pendiente hawaiano

Espacio topológico definido por la unión de círculos.

El pendiente hawaiano. Sólo se muestran los diez círculos más grandes.

En matemáticas , el pendiente hawaiano es el espacio topológico definido por la unión de círculos en el plano euclidiano con centro y radio dotados de la topología subespacial : ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle \left({\tfrac {1}{n}},0\right)}$ ${\displaystyle {\tfrac {1}{n}}}$ ${\displaystyle n=1,2,3,\ldots }$

$${\displaystyle \mathbb {H} =\bigcup _{n=1}^{\infty }\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid \left(x-{\frac {1}{n}}\right)^{2}+y^{2}=\left({\frac {1}{n}}\right)^{2}\right\}.}$$

El espacio es homeomorfo a la compactación en un punto de la unión de una familia contable de intervalos abiertos disjuntos . ${\displaystyle \mathbb {H} }$

El pendiente hawaiano es un espacio metrizable unidimensional , compacto y conectado localmente . Aunque es localmente homeomórfico en todos los puntos que no son de origen, no está simplemente conectado semilocalmente en . Por lo tanto, no tiene un espacio que cubra simplemente conectado y generalmente se da como el ejemplo más simple de un espacio con esta complicación. ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle (0,0)}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

El pendiente hawaiano se parece mucho a la suma de cuñas de infinitos círculos contables; es decir, la rosa con infinitos pétalos, pero estos dos espacios no son homeomórficos. La diferencia entre sus topologías se ve en el hecho de que, en el pendiente hawaiano, cada vecindad abierta del punto de intersección de los círculos contiene todos los círculos excepto un número finito (una bola ε alrededor de (0, 0) contiene todos los círculos cuyo radio es menor que ε /2 ); en la rosa, es posible que una vecindad del punto de intersección no contenga completamente ninguno de los círculos. Además, la rosa no es compacta: el complemento del punto distinguido es una unión infinita de intervalos abiertos; a estos se les agrega una pequeña vecindad abierta del punto distinguido para obtener una cubierta abierta sin subcobertura finita.

grupo fundamental

El pendiente hawaiano no está simplemente conectado ni semilocalmente simplemente conectado ya que, en general, el bucle que parametriza el enésimo círculo no es homotópico de un bucle trivial. Por lo tanto, tiene un grupo fundamental no trivial al que a veces se hace referencia como grupo de aretes hawaianos . El grupo de aretes hawaianos es incontable y no es un grupo libre. Sin embargo, es localmente libre en el sentido de que cada subgrupo de generado finitamente es libre. ${\displaystyle n\geq 1,}$ ${\displaystyle \ell _{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$  ${\displaystyle G=\pi _{1}(\mathbb {H} ,(0,0)),}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$

Las clases de homotopía de los bucles individuales generan el grupo libre en un número contablemente infinito de generadores, que forma un subgrupo adecuado de . Los incontables otros elementos de surgen de bucles cuya imagen no está contenida en un número finito de círculos de los pendientes hawaianos; de hecho, algunos de ellos son sobreyectivos. Por ejemplo, el camino que en el intervalo circunnavega el enésimo círculo. De manera más general, se pueden formar infinitos productos de los bucles indexados en cualquier orden lineal contable, siempre que para cada uno , el bucle y su inverso aparezcan dentro del producto sólo un número finito de veces. ${\displaystyle \ell _{n}}$ ${\displaystyle \langle [\ell _{n}]\mid n\geq 1\rangle }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle [2^{-n},2^{-n+1}]}$ ${\displaystyle \ell _{n}}$ ${\displaystyle n\geq 1}$ ${\displaystyle \ell _{n}}$

Es un resultado de John Morgan e Ian Morrison que se integra en el límite inverso de los grupos libres con n generadores, donde el mapa de enlace de a simplemente mata al último generador de . Sin embargo, es un subgrupo adecuado del límite inverso ya que cada bucle puede atravesar cada círculo solo un número finito de veces. Un ejemplo de un elemento del límite inverso que no corresponde a un elemento de es un producto infinito de conmutadores , que aparece formalmente como la secuencia en el límite inverso . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \varprojlim F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle F_{n-1}}$ ${\displaystyle F_{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle G}$ ${\textstyle \prod _{n=2}^{\infty }[\ell _{1}\ell _{n}\ell _{1}^{-1}\ell _{n}^{-1}]}$ ${\displaystyle \left(1,[\ell _{1}][\ell _{2}][\ell _{1}]^{-1}[\ell _{2}]^{-1},[\ell _{1}][\ell _{2}][\ell _{1}]^{-1}[\ell _{2}]^{-1}[\ell _{1}][\ell _{3}][\ell _{1}]^{-1}[\ell _{3}]^{-1},\dots \right)}$ ${\displaystyle \varprojlim F_{n}}$

Primera homología singular

Katsuya Eda y Kazuhiro Kawamura demostraron que la abelianización y , por tanto, el primer grupo de homología singular es isomorfo al grupo. ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle H_{1}(\mathbb {H} )}$

$${\displaystyle \left(\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} \right)\oplus \left(\prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} {\Big /}\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} \right).}$$

El primer sumando es el producto directo de infinitas copias del grupo cíclico infinito (el grupo de Baer-Specker ). Este factor representa las clases de homología singular de bucles que no tienen número de devanados alrededor de cada círculo y es precisamente el primer grupo de homología singular de Cech . Además, puede considerarse como la abelianización infinita de , ya que cada elemento en el núcleo del homomorfismo natural está representado por un producto infinito de conmutadores. El segundo sumando de consiste en clases de homología representadas por bucles cuyo número de enrollamiento alrededor de cada círculo de es cero, es decir, el núcleo del homomorfismo natural . La existencia del isomorfismo con se demuestra de forma abstracta mediante la teoría de grupos abelianos infinitos y no tiene una interpretación geométrica. ${\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle {\check {H}}_{1}(\mathbb {H} )}$ ${\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle G}$ ${\textstyle G\to \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle H_{1}(\mathbb {H} )}$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\textstyle H_{1}(\mathbb {H} )\to \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} }$ ${\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} {\Big /}\bigoplus _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} }$

Dimensiones superiores

Se sabe que es un espacio asférico , es decir, todos los grupos de homotopía y homología superiores son triviales. ${\displaystyle \mathbb {H} }$ ${\displaystyle \mathbb {H} }$

El pendiente hawaiano se puede generalizar a dimensiones superiores. Michael Barratt y John Milnor utilizaron esta generalización para proporcionar ejemplos de espacios compactos de dimensión finita con grupos de homología singulares no triviales en dimensiones mayores que la del espacio. El pendiente hawaiano de dimensiones se define como ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \mathbb {H} _{k}=\bigcup _{n\in \mathbb {N} }\left\{(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k})\in \mathbb {R} ^{k+1}:\left(x_{0}-{\frac {1}{n}}\right)^{2}+x_{1}^{2}+\cdots +x_{k}^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\right\}.}$

Por lo tanto, es una unión contable de k -esferas que tienen un solo punto en común, y la topología está dada por una métrica en la que los diámetros de la esfera convergen a cero. Alternativamente, se puede construir como la compactificación de Alexandrov de una unión contable de k -esferas que tienen un solo punto en común. s. De forma recursiva, uno tiene que consta de una secuencia convergente, es el pendiente hawaiano original y es homeomorfo a la suspensión reducida . ${\displaystyle \mathbb {H} _{k}}$ ${\displaystyle n\to \infty .}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {H} _{k+1}}$ ${\displaystyle \Sigma \mathbb {H} _{k}}$

Para , el arete hawaiano de dimensiones es compacto, conectado y conectado localmente . Para , se sabe que es isomorfo al grupo Baer-Specker ${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k-1)}$ ${\displaystyle (k-1)}$ ${\displaystyle k\geq 2}$ ${\displaystyle \pi _{k}(\mathbb {H} _{k})}$ ${\textstyle \prod _{i=1}^{\infty }\mathbb {Z} .}$

For y Barratt y Milnor demostraron que el grupo de homología singular es un grupo incontable no trivial para cada uno de ellos . ^[1] ${\displaystyle q\equiv 1{\bmod {(}}k-1)}$ ${\displaystyle q>1,}$ ${\displaystyle H_{q}(\mathbb {H} _{k};\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle q}$

Ver también

• Lista de topologías

Referencias

1. Barratt, Michael; Milnor, Juan (1962). "Un ejemplo de homología singular anómala". Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense . 13 (2): 293–297. doi : 10.1090/s0002-9939-1962-0137110-9 . SEÑOR  0137110.

Otras lecturas

• Cañón, James W .; Conner, Gregory R. (2000), "El gran grupo fundamental, los grandes pendientes hawaianos y los grandes grupos libres", Topología y sus aplicaciones , 106 (3): 273–291, doi : 10.1016/S0166-8641(99) 00104-2 , señor  1775710.
• Conner, Gregorio; Spencer, K. (2005), "Comportamiento anómalo del grupo de aretes hawaianos", Journal of Group Theory , 8 (2): 223–227, doi :10.1515/jgth.2005.8.2.223, MR  2126731.
• Eda, Katsuya (2002), "Los grupos fundamentales de espacios salvajes unidimensionales y el pendiente hawaiano" (PDF) , Actas de la Sociedad Matemática Estadounidense , 130 (5): 1515–1522, doi : 10.1090/S0002-9939- 01-06431-0 , señor  1879978.
• Eda, Katsuya ; Kawamura, Kazuhiro (2000), "La homología singular del pendiente hawaiano", Revista de la Sociedad Matemática de Londres , 62 (1): 305–310, doi :10.1112/S0024610700001071, SEÑOR  1772189.
• Fabel, Paul (2005), "El grupo topológico de pendientes hawaianos no se integra en el límite inverso de los grupos libres", Topología algebraica y geométrica , 5 (4): 1585–1587, arXiv : math/0501482 , Bibcode : 2005math.. ....1482F, doi :10.2140/agt.2005.5.1585, SEÑOR  2186111.
• Morgan, John W .; Morrison, Ian (1986), "Un teorema de van Kampen para uniones débiles", Actas de la Sociedad Matemática de Londres , 53 (3): 562–576, doi :10.1112/plms/s3-53.3.562, SEÑOR  0868459.