejo CW bidimensional regular. Finalmente, la conjetura de la celulación regular de las 3 esferas afirma que cada gráfico biconexo es el esqueleto 1 de un complejo CW regular en la esfera tridimensional . ^[3]

Complejos CW relativos

En términos generales, un complejo CW relativo se diferencia de un complejo CW en que le permitimos tener un bloque de construcción adicional que no necesariamente posee una estructura celular. Este bloque adicional se puede tratar como una celda de (-1) dimensión en la definición anterior. ^{[4] [5] [6]}

Ejemplos

Complejos CW de 0 dimensiones

Todo espacio topológico discreto es un complejo CW de dimensión 0.

Complejos CW unidimensionales

Algunos ejemplos de complejos CW unidimensionales son: ^[7]

• Un intervalo . Se puede construir a partir de dos puntos ( x e y ) y la bola unidimensional B (un intervalo), de modo que un punto final de B esté pegado a x y el otro esté pegado a y . Los dos puntos xey son las celdas 0; el interior de B es el de 1 celda. Alternativamente, se puede construir solo a partir de un único intervalo, sin celdas 0.
• Un circulo . Se puede construir a partir de un único punto x y la bola unidimensional B , de modo que ambos puntos finales de B estén pegados a x . Alternativamente, se puede construir a partir de dos puntos x e y y dos bolas unidimensionales A y B , de modo que los puntos finales de A estén pegados a x e y , y los puntos finales de B también estén pegados a x e y .
• Un gráfico. Dado un gráfico , se puede construir un complejo CW unidimensional en el que las celdas 0 son los vértices y las celdas 1 son los bordes del gráfico. Los puntos finales de cada arista se identifican con los vértices incidentes en ella. Esta realización de un gráfico combinatorio como un espacio topológico a veces se denomina gráfico topológico .
  • Los gráficos tridimensionales pueden considerarse complejos CW unidimensionales genéricos . Específicamente, si X es un complejo CW unidimensional, el mapa adjunto para una celda es un mapa desde un espacio de dos puntos hasta X ,. Este mapa puede perturbarse para que esté separado del esqueleto 0 de X si y solo si y no son vértices de valencia 0 de X . ${\displaystyle f:\{0,1\}\to X}$ ${\displaystyle f(0)}$ ${\displaystyle f(1)}$
• La estructura CW estándar en los números reales tiene como esqueleto 0 los números enteros y como celdas 1 los intervalos . De manera similar, la estructura CW estándar tiene celdas cúbicas que son productos de las celdas 0 y 1 de . Esta es la estructura de celdas de celosía cúbica estándar en . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \{[n,n+1]:n\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Complejos CW de dimensión finita

Algunos ejemplos de complejos CW de dimensión finita son: ^[7]

• Una esfera de n dimensiones . Admite una estructura CW con dos celdas, una de 0 y otra de n. Aquí, la celda n está unida mediante el mapeo constante desde su límite a la celda 0 única. Una descomposición celular alternativa tiene una esfera ( n -1) dimensional (el " ecuador ") y dos n -células unidas a ella (el "hemisferio superior" y el "hemisferio inferior"). Inductivamente, esto da una descomposición CW con dos celdas en cada dimensión k tal que . ${\displaystyle D^{n}}$ ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle S^{n}}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$
• El espacio proyectivo real n -dimensional . Admite una estructura CW con una celda en cada dimensión.
• La terminología para un complejo CW bidimensional genérico es sombra . ^[8]
• Un poliedro es naturalmente un complejo CW.
• Las variedades Grassmannianas admiten una estructura CW denominada células de Schubert .
• Las variedades diferenciables , las variedades algebraicas y proyectivas tienen el tipo de homotopía de los complejos CW.
• La compactación de un punto de una variedad hiperbólica en cúspide tiene una descomposición CW canónica con una sola celda 0 (el punto de compactación) llamada Descomposición de Epstein-Penner . Estas descomposiciones celulares se denominan con frecuencia descomposiciones poliédricas ideales y se utilizan en programas informáticos populares, como SnapPea .

Complejos CW de dimensión infinita

Complejos no CW

• Un espacio de Hilbert de dimensión infinita no es un complejo CW: es un espacio de Baire y, por tanto, no puede escribirse como una unión contable de n -esqueletos, cada uno de los cuales es un conjunto cerrado con un interior vacío. Este argumento se extiende a muchos otros espacios de dimensiones infinitas.
• El espacio erizo es homotópico a un complejo CW (el punto) pero no admite una descomposición CW, ya que no es localmente contráctil . ${\displaystyle \{re^{2\pi i\theta }:0\leq r\leq 1,\theta \in \mathbb {Q} \}\subseteq \mathbb {C} }$
• El pendiente hawaiano no es homotópico de un complejo CW. No tiene descomposición CW, porque no es localmente contráctil en origen. No es equivalente en homotopía a un complejo CW, porque no tiene una buena cobertura abierta.

Propiedades

• Los complejos CW son localmente contráctiles (Hatcher, prop. A.4).
• Si un espacio es homotópico a un complejo CW, entonces tiene una buena cobertura abierta. ^[9] Una buena cubierta abierta es una cubierta abierta, de modo que cada intersección finita no vacía sea contráctil.
• Los complejos CW son paracompactos . Los complejos finitos de CW son compactos . Un subespacio compacto de un complejo CW siempre está contenido en un subcomplejo finito. ^{[10] [11]}
• Los complejos CW satisfacen el teorema de Whitehead : una aplicación entre complejos CW es una equivalencia de homotopía si y sólo si induce un isomorfismo en todos los grupos de homotopía.
• Un espacio que cubre un complejo CW también es un complejo CW.
• El producto de dos complejos CW se puede convertir en un complejo CW. Específicamente, si X e Y son complejos CW, entonces se puede formar un complejo CW X × Y en el que cada celda es un producto de una celda en X y una celda en Y , dotado de la topología débil . El conjunto subyacente de X × Y es entonces el producto cartesiano de X e Y , como se esperaba. Además, la topología débil de este conjunto a menudo concuerda con la topología de producto más familiar en X × Y , por ejemplo si X o Y son finitos. Sin embargo, la topología débil puede ser más fina que la topología del producto, por ejemplo, si ni X ni Y son localmente compactos . En este caso desfavorable, el producto X × Y en la topología del producto no es un complejo CW. Por otro lado, el producto de X e Y en la categoría de espacios generados de forma compacta concuerda con la topología débil y por tanto define un complejo CW.
• Sean X e Y complejos CW. Entonces los espacios funcionales Hom( X , Y ) (con la topología compacta-abierta ) no son complejos CW en general. Si X es finito, entonces Hom( X , Y ) es homotópicamente equivalente a un complejo CW según un teorema de John Milnor (1959). ^[12] Tenga en cuenta que X e Y son espacios de Hausdorff generados de forma compacta , por lo que Hom( X , Y ) a menudo se toma con la variante generada de forma compacta de la topología abierta compacta; las afirmaciones anteriores siguen siendo ciertas. ^[13]

Homología y cohomología de complejos CW.

La homología singular y la cohomología de los complejos CW se pueden calcular fácilmente mediante homología celular . Además, en la categoría de complejos CW y mapas celulares, la homología celular puede interpretarse como una teoría de la homología . Para calcular una teoría de (co)homología extraordinaria para un complejo CW, la secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch es el análogo de la homología celular .

Algunos ejemplos:

• Para la esfera, tome la descomposición celular con dos celdas: una sola celda 0 y una sola celda n . El complejo de cadena de homología celular y la homología vienen dados por: ${\displaystyle S^{n},}$ ${\displaystyle C_{*}}$

${\displaystyle C_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\in \{0,n\}\\0&k\notin \{0,n\}\end{cases}}\quad H_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} &k\in \{0,n\}\\0&k\notin \{0,n\}\end{cases}}}$

ya que todos los diferenciales son cero.

Alternativamente, si usamos la descomposición ecuatorial con dos celdas en cada dimensión

${\displaystyle C_{k}={\begin{cases}\mathbb {Z} ^{2}&0\leqslant k\leqslant n\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

y los diferenciales son matrices de la forma. Esto da el mismo cálculo de homología anterior, ya que el complejo de cadena es exacto en todos los términos excepto y ${\displaystyle \left({\begin{smallmatrix}1&-1\\1&-1\end{smallmatrix}}\right).}$ ${\displaystyle C_{0}}$ ${\displaystyle C_{n}.}$

• Porque obtenemos de manera similar ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )}$

${\displaystyle H^{k}\left(\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {C} )\right)={\begin{cases}\mathbb {Z} &0\leqslant k\leqslant 2n,{\text{ even}}\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$

Los dos ejemplos anteriores son particularmente simples porque la homología está determinada por el número de células; es decir, los mapas de unión celular no tienen ningún papel en estos cálculos. Este es un fenómeno muy especial y no es indicativo del caso general.

Modificación de estructuras CW.

Existe una técnica, desarrollada por Whitehead, para reemplazar un complejo CW con un complejo CW equivalente a homotopía que tiene una descomposición CW más simple .

Consideremos, por ejemplo, un complejo CW arbitrario. Su 1-esqueleto puede ser bastante complicado, ya que es un gráfico arbitrario . Consideremos ahora un bosque máximo F en este gráfico. Dado que es una colección de árboles, y los árboles son contráctiles, considere el espacio donde se genera la relación de equivalencia si están contenidos en un árbol común en el bosque máximo F. El mapa de cocientes es una equivalencia de homotopía. Además, hereda naturalmente una estructura CW, con células correspondientes a las células de que no están contenidas en F. En particular, el 1-esqueleto de es una unión disjunta de cuñas de círculos. ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle x\sim y}$ ${\displaystyle X\to X/{\sim }}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/{\sim }}$

Otra forma de expresar lo anterior es que un complejo CW conectado puede reemplazarse por un complejo CW equivalente a homotopía cuyo esqueleto 0 consta de un solo punto.

Considere ascender en la escalera de la conectividad: suponga que X es un complejo CW simplemente conectado cuyo esqueleto 0 consta de un punto. ¿Podemos, mediante modificaciones adecuadas, reemplazar X por un complejo CW equivalente a homotopía que consista en un solo punto? La respuesta es sí. El primer paso es observar eso y los mapas adjuntos para construir a partir de ellos una presentación grupal . El teorema de Tietze para presentaciones grupales establece que hay una secuencia de movimientos que podemos realizar para reducir esta presentación grupal a la presentación trivial del grupo trivial. Hay dos movimientos de Tietze: ${\displaystyle X^{1}}$ ${\displaystyle X^{1}}$ ${\displaystyle X^{2}}$ ${\displaystyle X^{1}}$

1) Agregar/quitar un generador. Agregar un generador, desde la perspectiva de la descomposición CW, consiste en agregar una celda de 1 y una celda de 2 cuyo mapa adjunto consiste en la nueva celda de 1 y el resto del mapa adjunto está en . Si dejamos que sea el complejo CW correspondiente , entonces hay una equivalencia de homotopía dada al deslizar las nuevas 2 celdas en X. ${\displaystyle X^{1}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}=X\cup e^{1}\cup e^{2}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}\to X}$

2) Agregar/eliminar una relación. El acto de agregar una relación es similar, solo que uno reemplaza X por donde las nuevas 3 celdas tienen un mapa adjunto que consiste en las nuevas 2 celdas y el resto mapeados en . Una diapositiva similar muestra una equivalencia de homotopía . ${\displaystyle {\tilde {X}}=X\cup e^{2}\cup e^{3}}$ ${\displaystyle X^{2}}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}\to X}$

Si un complejo CW X está n -conectado, se puede encontrar un complejo CW equivalente a homotopía cuyo n -esqueleto consta de un solo punto. El argumento a favor es similar al caso, sólo que uno reemplaza los movimientos de Tietze para la presentación del grupo fundamental por operaciones matriciales elementales para las matrices de presentación para (usando las matrices de presentación provenientes de la homología celular . Es decir: se pueden realizar de manera similar operaciones matriciales elementales mediante una secuencia de adición/eliminación de células u homotopías adecuadas de los mapas adjuntos. ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle n\geq 2}$ ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle H_{n}(X;\mathbb {Z} )}$

'La' categoría de homotopía

La categoría de homotopía de los complejos CW es, en opinión de algunos expertos, la mejor, si no la única, candidata a la categoría de homotopía (por razones técnicas , en realidad se utiliza la versión para espacios puntiagudos ). ^[14] En ocasiones se deben utilizar construcciones auxiliares que den lugar a espacios que no sean complejos CW. Un resultado básico es que los functores representables en la categoría de homotopía tienen una caracterización simple (el teorema de representabilidad de Brown ).

Ver también

• Complejo celular abstracto
• La noción de complejo CW tiene una adaptación a las variedades suaves llamada descomposición en mango , que está estrechamente relacionada con la teoría de la cirugía .

Referencias

Notas

1. Hatcher, Allen (2002). Topología algebraica . Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-79540-0.Este libro de texto define los complejos CW en el primer capítulo y los utiliza en todo momento; Incluye un apéndice sobre la topología de complejos CW. Una versión electrónica gratuita está disponible en la página de inicio del autor.
2. Whitehead, JHC (1949a). "Homotopía combinatoria. I." (PDF) . Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 55 (5): 213–245. doi : 10.1090/S0002-9904-1949-09175-9 . SEÑOR  0030759.(acceso abierto)
3. De Agostino, Sergio (2016). La conjetura de la celulación regular de las 3 esferas (PDF) . Taller Internacional sobre Algoritmos Combinatorios.
4. Davis, James F.; Kirk, Paul (2001). Apuntes de conferencias sobre topología algebraica . Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas.
5. "Complejo CW en nLab".
6. "Complejo CW - Enciclopedia de Matemáticas".
7. Archivado en Ghostarchive y Wayback Machine: canal, Animated Math (2020). "1.3 Introducción a la topología algebraica. Ejemplos de complejos CW". YouTube .
8. Turaev, VG (1994). "Invariantes cuánticos de nudos y 3 variedades" . Estudios De Gruyter en Matemáticas. vol. 18. Berlín: Walter de Gruyter & Co. ISBN 9783110435221.
9. Milnor, John (febrero de 1959). "Sobre espacios que tienen el tipo de homotopía de un complejo CW" . Transacciones de la Sociedad Matemática Estadounidense . 90 (2): 272–280. doi :10.2307/1993204. ISSN  0002-9947. JSTOR  1993204.
10. Hatcher, Allen , Topología algebraica , Cambridge University Press (2002). ISBN 0-521-79540-0 . Una versión electrónica gratuita está disponible en la página de inicio del autor. 
11. Hatcher, Allen , Vector Bundles y K-theory , versión preliminar disponible en la página de inicio del autor
12. Milnor, Juan (1959). "Sobre espacios que tienen el tipo de homotopía de un complejo CW". Trans. América. Matemáticas. Soc . 90 (2): 272–280. doi : 10.1090/s0002-9947-1959-0100267-4 . JSTOR  1993204.
13. "Espacios generados de forma compacta" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 3 de marzo de 2016 . Consultado el 26 de agosto de 2012 .
14. Por ejemplo, la opinión "La clase de complejos CW (o la clase de espacios del mismo tipo de homotopía que un complejo CW) es la clase de espacios topológicos más adecuada en relación con la teoría de la homotopía" aparece en Baladze, DO (2001) [1994], "CW-complex", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

Referencias generales

• Lundell, AT; Weingram, S. (1970). La topología de los complejos CW . Serie de la Universidad Van Nostrand sobre Matemáticas Superiores. ISBN 0-442-04910-2.
• Marrón, R.; Higgins, PJ; Sivera, R. (2011). Topología algebraica nobeliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupoides de homotopía cúbica . Tratados de Matemáticas de la Sociedad Europea de Matemáticas Vol. 15. ISBN 978-3-03719-083-8.Más detalles en la página de inicio del [1] primer autor]