Homología celular

En matemáticas , la homología celular en topología algebraica es una teoría de homología para la categoría de complejos CW . Concuerda con la homología singular y puede proporcionar un medio eficaz para calcular módulos de homología.

Definición

Si es un complejo CW con n -esqueleto , los módulos de homología celular se definen como los grupos de homología Hi del complejo de cadena celular _. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{n}}$

${\displaystyle \cdots \to {C_{n+1}}(X_{n+1},X_{n})\to {C_{n}}(X_{n},X_{n-1})\to {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})\to \cdots ,}$

donde se toma como el conjunto vacío. ${\displaystyle X_{-1}}$

El grupo

${\displaystyle {C_{n}}(X_{n},X_{n-1})}$

Es abeliano libre , con generadores que pueden identificarse con las células de . Sea una celda de y sea el mapa adjunto. Entonces considere la composición. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle e_{n}^{\alpha }}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha }:\partial e_{n}^{\alpha }\cong \mathbb {S} ^{n-1}\to X_{n-1}}$

${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha \beta }:\mathbb {S} ^{n-1}\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\partial e_{n}^{\alpha }\,{\stackrel {\chi _{n}^{\alpha }}{\longrightarrow }}\,X_{n-1}\,{\stackrel {q}{\longrightarrow }}\,X_{n-1}/\left(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\mathbb {S} ^{n-1},}$

donde el primer mapa se identifica con a través del mapa característico de , el objeto es una celda de X , el tercer mapa es el mapa cociente que se colapsa en un punto (envolviéndose así en una esfera ), y el último mapa se identifica con a través de la característica mapa de . ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \partial e_{n}^{\alpha }}$ ${\displaystyle \Phi _{n}^{\alpha }}$ ${\displaystyle e_{n}^{\alpha }}$ ${\displaystyle e_{n-1}^{\beta }}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }}$ ${\displaystyle e_{n-1}^{\beta }}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$ ${\displaystyle X_{n-1}/\left(X_{n-1}\setminus e_{n-1}^{\beta }\right)}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n-1}}$ ${\displaystyle \Phi _{n-1}^{\beta }}$ ${\displaystyle e_{n-1}^{\beta }}$

El mapa de límites

${\displaystyle \partial _{n}:{C_{n}}(X_{n},X_{n-1})\to {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})}$

luego viene dada por la fórmula

${\displaystyle {\partial _{n}}(e_{n}^{\alpha })=\sum _{\beta }\deg \left(\chi _{n}^{\alpha \beta }\right)e_{n-1}^{\beta },}$

donde es el grado de y la suma se toma de todas las celdas de , consideradas como generadoras de . ${\displaystyle \deg \left(\chi _{n}^{\alpha \beta }\right)}$ ${\displaystyle \chi _{n}^{\alpha \beta }}$ ${\displaystyle (n-1)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {C_{n-1}}(X_{n-1},X_{n-2})}$

Ejemplos

Los siguientes ejemplos ilustran por qué los cálculos realizados con homología celular suelen ser más eficientes que los calculados utilizando únicamente homología singular.

La n -esfera

La esfera n -dimensional S ⁿ admite una estructura CW con dos celdas, una de 0 celdas y otra de n . Aquí, la n celda está adjunta mediante el mapeo constante de a 0 celda. Dado que los generadores de los grupos de cadenas celulares pueden identificarse con las k células de S ⁿ , tenemos eso para y por lo demás es trivial. ${\displaystyle S^{n-1}}$ ${\displaystyle {C_{k}}(S_{k}^{n},S_{k-1}^{n})}$ ${\displaystyle {C_{k}}(S_{k}^{n},S_{k-1}^{n})=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k=0,n,}$

Por lo tanto, para , el complejo de cadena resultante es ${\displaystyle n>1}$

${\displaystyle \dotsb {\overset {\partial _{n+2}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{n+1}}{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{n-1}}{\longrightarrow \,}}\dotsb {\overset {\partial _{2}}{\longrightarrow \,}}0{\overset {\partial _{1}}{\longrightarrow \,}}\mathbb {Z} {\longrightarrow \,}0,}$

pero como todos los mapas de límites son hacia o desde grupos triviales, todos deben ser cero, lo que significa que los grupos de homología celular son iguales a

${\displaystyle H_{k}(S^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,n\\\{0\}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Cuando , es posible verificar que el mapa de límites es cero, lo que significa que la fórmula anterior es válida para todos los positivos . ${\displaystyle n=1}$ ${\displaystyle \partial _{1}}$ ${\displaystyle n}$

Superficie género g

La homología celular también se puede utilizar para calcular la homología de la superficie del género g . El polígono fundamental de es un góno que proporciona una estructura CW con una celda de 2, una celda y una celda 0. Las 2 celdas están unidas a lo largo del límite del -gon, que contiene cada 1 celda dos veces, una hacia adelante y otra hacia atrás. Esto significa que el mapa adjunto es cero, ya que las direcciones hacia adelante y hacia atrás de cada celda se cancelan. De manera similar, el mapa adjunto para cada celda 1 también es cero, ya que es el mapeo constante desde la celda 0. Por lo tanto, el complejo de cadena resultante es ${\displaystyle \Sigma _{g}}$ ${\displaystyle \Sigma _{g}}$ ${\displaystyle 4n}$ ${\displaystyle \Sigma _{g}}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle 4n}$ ${\displaystyle S^{0}}$

${\displaystyle \cdots \to 0\xrightarrow {\partial _{3}} \mathbb {Z} \xrightarrow {\partial _{2}} \mathbb {Z} ^{2g}\xrightarrow {\partial _{1}} \mathbb {Z} \to 0,}$

donde todos los mapas de límites son cero. Por lo tanto, esto significa que la homología celular de la superficie del género g viene dada por

${\displaystyle H_{k}(\Sigma _{g})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0,2\\\mathbb {Z} ^{2g}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

De manera similar, se puede construir la superficie del género g con una tapa transversal unida como un complejo CW con 1 0 células, g 1 células y 1 2 células. Sus grupos de homología son

$${\displaystyle H_{k}(\Sigma _{g})={\begin{cases}\mathbb {Z} &k=0\\\mathbb {Z} ^{g-1}\oplus \mathbb {Z} _{2}&k=1\\\{0\}&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$$

Toro

El n-toro se puede construir como el complejo CW con 1 0 celdas, n 1 celdas, ... y 1 n celda. El complejo de cadenas es ${\displaystyle (S^{1})^{n}}$

$${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{n}}\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{n-1}}\to \cdots \to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{1}}\to \mathbb {Z} ^{\binom {n}{0}}\to 0}$$

${\displaystyle n=0,1,2,3}$

De este modo, . ${\displaystyle H_{k}((S^{1})^{n})\simeq \mathbb {Z} ^{\binom {n}{k}}}$

Espacio proyectivo complejo

Si no tiene celdas de dimensiones adyacentes (por lo tanto, si tiene n celdas, no tiene (n-1) celdas ni (n+1) celdas), entonces el grupo abeliano libre es generado por sus n celdas, para cada . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H_{n}^{CW}(X)}$ ${\displaystyle n}$

El espacio proyectivo complejo se obtiene pegando una celda 0, una celda 2, ... y una celda (2n), por lo tanto para y cero en caso contrario. ${\displaystyle P^{n}\mathbb {C} }$ ${\displaystyle H_{k}(P^{n}\mathbb {C} )=\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k=0,2,...,2n}$

Espacio proyectivo real

El espacio proyectivo real admite una estructura CW con una celda para todas . El mapa adjunto para estas celdas viene dado por el mapa de cobertura doble . (Observe que el -esqueleto para todos .) Tenga en cuenta que en este caso, para todos . ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle e_{k}}$ ${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \varphi _{k}\colon S^{k-1}\to \mathbb {R} P^{k-1}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mathbb {R} P_{k}^{n}\cong \mathbb {R} P^{k}}$ ${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n\}}$ ${\displaystyle C_{k}(\mathbb {R} P_{k}^{n},\mathbb {R} P_{k-1}^{n})\cong \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle k\in \{0,1,\dots ,n\}}$

Para calcular el mapa de límites

${\displaystyle \partial _{k}\colon C_{k}(\mathbb {R} P_{k}^{n},\mathbb {R} P_{k-1}^{n})\to C_{k-1}(\mathbb {R} P_{k-1}^{n},\mathbb {R} P_{k-2}^{n}),}$

debemos encontrar el grado del mapa

${\displaystyle \chi _{k}\colon S^{k-1}{\overset {\varphi _{k}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} P^{k-1}{\overset {q_{k}}{\longrightarrow }}\mathbb {R} P^{k-1}/\mathbb {R} P^{k-2}\cong S^{k-1}.}$

Ahora, tenga en cuenta que , y para cada punto , tenemos que consta de dos puntos, uno en cada componente conectado (hemisferio abierto) de . Por lo tanto, para encontrar el grado del mapa , es suficiente encontrar los grados locales de en cada uno de estos hemisferios abiertos. Para facilitar la notación, dejamos y denotamos los componentes conectados de . Entonces y son homeomorfismos, y , donde está el mapa antípoda. Ahora, el grado del mapa antípoda es . Por tanto, sin pérdida de generalidad, tenemos que el grado local de on es y el grado local de on es . Sumando las titulaciones locales tenemos que ${\displaystyle \varphi _{k}^{-1}(\mathbb {R} P^{k-2})=S^{k-2}\subseteq S^{k-1}}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} P^{k-1}\setminus \mathbb {R} P^{k-2}}$ ${\displaystyle \varphi ^{-1}(\{x\})}$ ${\displaystyle S^{k-1}\setminus S^{k-2}}$ ${\displaystyle \chi _{k}}$ ${\displaystyle \chi _{k}}$ ${\displaystyle B_{k}}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}_{k}}$ ${\displaystyle S^{k-1}\setminus S^{k-2}}$ ${\displaystyle \chi _{k}|_{B_{k}}}$ ${\displaystyle \chi _{k}|_{{\tilde {B}}_{k}}}$ ${\displaystyle \chi _{k}|_{{\tilde {B}}_{k}}=\chi _{k}|_{B_{k}}\circ A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S^{k-1}}$ ${\displaystyle (-1)^{k}}$ ${\displaystyle \chi _{k}}$ ${\displaystyle B_{k}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \chi _{k}}$ ${\displaystyle {\tilde {B}}_{k}}$ ${\displaystyle (-1)^{k}}$

${\displaystyle \deg(\chi _{k})=1+(-1)^{k}={\begin{cases}2&{\text{if }}k{\text{ is even,}}\\0&{\text{if }}k{\text{ is odd.}}\end{cases}}}$

El mapa de límites viene dado entonces por . ${\displaystyle \partial _{k}}$ ${\displaystyle \deg(\chi _{k})}$

Por lo tanto tenemos que la estructura CW da lugar al siguiente complejo de cadenas: ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$

${\displaystyle 0\longrightarrow \mathbb {Z} {\overset {\partial _{n}}{\longrightarrow }}\cdots {\overset {2}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {0}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {2}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} {\overset {0}{\longrightarrow }}\mathbb {Z} \longrightarrow 0,}$

donde si es par y si es impar. Por tanto, los grupos de homología celular son los siguientes: ${\displaystyle \partial _{n}=2}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \partial _{n}=0}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} P^{n}}$

${\displaystyle H_{k}(\mathbb {R} P^{n})={\begin{cases}\mathbb {Z} &{\text{if }}k=0{\text{ and }}k=n{\text{ odd}},\\\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} &{\text{if }}0<k<n{\text{ odd,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Otras propiedades

Se ve en el complejo de cadenas celulares que el esqueleto determina todos los módulos de homología de dimensiones inferiores: ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {H_{k}}(X)\cong {H_{k}}(X_{n})}$

para . ${\displaystyle k<n}$

Una consecuencia importante de esta perspectiva celular es que si un complejo CW no tiene células en dimensiones consecutivas, entonces todos sus módulos de homología están libres. Por ejemplo, el espacio proyectivo complejo tiene una estructura celular con una celda en cada dimensión par; se deduce que para , ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}}$ ${\displaystyle 0\leq k\leq n}$

${\displaystyle {H_{2k}}(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$

y

${\displaystyle {H_{2k+1}}(\mathbb {CP} ^{n};\mathbb {Z} )=0.}$

Generalización

La secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch es el método análogo para calcular la (co)homología de un complejo CW, para una teoría de (co)homología extraordinaria arbitraria .

característica de euler

Para un complejo celular , sea su -ésimo esqueleto y el número de -células, es decir, el rango del módulo libre . La característica de Euler se define entonces por ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle c_{j}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle {C_{j}}(X_{j},X_{j-1})}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \chi (X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}c_{j}.}$

La característica de Euler es una invariante de homotopía. De hecho, en términos de los números de Betti de , ${\displaystyle X}$

${\displaystyle \chi (X)=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}\operatorname {Rank} ({H_{j}}(X)).}$

Esto se puede justificar de la siguiente manera. Considere la larga secuencia exacta de homología relativa para el triple : ${\displaystyle (X_{n},X_{n-1},\varnothing )}$

${\displaystyle \cdots \to {H_{i}}(X_{n-1},\varnothing )\to {H_{i}}(X_{n},\varnothing )\to {H_{i}}(X_{n},X_{n-1})\to \cdots .}$

Buscar la exactitud a través de la secuencia da

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},\varnothing ))=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},X_{n-1}))+\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n-1},\varnothing )).}$

El mismo cálculo se aplica a los triples , , etc. Por inducción, ${\displaystyle (X_{n-1},X_{n-2},\varnothing )}$ ${\displaystyle (X_{n-2},X_{n-3},\varnothing )}$

${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}\;\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{n},\varnothing ))=\sum _{j=0}^{n}\sum _{i=0}^{j}(-1)^{i}\operatorname {Rank} ({H_{i}}(X_{j},X_{j-1}))=\sum _{j=0}^{n}(-1)^{j}c_{j}.}$

Referencias

• Albrecht Dold : Conferencias sobre topología algebraica , Springer ISBN  3-540-58660-1 .
• Allen Hatcher : Topología algebraica , Cambridge University Press ISBN 978-0-521-79540-1 . Una versión electrónica gratuita está disponible en la página de inicio del autor.