Categoría derivada

Construcción homológica

En matemáticas , la categoría derivada D ( A ) de una categoría abeliana A es una construcción de álgebra homológica introducida para refinar y en cierto sentido simplificar la teoría de funtores derivados definidos en A . La construcción procede sobre la base de que los objetos de D ( A ) deben ser complejos de cadena en A , con dos complejos de cadena de este tipo considerados isomorfos cuando hay un mapa de cadena que induce un isomorfismo en el nivel de homología de los complejos de cadena. Los funtores derivados pueden entonces definirse para complejos de cadena, refinando el concepto de hipercohomología . Las definiciones conducen a una simplificación significativa de fórmulas descritas de otro modo (no completamente fielmente) por secuencias espectrales complicadas .

El desarrollo de la categoría derivada, por Alexander Grothendieck y su estudiante Jean-Louis Verdier poco después de 1960, aparece ahora como un punto terminal en el desarrollo explosivo del álgebra homológica en la década de 1950, una década en la que había logrado avances notables. La teoría básica de Verdier fue escrita en su disertación, publicada finalmente en 1996 en Astérisque (un resumen había aparecido anteriormente en SGA 4½ ). La axiomática requirió una innovación, el concepto de categoría triangulada , y la construcción se basa en la localización de una categoría , una generalización de la localización de un anillo . El impulso original para desarrollar el formalismo "derivado" provino de la necesidad de encontrar una formulación adecuada de la teoría de dualidad coherente de Grothendieck . Desde entonces, las categorías derivadas se han vuelto indispensables también fuera de la geometría algebraica , por ejemplo en la formulación de la teoría de los D-módulos y el análisis microlocal . Las categorías derivadas recientemente también han cobrado importancia en áreas más cercanas a la física, como las D-branas y la simetría especular .

Las categorías derivadas ilimitadas fueron introducidas por Spaltenstein en 1988.

Motivaciones

En la teoría de haces coherentes , llevando al límite lo que se podía hacer con la dualidad de Serre sin la suposición de un esquema no singular , se hizo evidente la necesidad de tomar un complejo completo de haces en lugar de un único haz dualizante . De hecho, la condición del anillo de Cohen-Macaulay , un debilitamiento de la no singularidad, corresponde a la existencia de un único haz dualizante; y esto está lejos de ser el caso general. Desde la posición intelectual de arriba hacia abajo, siempre asumida por Grothendieck, esto significó una necesidad de reformulación. Con ella vino la idea de que el producto tensorial "real" y los funtores Hom serían los existentes en el nivel derivado; con respecto a ellos, Tor y Ext se vuelven más como dispositivos computacionales.

A pesar del nivel de abstracción, las categorías derivadas se aceptaron en las décadas siguientes, especialmente como un entorno conveniente para la cohomología de haces . Quizás el mayor avance fue la formulación de la correspondencia de Riemann-Hilbert en dimensiones mayores que 1 en términos derivados, alrededor de 1980. La escuela de Sato adoptó el lenguaje de las categorías derivadas, y la historia posterior de los módulos D fue la de una teoría expresada en esos términos.

Un desarrollo paralelo fue la categoría de espectros en la teoría de homotopía . La categoría de homotopía de espectros y la categoría derivada de un anillo son ejemplos de categorías trianguladas .

Definición

Sea una categoría abeliana . (Los ejemplos incluyen la categoría de módulos sobre un anillo y la categoría de haces de grupos abelianos en un espacio topológico). La categoría derivada está definida por una propiedad universal con respecto a la categoría de complejos de cocadena con términos en . Los objetos de son de la forma ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$

${\displaystyle \cdots \to X^{-1}\xrightarrow {d^{-1}} X^{0}\xrightarrow {d^{0}} X^{1}\xrightarrow {d^{1}} X^{2}\to \cdots ,}$

donde cada X ⁱ es un objeto de y cada uno de los compuestos es cero. El i ésimo grupo de cohomología del complejo es . Si y son dos objetos en esta categoría, entonces un morfismo se define como una familia de morfismos tales que . Tal morfismo induce morfismos en grupos de cohomología , y se denomina cuasi-isomorfismo si cada uno de estos morfismos es un isomorfismo en . ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle d^{i+1}\circ d^{i}}$ ${\displaystyle H^{i}(X^{\bullet })=\operatorname {ker} d^{i}/\operatorname {im} d^{i-1}}$ ${\displaystyle (X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })}$ ${\displaystyle (Y^{\bullet },d_{Y}^{\bullet })}$ ${\displaystyle f^{\bullet }\colon (X^{\bullet },d_{X}^{\bullet })\to (Y^{\bullet },d_{Y}^{\bullet })}$ ${\displaystyle f_{i}\colon X^{i}\to Y^{i}}$ ${\displaystyle f_{i+1}\circ d_{X}^{i}=d_{Y}^{i}\circ f_{i}}$ ${\displaystyle H^{i}(f^{\bullet })\colon H^{i}(X^{\bullet })\to H^{i}(Y^{\bullet })}$ ${\displaystyle f^{\bullet }}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

La propiedad universal de la categoría derivada es que es una localización de la categoría de complejos respecto de cuasi-isomorfismos. Específicamente, la categoría derivada es una categoría, junto con un funtor , que tiene la siguiente propiedad universal: Supóngase que es otra categoría (no necesariamente abeliana) y es un funtor tal que, siempre que es un cuasi-isomorfismo en , su imagen es un isomorfismo en ; entonces se factoriza a través de . Cualesquiera dos categorías que tengan esta propiedad universal son equivalentes. ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle Q\colon \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F\colon \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle f^{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle F(f^{\bullet })}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle Q}$

Relación con la categoría de homotopía

Si y son dos morfismos en , entonces una homotopía de cadena o simplemente homotopía es una colección de morfismos tales que para cada i . Es sencillo demostrar que dos morfismos homotópicos inducen morfismos idénticos en grupos de cohomología. Decimos que es una equivalencia de homotopía de cadena si existe tal que y son homotópicos en cadena con los morfismos identidad en y , respectivamente. La categoría de homotopía de los complejos de cocadena es la categoría con los mismos objetos que pero cuyos morfismos son clases de equivalencia de morfismos de complejos con respecto a la relación de homotopía de cadena. Hay un funtor natural que es la identidad en los objetos y que envía cada morfismo a su clase de equivalencia de homotopía de cadena. Dado que cada equivalencia de homotopía de cadena es un cuasi-isomorfismo, se factoriza a través de este funtor. En consecuencia, puede verse igualmente bien como una localización de la categoría de homotopía. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X^{\bullet }\to Y^{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle h\colon f\to g}$ ${\displaystyle h^{i}\colon X^{i}\to Y^{i-1}}$ ${\displaystyle f^{i}-g^{i}=d_{Y}^{i-1}\circ h^{i}+h^{i+1}\circ d_{X}^{i}}$ ${\displaystyle f\colon X^{\bullet }\to Y^{\bullet }}$ ${\displaystyle g\colon Y^{\bullet }\to X^{\bullet }}$ ${\displaystyle g\circ f}$ ${\displaystyle f\circ g}$ ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle Y^{\bullet }}$ ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Kom} ({\mathcal {A}})\to K({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$

Desde el punto de vista de las categorías modelo , la categoría derivada D ( A ) es la verdadera "categoría de homotopía" de la categoría de complejos, mientras que K ( A ) podría llamarse la "categoría de homotopía ingenua".

Construyendo la categoría derivada

Existen varias construcciones posibles de la categoría derivada. Cuando es una categoría pequeña, entonces existe una construcción directa de la categoría derivada mediante la unión formal de inversos de cuasi-isomorfismos. Este es un ejemplo de la construcción general de una categoría mediante generadores y relaciones. ^[1] ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Cuando es una categoría grande, esta construcción no funciona por razones de teoría de conjuntos. Esta construcción construye morfismos como clases de equivalencia de caminos. Si tiene una clase propia de objetos, todos los cuales son isomorfos, entonces hay una clase propia de caminos entre dos de estos objetos. Por lo tanto, la construcción de generadores y relaciones solo garantiza que los morfismos entre dos objetos formen una clase propia. Sin embargo, los morfismos entre dos objetos en una categoría generalmente deben ser conjuntos, por lo que esta construcción no produce una categoría real. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Sin embargo, incluso cuando es pequeña, la construcción por generadores y relaciones generalmente resulta en una categoría cuya estructura es opaca, donde los morfismos son caminos arbitrariamente largos sujetos a una misteriosa relación de equivalencia. Por esta razón, es convencional construir la categoría derivada de manera más concreta incluso cuando no se trata de la teoría de conjuntos. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

Estas otras construcciones pasan por la categoría de homotopía. La colección de cuasi-isomorfismos en forma un sistema multiplicativo . Este es un conjunto de condiciones que permiten reescribir caminos complicados como otros más simples. El teorema de Gabriel-Zisman implica que la localización en un sistema multiplicativo tiene una descripción simple en términos de techos . ^[2] Un morfismo en puede describirse como un par , donde para algún complejo , es un cuasi-isomorfismo y es una clase de equivalencia de homotopía en cadena de morfismos. Conceptualmente, esto representa . Dos techos son equivalentes si tienen un sobretecho común. ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle X^{\bullet }\to Y^{\bullet }}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle (s,f)}$ ${\displaystyle Z^{\bullet }}$ ${\displaystyle s\colon Z^{\bullet }\to X^{\bullet }}$ ${\displaystyle f\colon Z^{\bullet }\to Y^{\bullet }}$ ${\displaystyle f\circ s^{-1}}$

Reemplazar cadenas de morfismos por techos también permite la resolución de los problemas de teoría de conjuntos involucrados en categorías derivadas de categorías grandes. Fijemos un complejo y consideremos la categoría cuyos objetos son cuasi-isomorfismos en con codominio y cuyos morfismos son diagramas conmutativos. Equivalentemente, esta es la categoría de objetos sobre cuyos mapas de estructura son cuasi-isomorfismos. Entonces la condición del sistema multiplicativo implica que los morfismos en de a son ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle I_{X^{\bullet }}}$ ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle Y^{\bullet }}$

${\displaystyle \varinjlim _{I_{X^{\bullet }}}\operatorname {Hom} _{K({\mathcal {A}})}((X')^{\bullet },Y^{\bullet }),}$

suponiendo que este colimite es de hecho un conjunto. Si bien es potencialmente una categoría grande, en algunos casos está controlada por una categoría pequeña. Este es el caso, por ejemplo, si es una categoría abeliana de Grothendieck (lo que significa que satisface AB5 y tiene un conjunto de generadores), siendo el punto esencial que solo los objetos de cardinalidad acotada son relevantes. ^[3] En estos casos, el límite puede calcularse sobre una subcategoría pequeña, y esto asegura que el resultado sea un conjunto. Entonces puede definirse para tener estos conjuntos como sus conjuntos. ${\displaystyle I_{X^{\bullet }}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} }$

Existe un enfoque diferente basado en reemplazar morfismos en la categoría derivada por morfismos en la categoría de homotopía. Un morfismo en la categoría derivada con codominio siendo un complejo inferior acotado de objetos inyectivos es lo mismo que un morfismo a este complejo en la categoría de homotopía; esto se sigue de la inyectividad término por término. Al reemplazar la inyectividad término por término por una condición más fuerte, se obtiene una propiedad similar que se aplica incluso a complejos no acotados. Un complejo es K -inyectivo si, para cada complejo acíclico , tenemos . Una consecuencia directa de esto es que, para cada complejo , los morfismos en son los mismos que tales morfismos en . Un teorema de Serpé, que generaliza el trabajo de Grothendieck y de Spaltenstein, afirma que en una categoría abeliana de Grothendieck, cada complejo es cuasi-isomorfo a un complejo K-inyectivo con términos inyectivos, y además, esto es funtorial. ^[4] En particular, podemos definir morfismos en la categoría derivada pasando a resoluciones K-inyectivas y computando morfismos en la categoría de homotopía. La funcionalidad de la construcción de Serpé asegura que la composición de morfismos esté bien definida. Al igual que la construcción que utiliza techos, esta construcción también asegura propiedades teóricas de conjuntos adecuadas para la categoría derivada, esta vez porque estas propiedades ya están satisfechas por la categoría de homotopía. ${\displaystyle I^{\bullet }}$ ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{K({\mathcal {A}})}(X^{\bullet },I^{\bullet })=0}$ ${\displaystyle X^{\bullet }}$ ${\displaystyle X^{\bullet }\to I^{\bullet }}$ ${\displaystyle K({\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle D({\mathcal {A}})}$

Conjuntos de homs derivados

Como se señaló anteriormente, en la categoría derivada los conjuntos de hom se expresan a través de techos o valles , donde es un cuasi-isomorfismo. Para obtener una mejor idea de cómo se ven los elementos, considere una secuencia exacta ${\displaystyle X\rightarrow Y'\leftarrow Y}$ ${\displaystyle Y\to Y'}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}_{n}{\overset {\phi _{n,n-1}}{\rightarrow }}{\mathcal {E}}_{n-1}{\overset {\phi _{n-1,n-2}}{\rightarrow }}\cdots {\overset {\phi _{1,0}}{\rightarrow }}{\mathcal {E}}_{0}\to 0}$

Podemos usar esto para construir un morfismo truncando el complejo anterior, desplazándolo y usando los morfismos obvios anteriores. En particular, tenemos la imagen ${\displaystyle \phi :{\mathcal {E}}_{0}\to {\mathcal {E}}_{n}[+(n-1)]}$

${\displaystyle {\begin{matrix}0&\to &{\mathcal {E}}_{n}&\to &0&\to &\cdots &\to &0&\to &0\\\uparrow &&\uparrow &&\uparrow &&\cdots &&\uparrow &&\uparrow \\0&\to &{\mathcal {E}}_{n}&\to &{\mathcal {E}}_{n-1}&\to &\cdots &\to &{\mathcal {E}}_{1}&\to &0\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&\cdots &&\downarrow &&\downarrow \\0&\to &0&\to &0&\to &\cdots &\to &{\mathcal {E}}_{0}&\to &0\end{matrix}}}$

donde el complejo inferior se ha concentrado en grado , la única flecha ascendente no trivial es el morfismo de igualdad, y la única flecha descendente no trivial es . Este diagrama de complejos define un morfismo ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{0}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \phi _{1,0}:{\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0}}$

${\displaystyle \phi \in \mathbf {RHom} ({\mathcal {E}}_{0},{\mathcal {E}}_{n}[+(n-1)])}$

en la categoría derivada. Una aplicación de esta observación es la construcción de la clase Atiyah. ^[5]

Observaciones

Para ciertos propósitos (ver más abajo) se utilizan complejos acotados por debajo ( para ), acotados por encima ( para ) o acotados ( para ) en lugar de complejos no acotados. Las categorías derivadas correspondientes se denotan generalmente como D ⁺ (A) , D ⁻ (A) y D ^b (A) , respectivamente. ${\displaystyle X^{n}=0}$ ${\displaystyle n\ll 0}$ ${\displaystyle X^{n}=0}$ ${\displaystyle n\gg 0}$ ${\displaystyle X^{n}=0}$ ${\displaystyle |n|\gg 0}$

Si uno adopta el punto de vista clásico sobre las categorías, de que hay un conjunto de morfismos de un objeto a otro (no solo una clase ), entonces uno tiene que dar un argumento adicional para probar esto. Si, por ejemplo, la categoría abeliana A es pequeña, es decir, tiene solo un conjunto de objetos, entonces este asunto no será un problema. Además, si A es una categoría abeliana de Grothendieck , entonces la categoría derivada D ( A ) es equivalente a una subcategoría completa de la categoría de homotopía K ( A ), y por lo tanto tiene solo un conjunto de morfismos de un objeto a otro. ^[6] Las categorías abelianas de Grothendieck incluyen la categoría de módulos sobre un anillo, la categoría de haces de grupos abelianos en un espacio topológico y muchos otros ejemplos.

La composición de morfismos, es decir, de tejados, en la categoría derivada se realiza encontrando un tercer tejado encima de los dos tejados que se van a componer. Se puede comprobar que esto es posible y da una composición asociativa bien definida.

Como K(A) es una categoría triangulada , su localización D(A) también está triangulada. Para un entero n y un complejo X , defina ^[7] el complejo X [ n ] como X desplazado hacia abajo en n , de modo que

${\displaystyle X[n]^{i}=X^{n+i},}$

con diferencial

${\displaystyle d_{X[n]}=(-1)^{n}d_{X}.}$

Por definición, un triángulo distinguido en D(A) es un triángulo que es isomorfo en D(A) al triángulo X → Y → Cone( f ) → X [1] para alguna función de complejos f : X → Y . Aquí Cone( f ) denota el cono de función de f . En particular, para una secuencia exacta corta

${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow Y\rightarrow Z\rightarrow 0}$

En A , el triángulo X → Y → Z → X [1] se distingue en D(A) . Verdier explicó que la definición del desplazamiento X [1] se ve forzada al exigir que X [1] sea el cono del morfismo X → 0. ^[8]

Al considerar un objeto de A como un complejo concentrado en grado cero, la categoría derivada D(A) contiene a A como una subcategoría completa . Los morfismos en la categoría derivada incluyen información sobre todos los grupos Ext : para cualquier objeto X e Y en A y cualquier entero j ,

${\displaystyle {\text{Hom}}_{D({\mathcal {A}})}(X,Y[j])={\text{Ext}}_{\mathcal {A}}^{j}(X,Y).}$

Resoluciones proyectivas e inyectivas

Se puede demostrar fácilmente que una equivalencia de homotopía es un cuasi-isomorfismo , por lo que se puede omitir el segundo paso de la construcción anterior. La definición se da habitualmente de esta manera porque revela la existencia de un funtor canónico

${\displaystyle K({\mathcal {A}})\rightarrow D({\mathcal {A}}).}$

En situaciones concretas, es muy difícil o imposible manejar morfismos en la categoría derivada directamente. Por lo tanto, se busca una categoría más manejable que sea equivalente a la categoría derivada. Clásicamente, hay dos enfoques (duales) para esto: resoluciones proyectivas e inyectivas . En ambos casos, la restricción del funtor canónico anterior a una subcategoría apropiada será una equivalencia de categorías .

A continuación describiremos el papel de las resoluciones inyectivas en el contexto de la categoría derivada, que es la base para definir funtores derivados por la derecha , que a su vez tienen aplicaciones importantes en la cohomología de haces en espacios topológicos o teorías de cohomología más avanzadas como la cohomología étale o la cohomología de grupos .

Para aplicar esta técnica, hay que suponer que la categoría abeliana en cuestión tiene suficientes inyectivos , lo que significa que cada objeto X de la categoría admite un monomorfismo a un objeto inyectivo I . (Ni la función ni el objeto inyectivo tienen que estar especificados de forma única). Por ejemplo, cada categoría abeliana de Grothendieck tiene suficientes inyectivos. Incorporando X en algún objeto inyectivo I ⁰ , el co-núcleo de esta función en algún inyectivo I ^{1 ,} etc., se construye una resolución inyectiva de X , es decir, una secuencia exacta (en general infinita)

${\displaystyle 0\rightarrow X\rightarrow I^{0}\rightarrow I^{1}\rightarrow \cdots ,\,}$

donde los I * son objetos inyectivos. Esta idea se generaliza para dar resoluciones de complejos acotados por debajo X , es decir, X ⁿ = 0 para n suficientemente pequeño . Como se señaló anteriormente, las resoluciones inyectivas no están definidas de manera única, pero es un hecho que dos resoluciones cualesquiera son homotópicamente equivalentes entre sí, es decir, isomorfas en la categoría de homotopía. Además, los morfismos de los complejos se extienden de manera única a un morfismo de dos resoluciones inyectivas dadas.

Este es el punto donde la categoría de homotopía entra en juego nuevamente: mapear un objeto X de A a (cualquier) resolución inyectiva I * de A se extiende a un funtor.

${\displaystyle D^{+}({\mathcal {A}})\rightarrow K^{+}(\mathrm {Inj} ({\mathcal {A}}))}$

de la categoría derivada acotada por debajo a la categoría de homotopía acotada por debajo de los complejos cuyos términos son objetos inyectivos en A .

No es difícil ver que este funtor es en realidad inverso a la restricción del funtor de localización canónico mencionado al principio. En otras palabras, los morfismos Hom( X , Y ) en la categoría derivada pueden calcularse resolviendo tanto X como Y y calculando los morfismos en la categoría de homotopía, lo que es al menos teóricamente más fácil. De hecho, es suficiente resolver Y : para cualquier complejo X y cualquier complejo Y acotado por debajo de los inyectivos,

${\displaystyle \mathrm {Hom} _{D(A)}(X,Y)=\mathrm {Hom} _{K(A)}(X,Y).}$

Dualmente, asumiendo que A tiene suficientes proyectivas , es decir para cada objeto X hay un epimorfismo de un objeto proyectivo P a X , se pueden usar resoluciones proyectivas en lugar de inyectivas.

En 1988 Spaltenstein definió una categoría derivada ilimitada (Spaltenstein (1988)) que inmediatamente resultó útil en el estudio de espacios singulares; véase, por ejemplo, el libro de Kashiwara y Schapira (Categories and Sheaves) sobre diversas aplicaciones de la categoría derivada ilimitada. Spaltenstein utilizó las llamadas resoluciones K-inyectivas y K-proyectivas .

Keller (1994) y May (2006) describen la categoría derivada de módulos sobre álgebras DG. Keller también ofrece aplicaciones para la dualidad de Koszul, la cohomología del álgebra de Lie y la homología de Hochschild.

De manera más general, adaptando cuidadosamente las definiciones, es posible definir la categoría derivada de una categoría exacta (Keller 1996).

La relación con los funtores derivados

La categoría derivada es un marco natural para definir y estudiar funtores derivados . En lo que sigue, sea F : A → B un funtor de categorías abelianas. Hay dos conceptos duales:

• Los funtores derivados de la derecha provienen de los funtores exactos de la izquierda y se calculan mediante resoluciones inyectivas.
• Los funtores derivados de la izquierda provienen de los funtores exactos de la derecha y se calculan mediante resoluciones proyectivas.

A continuación, describiremos los funtores derivados por la derecha. Por lo tanto, supongamos que F es exacto por la izquierda. Ejemplos típicos son F : A → Ab dado por X ↦ Hom( X , A ) o X ↦ Hom( A , X ) para algún objeto fijo A , o el funtor de secciones globales en haces o el funtor de imagen directa . Sus funtores derivados por la derecha son Ext ⁿ (–, A ) , Ext ⁿ ( A ,–), H ⁿ ( X , F ) o R ⁿ f _∗ ( F ) , respectivamente.

La categoría derivada nos permite encapsular todos los funtores derivados R ⁿ F en un funtor, es decir, el llamado funtor derivado total RF : D ⁺ ( A ) → D ⁺ ( B ). Es la siguiente composición: D ⁺ ( A ) ≅ K ⁺ (Inj( A )) → K ⁺ ( B ) → D ⁺ ( B ), donde la primera equivalencia de categorías se describió anteriormente. Los funtores derivados clásicos están relacionados con el total a través de R ⁿ F ( X ) = H ⁿ ( RF ( X )). Se podría decir que el R ⁿ F olvida el complejo de cadena y mantiene solo las cohomologías, mientras que RF sí mantiene un registro de los complejos.

Las categorías derivadas son, en cierto sentido, el lugar "adecuado" para estudiar estos funtores. Por ejemplo, la secuencia espectral de Grothendieck de una composición de dos funtores

${\displaystyle {\mathcal {A}}{\stackrel {F}{\rightarrow }}{\mathcal {B}}{\stackrel {G}{\rightarrow }}{\mathcal {C}},\,}$

de modo que F mapea objetos inyectivos en A a G -acíclicos (es decir, R ⁱ G ( F ( I )) = 0 para todo i  > 0 e inyectivo I ), es una expresión de la siguiente identidad de funtores derivados totales

R ( G ∘ F ) ≅ RG ∘ RF .

J.-L. Verdier mostró cómo los funtores derivados asociados con una categoría abeliana A pueden verse como extensiones Kan a lo largo de incrustaciones de A en categorías derivadas adecuadas [Mac Lane].

Equivalencia derivada

Puede suceder que dos categorías abelianas A y B no sean equivalentes, pero sus categorías derivadas D( A ) y D( B ) sí lo sean. A menudo, esta es una relación interesante entre A y B . Tales equivalencias están relacionadas con la teoría de las t-estructuras en categorías trianguladas . A continuación se presentan algunos ejemplos. ^[9]

• Sea una categoría abeliana de haces coherentes sobre la línea proyectiva sobre un cuerpo k . Sea K ₂ -Rep una categoría abeliana de representaciones del carcaj de Kronecker con dos vértices. Son categorías abelianas muy diferentes, pero sus categorías derivadas (acotadas) son equivalentes. ${\displaystyle \mathrm {Coh} (\mathbb {P} ^{1})}$
• Sea Q un carcaj cualquiera y P un carcaj obtenido a partir de Q invirtiendo algunas flechas. En general, las categorías de representación de Q y P son diferentes, pero D ^b ( Q -Rep) siempre es equivalente a D ^b ( P -Rep).
• Sea X una variedad abeliana , Y su variedad abeliana dual . Entonces D ^b (Coh( X )) es equivalente a D ^b (Coh( Y )) por la teoría de transformadas de Fourier-Mukai . Las variedades con categorías derivadas equivalentes de haces coherentes a veces se denominan socios de Fourier-Mukai .

Véase también

• Categoría de homotopía de complejos de cadena
• Geometría algebraica no conmutativa derivada
• Cohomología de haces coherentes
• Dualidad coherente
• Geometría algebraica derivada

Notas

1. Mac Lane, Categorías para el matemático en activo .
2. Gabriel, Peter; Zisman, M. (6 de diciembre de 2012). "1.2 El cálculo de fracciones: Proposición 2.4". Cálculo de fracciones y teoría de homotopía. Springer. pág. 14. ISBN 978-3-642-85844-4.
3. Weibel 1994, observación 10.4.5 y erratas
4. Proyecto Stacks, etiqueta 079P.
5. Markarian, Nikita (2009). "La clase Atiyah, la cohomología de Hochschild y el teorema de Riemann-Roch". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 79 : 129–143. arXiv : math/0610553 . doi :10.1112/jlms/jdn064. S2CID  16236000.
6. Kashiwara y Schapira 2006, Teorema 14.3.1
7. Gelfand y Manin 2003, III.3.2
8. Verdier 1996, Apéndice del cap. 1
9. Keller, Bernhard (2003). "Categorías derivadas e inclinación" (PDF) .

Referencias

• Doorn, MGM van (2001) [1994], "Categoría derivada", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Keller, Bernhard (1996), "Categorías derivadas y sus usos", en Hazewinkel, M. (ed.), Handbook of algebra, Ámsterdam: Holanda Septentrional, págs. 671–701, ISBN 0-444-82212-7, Sr.  1421815
• Keller, Bernhard (1994), "Derivación de categorías DG", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure , Série 4, 27 (1): 63–102, doi : 10.24033/asens.1689 , ISSN  0012-9593, MR  1258406
• May, JP (2006), Categorías derivadas desde un punto de vista topológico (PDF)da una interpretación de la categoría derivada de módulos sobre DG-álgebras.
• Spaltenstein, N. (1988), "Resoluciones de complejos no acotados", Compositio Mathematica , 65 (2): 121–154, ISSN  0010-437X, MR  0932640
• Verdier, Jean-Louis (1996), "Des Catégories Dérivées des Catégories Abéliennes", Astérisque (en francés), 239 , París: Société Mathématique de France , ISSN  0303-1179, MR  1453167

Cuatro libros de texto que tratan las categorías derivadas son:

• Gelfand, Serguéi I.; Manin, Yuri Ivanovich (2003), Métodos de álgebra homológica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9, Sr.  1950475
• Kashiwara, Masaki ; Schapira, Pierre (2006), Categorías y gavillas , Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-27949-5, Sr.  2182076
• Weibel, Charles A. (1994). Introducción al álgebra homológica . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. Sr.  1269324. OCLC  36131259.
• Yekutieli, Amnon (2019). Categorías derivadas . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 183. Cambridge University Press. ISBN 978-1108419338.