Grupo Baer-Specker

Grupo abeliano infinito

En matemáticas , en el campo de la teoría de grupos , el grupo de Baer-Specker , o grupo de Specker , llamado así en honor a Reinhold Baer y Ernst Specker , es un ejemplo de un grupo abeliano infinito que es un componente básico en la teoría de la estructura de dichos grupos.

Definición

El grupo de Baer-Specker es el grupo B = Z ^N de todas las sucesiones de números enteros con adición de componentes, es decir, el producto directo de un número infinito de copias de Z. Se puede describir de manera equivalente como el grupo aditivo de series de potencias formales con coeficientes enteros.

Propiedades

Reinhold Baer demostró en 1937 que este grupo no es abeliano libre ; Specker demostró en 1950 que todo subgrupo contable de B es abeliano libre.

El grupo de homomorfismos del grupo de Baer-Specker a un grupo abeliano libre de rango finito es un grupo abeliano libre de rango numerable. Esto proporciona otra prueba de que el grupo no es libre. ^[1]

Véase también

• Grupo esbelto

Notas

1. Blass y Göbel (1996) atribuyen este resultado a Specker (1950). Lo escriben en la forma donde denota el grupo de Baer-Specker, el operador estrella da el grupo dual de homomorfismos a , y es el grupo abeliano libre de rango numerable. Continúan diciendo: "De ello se deduce que no tiene sumando directo isomorfo a ", de lo que una consecuencia inmediata es que no es abeliano libre. ${\displaystyle P^{*}\cong S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle P}$

Referencias

• Baer, ​​Reinhold (1937), "Grupos abelianos sin elementos de orden finito", Duke Mathematical Journal , 3 (1): 68–122, doi :10.1215/S0012-7094-37-00308-9, hdl : 10338.dmlcz/100591 , MR  1545974.
• Blass, Andreas ; Göbel, Rüdiger (1996), "Subgrupos del grupo Baer-Specker con pocos endomorfismos pero un dual grande", Fundamenta Mathematicae , 149 (1): 19–29, arXiv : math/9405206 , Bibcode :1994math......5206B, doi :10.4064/fm-149-1-19-29, MR  1372355, S2CID  18281146.
• Specker, Ernst (1950), "Additive Gruppen von Folgen ganzer Zahlen", Portugaliae Mathematica , 9 : 131–140, SEÑOR  0039719.
• Griffith, Phillip A. (1970), Teoría de grupos abelianos infinitos , Chicago Lectures in Mathematics, University of Chicago Press, págs. 1, 111–112, ISBN 0-226-30870-7.
• Cornelius, EF, Jr. (2009), "Endomorfismos y bases de productos del grupo Baer-Specker", Int'l J Math and Math Sciences, 2009, artículo 396475, https://www.hindawi.com/journals/ijmms/

Enlaces externos

• Stefan Schröer, Resultado de Baer: El producto infinito de los números enteros no tiene base