Secuencia espectral

Herramienta en álgebra homológica

En álgebra homológica y topología algebraica , una secuencia espectral es un medio para calcular grupos de homología mediante aproximaciones sucesivas. Las secuencias espectrales son una generalización de las secuencias exactas y, desde su introducción por Jean Leray  (1946a, 1946b), se han convertido en importantes herramientas computacionales, particularmente en topología algebraica, geometría algebraica y álgebra homológica.

Descubrimiento y motivación

Motivado por problemas de topología algebraica, Jean Leray introdujo la noción de haz y se encontró ante el problema de calcular la cohomología de haces . Para calcular la cohomología de la gavilla, Leray introdujo una técnica computacional ahora conocida como secuencia espectral de Leray . Esto dio una relación entre los grupos de cohomología de una gavilla y los grupos de cohomología del avance de la gavilla . La relación implicó un proceso infinito. Leray descubrió que los grupos de cohomología del pushforward formaban un complejo de cadena natural , por lo que podía tomar la cohomología de la cohomología. Ésta todavía no era la cohomología de la gavilla original, pero en cierto sentido estaba un paso más cerca. La cohomología de la cohomología volvió a formar un complejo de cadena, y su cohomología formó un complejo de cadena, y así sucesivamente. El límite de este proceso infinito era esencialmente el mismo que el de los grupos de cohomología de la gavilla original.

Pronto se comprendió que la técnica computacional de Leray era un ejemplo de un fenómeno más general. Se encontraron secuencias espectrales en diversas situaciones y dieron relaciones intrincadas entre grupos de homología y cohomología provenientes de situaciones geométricas como fibraciones y de situaciones algebraicas que involucran functores derivados . Si bien su importancia teórica ha disminuido desde la introducción de las categorías derivadas , siguen siendo la herramienta computacional más eficaz disponible. Esto es cierto incluso cuando muchos de los términos de la secuencia espectral son incalculables.

Desafortunadamente, debido a la gran cantidad de información que contienen las secuencias espectrales, son difíciles de captar. Esta información suele estar contenida en una red de rango tres de grupos o módulos abelianos . Los casos más fáciles de abordar son aquellos en los que la secuencia espectral finalmente colapsa, lo que significa que avanzar más en la secuencia no produce información nueva. Incluso cuando esto no sucede, a menudo es posible obtener información útil de una secuencia espectral mediante varios trucos.

Definicion formal

Secuencia espectral cohomológica

Fije una categoría abeliana , como una categoría de módulos sobre un anillo , y un entero no negativo . Una secuencia espectral cohomológica es una secuencia de objetos y endomorfismos , tal que para cada ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle \{E_{r},d_{r}\}_{r\geq r_{0}}}$ ${\displaystyle E_{r}}$ ${\displaystyle d_{r}:E_{r}\to E_{r}}$ ${\displaystyle r\geq r_{0}}$

1. ${\displaystyle d_{r}\circ d_{r}=0}$,
2. ${\displaystyle E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})}$, la homología de con respecto a . ${\displaystyle E_{r}}$ ${\displaystyle d_{r}}$

Generalmente se suprimen los isomorfismos y en su lugar escribimos . Un objeto se llama hoja (como en una hoja de papel ), o a veces página o término ; un endomorfismo se llama mapa de límites o diferencial . A veces se le llama objeto derivado de . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle E_{r+1}=H_{*}(E_{r},d_{r})}$ ${\displaystyle E_{r}}$ ${\displaystyle d_{r}}$ ${\displaystyle E_{r+1}}$ ${\displaystyle E_{r}}$

Secuencia espectral bigradada

En realidad, las secuencias espectrales ocurren principalmente en la categoría de módulos doblemente graduados sobre un anillo R (o haces de módulos doblemente graduados sobre un haz de anillos), es decir, cada hoja es un módulo R bigrado. Entonces, en este caso, una secuencia espectral cohomológica es una secuencia de módulos R bigrados y para cada módulo la suma directa de endomorfismos de bigrado , de modo que para cada uno se cumple que: ${\textstyle E_{r}=\bigoplus _{p,q\in \mathbb {Z} ^{2}}E_{r}^{p,q}.}$ ${\displaystyle \{E_{r},d_{r}\}_{r\geq r_{0}}}$ ${\displaystyle \{E_{r}^{p,q}\}_{p,q}}$ ${\displaystyle d_{r}=(d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1})_{p,q\in \mathbb {Z} ^{2}}}$ ${\displaystyle (r,1-r)}$ ${\displaystyle r\geq r_{0}}$

1. ${\displaystyle d_{r}^{p+r,q-r+1}\circ d_{r}^{p,q}=0}$,
2. ${\displaystyle E_{r+1}\cong H_{*}(E_{r},d_{r})}$.

La notación utilizada aquí se llama grado complementario . Algunos autores escriben en cambio, ¿dónde está el grado total ? Dependiendo de la secuencia espectral, el mapa de límites en la primera hoja puede tener un grado que corresponde a r = 0, r = 1 o r = 2. Por ejemplo, para la secuencia espectral de un complejo filtrado, que se describe a continuación, r ₀ = 0, pero para la secuencia espectral de Grothendieck , r ₀ = 2. Normalmente r ₀ es cero, uno o dos. En la situación no calificada descrita anteriormente, r ₀ es irrelevante. ${\displaystyle E_{r}^{d,q}}$ ${\displaystyle d=p+q}$

Secuencia espectral homológica

La mayoría de los objetos de los que estamos hablando son complejos de cadenas , que ocurren en orden descendente (como arriba) o ascendente. En el último caso, al reemplazar con y con (bigrado ), se obtiene la definición de una secuencia espectral homológica de manera análoga al caso cohomológico. ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$ ${\displaystyle E_{p,q}^{r}}$ ${\displaystyle d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\to E_{r}^{p+r,q-r+1}}$ ${\displaystyle d_{p,q}^{r}:E_{p,q}^{r}\to E_{p-r,q+r-1}^{r}}$ ${\displaystyle (-r,r-1)}$

Secuencia espectral de un complejo de cadenas.

El ejemplo más elemental en la situación no graduada es un complejo de cadena C _• . Un objeto C _• en una categoría abeliana de complejos de cadenas viene naturalmente con un diferencial d . Sea r ₀ = 0, y sea E ₀ C _• . Esto obliga a E ₁ a ser el complejo H ( C _• ): en la i'ésima ubicación, este es el i'ésimo grupo de homología de C _• . El único diferencial natural en este nuevo complejo es el mapa cero, por lo que dejamos que d ₁ = 0. Esto obliga a igualar , y nuevamente nuestro único diferencial natural es el mapa cero. Poniendo el diferencial cero en el resto de nuestras hojas se obtiene una secuencia espectral cuyos términos son: ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{1}}$

• mi ₀ = C _•
• E _r = H ( C _• ) para todo r ≥ 1.

Los términos de esta secuencia espectral se estabilizan en la primera hoja porque su único diferencial no trivial estaba en la hoja cero. En consecuencia, no podemos obtener más información en pasos posteriores. Por lo general, para obtener información útil de hojas posteriores, necesitamos una estructura adicional en el archivo . ${\displaystyle E_{r}}$

Visualización

La hoja E ₂ de una secuencia espectral cohomológica.

Una secuencia espectral doblemente graduada tiene una enorme cantidad de datos para realizar un seguimiento, pero existe una técnica de visualización común que aclara la estructura de la secuencia espectral. Tenemos tres índices, r , p y q . Un objeto puede verse como la página a cuadros de un libro. En estas hojas, tomaremos p como la dirección horizontal y q como la dirección vertical. En cada punto de la red tenemos el objeto . Ahora pasar a la página siguiente significa tomar homología, es decir, la página es un subcociente de la página. El grado total n = p + q corre diagonalmente, de noroeste a sureste, a lo largo de cada hoja. En el caso homológico, los diferenciales tienen bigrado (− r ,  r  − 1), por lo que disminuyen n en uno. En el caso cohomológico, n se incrementa en uno. Los diferenciales cambian de dirección con cada giro con respecto a r. ${\displaystyle E_{r}}$ ${\displaystyle r^{th}}$ ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$ ${\displaystyle (r+1)^{th}}$ ${\displaystyle r^{th}}$

Cuatro páginas de una secuencia espectral cohomológica

Las flechas rojas demuestran el caso de una secuencia del primer cuadrante (ver ejemplo a continuación), donde solo los objetos del primer cuadrante son distintos de cero. Al pasar las páginas, el dominio o el codominio de todos los diferenciales se vuelven cero.

Propiedades

Propiedades categóricas

El conjunto de secuencias espectrales cohomológicas forma una categoría: un morfismo de secuencias espectrales es, por definición, una colección de mapas que son compatibles con los diferenciales, es decir , y con los isomorfismos dados entre la cohomología del paso r y el (r+1). ) octava hojas de E y E' , respectivamente: . En el caso bigrado, también deberán respetar la graduación: ${\displaystyle f:E\to E'}$ ${\displaystyle f_{r}:E_{r}\to E'_{r}}$ ${\displaystyle f_{r}\circ d_{r}=d'_{r}\circ f_{r}}$ ${\displaystyle f_{r+1}(E_{r+1})\,=\,f_{r+1}(H(E_{r}))\,=\,H(f_{r}(E_{r}))}$ ${\displaystyle f_{r}(E_{r}^{p,q})\subset {E'_{r}}^{p,q}.}$

Estructura multiplicativa

Un producto de copa le da una estructura de anillo a un grupo de cohomología, convirtiéndolo en un anillo de cohomología . Por tanto, es natural considerar también una secuencia espectral con estructura de anillo. Sea una secuencia espectral de tipo cohomológico. Decimos que tiene estructura multiplicativa si (i) son álgebras de grado diferencial (doblemente calificadas) y (ii) la multiplicación de on es inducida por la de on mediante el paso a la cohomología. ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$ ${\displaystyle E_{r}}$ ${\displaystyle E_{r+1}}$ ${\displaystyle E_{r}}$

Un ejemplo típico es la secuencia espectral cohomológica de Serre para una fibración , cuando el grupo de coeficientes es un anillo R. Tiene la estructura multiplicativa inducida por los productos de copa de fibra y base en la página. ^[1] Sin embargo, en general, el término limitante no es isomorfo como un álgebra graduada para H ( E ; R ). ^[2] La estructura multiplicativa puede resultar muy útil para calcular diferenciales en la secuencia. ^[3] ${\displaystyle F\to E\to B}$ ${\displaystyle E_{2}}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$

Construcciones de secuencias espectrales.

Las secuencias espectrales se pueden construir de varias maneras. En topología algebraica, un par exacto es quizás la herramienta más común para la construcción. En geometría algebraica, las secuencias espectrales suelen construirse a partir de filtraciones de complejos de cocadenas.

Secuencia espectral de un par exacto.

Otra técnica para construir secuencias espectrales es el método de pares exactos de William Massey . Los pares exactos son particularmente comunes en topología algebraica. A pesar de esto, son impopulares en álgebra abstracta, donde la mayoría de las secuencias espectrales provienen de complejos filtrados.

Para definir parejas exactas, comenzamos nuevamente con una categoría abeliana. Como antes, en la práctica ésta suele ser la categoría de módulos doblemente graduados sobre un anillo. Una pareja exacta es un par de objetos ( A , C ), junto con tres homomorfismos entre estos objetos: f  : A → A , g  : A → C y h  : C → A sujeto a ciertas condiciones de exactitud:

• Imagen f = Núcleo g
• Imagen g = Núcleo h
• Imagen h = Núcleo f

Abreviaremos estos datos por ( A , C , f , g , h ). Las parejas exactas suelen representarse como triángulos. Veremos que C corresponde al término E ₀ de la secuencia espectral y que A es algún dato auxiliar.

Para pasar a la siguiente hoja de la secuencia espectral, formaremos la pareja derivada . Establecimos:

• d = goh ​ ​
• A' = f ( A )
• C' = Ker d / Im d
• f' = f | _A' , la restricción de f a A'
• h'  : C' → A' es inducido por h . Es sencillo ver que h induce dicho mapa.
• g'  : A' → C' se define en elementos de la siguiente manera: Para cada a en A' , escriba a como f ( b ) para algún b en A . g' ( a ) se define como la imagen de g ( b ) en C' . En general, g' se puede construir utilizando uno de los teoremas de incrustación para categorías abelianas.

Desde aquí es sencillo comprobar que ( A' , C' , f' , g' , h' ) es un par exacto. C' corresponde al término E ₁ de la secuencia espectral. Podemos iterar este procedimiento para obtener parejas exactas ( A ^{( n )} , C ^{( n )} , f ^{( n )} , g ^{( n )} , h ^{( n )} ).

Para construir una secuencia espectral , sea En _n C ^{( n )} y d _n g ⁽ n ⁾ o h ^{( n ) .}

Secuencias espectrales construidas con este método.

• Secuencia espectral de Serre ^[4] - utilizada para calcular (co)homología de una fibración
• Secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch : utilizada para calcular (co)homología de teorías de cohomología extraordinarias, como la teoría K
• Secuencia espectral de Bockstein .
• Secuencias espectrales de complejos filtrados.

La secuencia espectral de un complejo filtrado.

Un tipo muy común de secuencia espectral proviene de un complejo de cocadena filtrado , ya que induce naturalmente un objeto bigrado. Considere un complejo de cocadena junto con una filtración descendente . Requerimos que el mapa de límites sea compatible con la filtración, es decir , y que la filtración sea exhaustiva , es decir, que la unión del conjunto de todos sea el complejo de cadenas completo . Entonces existe una secuencia espectral con y . ^[5] Posteriormente, también asumiremos que la filtración es de Hausdorff o separada , es decir, la intersección del conjunto de todos es cero. ${\displaystyle (C^{\bullet },d)}$ ${\textstyle ...\supset \,F^{-2}C^{\bullet }\,\supset \,F^{-1}C^{\bullet }\supset F^{0}C^{\bullet }\,\supset \,F^{1}C^{\bullet }\,\supset \,F^{2}C^{\bullet }\,\supset \,F^{3}C^{\bullet }\,\supset ...\,}$ ${\textstyle d(F^{p}C^{n})\subset F^{p}C^{n+1}}$ ${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$ ${\textstyle C^{\bullet }}$ ${\textstyle E_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}}$ ${\textstyle E_{1}^{p,q}=H^{p+q}(F^{p}C^{\bullet }/F^{p+1}C^{\bullet })}$ ${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$

La filtración es útil porque da una medida de la cercanía a cero: a medida que p aumenta, se acerca cada vez más a cero. Construiremos una secuencia espectral a partir de esta filtración donde los colímites y cociclos en hojas posteriores se acercan cada vez más a los colímites y cociclos en el complejo original. Esta secuencia espectral está doblemente graduada por el grado de filtración p y el grado complementario q = n − p . ${\textstyle F^{p}C^{\bullet }}$

Construcción

${\displaystyle C^{\bullet }}$tiene solo una clasificación y una filtración, por lo que primero construimos un objeto doblemente calificado para la primera página de la secuencia espectral. Para obtener la segunda calificación, tomaremos el objeto calificado asociado con respecto a la filtración. Lo escribiremos de una forma inusual que se justificará en el paso: ${\displaystyle E_{1}}$

${\displaystyle Z_{-1}^{p,q}=Z_{0}^{p,q}=F^{p}C^{p+q}}$

${\displaystyle B_{0}^{p,q}=0}$

${\displaystyle E_{0}^{p,q}={\frac {Z_{0}^{p,q}}{B_{0}^{p,q}+Z_{-1}^{p+1,q-1}}}={\frac {F^{p}C^{p+q}}{F^{p+1}C^{p+q}}}}$

${\displaystyle E_{0}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{0}^{p,q}}$

Dado que asumimos que el mapa de límites era compatible con la filtración, es un objeto doblemente calificado y hay un mapa de límites natural doblemente calificado en . Para obtenerlo , tomamos la homología de . ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle d_{0}}$ ${\displaystyle E_{0}}$ ${\displaystyle E_{1}}$ ${\displaystyle E_{0}}$

${\displaystyle {\bar {Z}}_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0}^{p,q+1}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}\rightarrow F^{p}C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+q+1}}$

${\displaystyle {\bar {B}}_{1}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q}={\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1}/F^{p+1}C^{p+q-1}\rightarrow F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q}}$

${\displaystyle E_{1}^{p,q}={\frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}={\frac {\ker d_{0}^{p,q}:E_{0}^{p,q}\rightarrow E_{0}^{p,q+1}}{{\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:E_{0}^{p,q-1}\rightarrow E_{0}^{p,q}}}}$

${\displaystyle E_{1}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }E_{1}^{p,q}=\bigoplus _{p,q\in \mathbf {Z} }{\frac {{\bar {Z}}_{1}^{p,q}}{{\bar {B}}_{1}^{p,q}}}}$

Observe que y se puede escribir como las imágenes en de ${\displaystyle {\bar {Z}}_{1}^{p,q}}$ ${\displaystyle {\bar {B}}_{1}^{p,q}}$ ${\displaystyle E_{0}^{p,q}}$

${\displaystyle Z_{1}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+1}C^{p+q+1}}$

${\displaystyle B_{1}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p,q-1}:F^{p}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}}$

y que luego tenemos

${\displaystyle E_{1}^{p,q}={\frac {Z_{1}^{p,q}}{B_{1}^{p,q}+Z_{0}^{p+1,q-1}}}.}$

${\displaystyle Z_{1}^{p,q}}$son exactamente los elementos que el diferencial empuja hacia arriba un nivel en la filtración, y son exactamente la imagen de los elementos que el diferencial empuja hacia arriba cero niveles en la filtración. Esto sugiere que debemos elegir ser los elementos que el diferencial empuja hacia arriba r niveles en la filtración y ser imagen de los elementos que el diferencial empuja hacia arriba r-1 niveles en la filtración. En otras palabras, la secuencia espectral debe satisfacer ${\displaystyle B_{1}^{p,q}}$ ${\displaystyle Z_{r}^{p,q}}$ ${\displaystyle B_{r}^{p,q}}$

${\displaystyle Z_{r}^{p,q}=\ker d_{0}^{p,q}:F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+r}C^{p+q+1}}$

${\displaystyle B_{r}^{p,q}=({\mbox{im }}d_{0}^{p-r+1,q+r-2}:F^{p-r+1}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}}$

${\displaystyle E_{r}^{p,q}={\frac {Z_{r}^{p,q}}{B_{r}^{p,q}+Z_{r-1}^{p+1,q-1}}}}$

y deberíamos tener la relación

${\displaystyle B_{r}^{p,q}=d_{0}^{p,q}(Z_{r-1}^{p-r+1,q+r-2}).}$

Para que esto tenga sentido, debemos encontrar un diferencial en cada uno y verificar que conduzca a una homología isomórfica con . El diferencial ${\displaystyle d_{r}}$ ${\displaystyle E_{r}}$ ${\displaystyle E_{r+1}}$

${\displaystyle d_{r}^{p,q}:E_{r}^{p,q}\rightarrow E_{r}^{p+r,q-r+1}}$

se define restringiendo el diferencial original definido al subobjeto . Es sencillo comprobar que la homología de con respecto a este diferencial es , por lo que esto da una secuencia espectral. Lamentablemente, el diferencial no es muy explícito. Determinar diferenciales o encontrar formas de solucionarlos es uno de los principales desafíos para aplicar con éxito una secuencia espectral. ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle C^{p+q}}$ ${\displaystyle Z_{r}^{p,q}}$ ${\displaystyle E_{r}}$ ${\displaystyle E_{r+1}}$

Secuencias espectrales construidas con este método.

• Secuencia espectral de Hodge-de Rham
• Secuencia espectral de un doble complejo.
• Se puede utilizar para construir estructuras mixtas de Hodge ^[6]

La secuencia espectral de un doble complejo.

Otra secuencia espectral común es la secuencia espectral de un doble complejo. Un doble complejo es una colección de objetos C _i,j para todos los números enteros i y j junto con dos diferenciales, d ^I y d ^II . Se supone que d ^I disminuye i y d ^II disminuye j . Además, asumimos que los diferenciales anticonmutan , de modo que d ^I d ^II + d ^II d ^I = 0. Nuestro objetivo es comparar las homologías iteradas y . Esto lo haremos filtrando nuestro doble complejo de dos maneras diferentes. Aquí están nuestras filtraciones: ${\displaystyle H_{i}^{I}(H_{j}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }))}$ ${\displaystyle H_{j}^{II}(H_{i}^{I}(C_{\bullet ,\bullet }))}$

${\displaystyle (C_{i,j}^{I})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}i<p\\C_{i,j}&{\text{if }}i\geq p\end{cases}}}$

${\displaystyle (C_{i,j}^{II})_{p}={\begin{cases}0&{\text{if }}j<p\\C_{i,j}&{\text{if }}j\geq p\end{cases}}}$

Para obtener una secuencia espectral, nos reduciremos al ejemplo anterior. Definimos el complejo total T ( C _•,• ) como el complejo cuyo n 'ésimo término es y cuyo diferencial es d ^I + d ^II . Esto es un complejo porque d ^I y d ^II son diferenciales anticonmutación. Las dos filtraciones sobre C _i,j dan dos filtraciones sobre el complejo total: ${\displaystyle \bigoplus _{i+j=n}C_{i,j}}$

${\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}}$

${\displaystyle T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{II}=\bigoplus _{i+j=n \atop j>p-1}C_{i,j}}$

Para mostrar que estas secuencias espectrales dan información sobre las homologías iteradas, calcularemos los términos E ⁰ , E ¹ y E ² de la filtración I en T ( C _•,• ). El término E ⁰ es claro:

${\displaystyle {}^{I}E_{p,q}^{0}=T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=\bigoplus _{i+j=n \atop i>p-1}C_{i,j}{\Big /}\bigoplus _{i+j=n \atop i>p}C_{i,j}=C_{p,q},}$

donde norte = p + q .

Para encontrar el término E ¹ , necesitamos determinar d ^I + d ^II en E ⁰ . Observe que el diferencial debe tener grado −1 con respecto a n , por lo que obtenemos un mapa

${\displaystyle d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II}:T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=C_{p,q}\rightarrow T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p}^{I}/T_{n-1}(C_{\bullet ,\bullet })_{p+1}^{I}=C_{p,q-1}}$

En consecuencia, el diferencial en E ⁰ es el mapa C _{p , q} → C _{p , q −1} inducido por d ^I + d ^II . Pero d ^I tiene el grado equivocado para inducir tal aplicación, por lo que d ^I debe ser cero en E ⁰ . Eso significa que el diferencial es exactamente d ^II , por lo que obtenemos

${\displaystyle {}^{I}E_{p,q}^{1}=H_{q}^{II}(C_{p,\bullet }).}$

Para encontrar E ² , necesitamos determinar

${\displaystyle d_{p,q}^{I}+d_{p,q}^{II}:H_{q}^{II}(C_{p,\bullet })\rightarrow H_{q}^{II}(C_{p+1,\bullet })}$

Debido a que E ¹ era exactamente la homología con respecto a d ^II , d ^II es cero en E ¹ . En consecuencia, obtenemos

${\displaystyle {}^{I}E_{p,q}^{2}=H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(C_{\bullet ,\bullet })).}$

Usar la otra filtración nos da una secuencia espectral diferente con un término E ² similar :

${\displaystyle {}^{II}E_{p,q}^{2}=H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(C_{\bullet ,\bullet })).}$

Lo que queda es encontrar una relación entre estas dos secuencias espectrales. Resultará que a medida que r aumenta, las dos secuencias se volverán lo suficientemente similares como para permitir comparaciones útiles.

Convergencia, degeneración y apoyo

La interpretación como filtración de ciclos y fronteras.

Sea E _r una secuencia espectral, comenzando con, digamos, r = 1. Entonces hay una secuencia de subobjetos

${\displaystyle 0=B_{0}\subset B_{1}\subset B_{2}\subset \dots \subset B_{r}\subset \dots \subset Z_{r}\subset \dots \subset Z_{2}\subset Z_{1}\subset Z_{0}=E_{1}}$

tal que ; de hecho, recursivamente dejamos y dejamos ser para que sean el núcleo y la imagen de ${\displaystyle E_{r}\simeq Z_{r-1}/B_{r-1}}$ ${\displaystyle Z_{0}=E_{1},B_{0}=0}$ ${\displaystyle Z_{r},B_{r}}$ ${\displaystyle Z_{r}/B_{r-1},B_{r}/B_{r-1}}$ ${\displaystyle E_{r}{\overset {d_{r}}{\to }}E_{r}.}$

Luego dejamos y ${\displaystyle Z_{\infty }=\cap _{r}Z_{r},B_{\infty }=\cup _{r}B_{r}}$

${\displaystyle E_{\infty }=Z_{\infty }/B_{\infty }}$;

se llama término limitante . (Por supuesto, esto no tiene por qué existir en la categoría, pero esto generalmente no es un problema ya que, por ejemplo, en la categoría de módulos existen tales límites o porque en la práctica una secuencia espectral con la que uno trabaja tiende a degenerar; solo hay un número finito de inclusiones en la secuencia anterior.) ${\displaystyle E_{\infty }}$

Términos de convergencia

Decimos que una secuencia espectral converge débilmente si hay un objeto graduado con una filtración para cada uno , y para cada uno existe un isomorfismo . Converge si la filtración es Hausdorff , es decir . Nosotros escribimos ${\displaystyle H^{\bullet }}$ ${\displaystyle F^{\bullet }H^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}\cong F^{p}H^{p+q}/F^{p+1}H^{p+q}}$ ${\displaystyle H^{\bullet }}$ ${\displaystyle F^{\bullet }H^{n}}$ ${\displaystyle \cap _{p}F^{p}H^{\bullet }=0}$

${\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{n}}$

para significar que siempre que p + q = n , converge a . Decimos que una secuencia espectral linda con si para cada existe tal que para todos , . Entonces es el término limitante. La secuencia espectral es regular o degenera si los diferenciales son cero para todos . Si en particular lo hay , de modo que la hoja se concentra en una sola fila o en una sola columna, entonces decimos que se colapsa . En símbolos escribimos: ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}}$ ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$ ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}}$ ${\displaystyle p,q}$ ${\displaystyle r(p,q)}$ ${\displaystyle r\geq r(p,q)}$ ${\displaystyle E_{r}^{p,q}=E_{r(p,q)}^{p,q}}$ ${\displaystyle E_{r(p,q)}^{p,q}=E_{\infty }^{p,q}}$ ${\displaystyle r_{0}}$ ${\displaystyle d_{r}^{p,q}}$ ${\displaystyle r\geq r_{0}}$ ${\displaystyle r_{0}\geq 2}$ ${\displaystyle r_{0}^{th}}$

${\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}E_{\infty }^{p,q}}$

La p indica el índice de filtración. Es muy común escribir el término en el lado izquierdo del pilar, porque es el término más útil de la mayoría de las secuencias espectrales. La secuencia espectral de un complejo de cadena sin filtrar degenera en la primera hoja (ver el primer ejemplo): dado que no sucede nada después de la hoja cero, la hoja limitante es la misma que . ${\displaystyle E_{2}^{p,q}}$ ${\displaystyle E_{\infty }}$ ${\displaystyle E_{1}}$

La secuencia exacta de cinco términos de una secuencia espectral relaciona ciertos términos de bajo grado y términos E _{∞ .}

Ejemplos de degeneración

La secuencia espectral de un complejo filtrado, continuación.

Observe que tenemos una cadena de inclusiones:

${\displaystyle Z_{0}^{p,q}\supseteq Z_{1}^{p,q}\supseteq Z_{2}^{p,q}\supseteq \cdots \supseteq B_{2}^{p,q}\supseteq B_{1}^{p,q}\supseteq B_{0}^{p,q}}$

Podemos preguntarnos qué sucede si definimos

${\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }Z_{r}^{p,q},}$

${\displaystyle B_{\infty }^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }B_{r}^{p,q},}$

${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\frac {Z_{\infty }^{p,q}}{B_{\infty }^{p,q}+Z_{\infty }^{p+1,q-1}}}.}$

${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}}$es un candidato natural para el apoyo de esta secuencia espectral. La convergencia no es automática, pero ocurre en muchos casos. En particular, si la filtración es finita y consta exactamente de r pasos no triviales, entonces la secuencia espectral degenera después de la r -ésima hoja. La convergencia también ocurre si el complejo y la filtración están ambos acotados por debajo o ambos acotados por arriba.

Para describir el soporte de nuestra secuencia espectral con más detalle, observe que tenemos las fórmulas:

${\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }Z_{r}^{p,q}=\bigcap _{r=0}^{\infty }\ker(F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+r}C^{p+q+1})}$

${\displaystyle B_{\infty }^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }B_{r}^{p,q}=\bigcup _{r=0}^{\infty }({\mbox{im }}d^{p,q-r}:F^{p-r}C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}}$

Para ver lo que esto implica, recordemos que asumimos que la filtración fue separada. Esto implica que a medida que r aumenta, los granos se encogen, hasta quedar con . Para , recordemos que asumimos que la filtración fue exhaustiva. Esto implica que a medida que r aumenta, las imágenes crecen hasta llegar a . Concluimos ${\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}}$ ${\displaystyle Z_{\infty }^{p,q}=\ker(F^{p}C^{p+q}\rightarrow C^{p+q+1})}$ ${\displaystyle B_{\infty }^{p,q}}$ ${\displaystyle B_{\infty }^{p,q}={\text{im }}(C^{p+q-1}\rightarrow C^{p+q})\cap F^{p}C^{p+q}}$

${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}={\mbox{gr}}_{p}H^{p+q}(C^{\bullet })}$,

es decir, el tope de la secuencia espectral es la p -ésima parte graduada de la (p+q) -ésima homología de C. Si nuestra secuencia espectral converge, entonces concluimos que:

${\displaystyle E_{r}^{p,q}\Rightarrow _{p}H^{p+q}(C^{\bullet })}$

Secuencias largas y exactas.

Utilizando la secuencia espectral de un complejo filtrado, podemos derivar la existencia de secuencias largas y exactas . Elija una secuencia corta y exacta de complejos de cocadenas 0 → A ^• → B ^• → C ^• → 0, y llame al primer mapa f ^•  : A ^• → B ^• . Obtenemos mapas naturales de objetos de homología H ⁿ ( A ^• ) → H ⁿ ( B ^• ) → H ⁿ ( C ^• ), y sabemos que esto es exacto en el medio. Usaremos la secuencia espectral de un complejo filtrado para encontrar el homomorfismo conector y demostrar que la secuencia resultante es exacta. Para comenzar, filtramos B ^• :

${\displaystyle F^{0}B^{n}=B^{n}}$

${\displaystyle F^{1}B^{n}=A^{n}}$

${\displaystyle F^{2}B^{n}=0}$

Esto da:

${\displaystyle E_{0}^{p,q}={\frac {F^{p}B^{p+q}}{F^{p+1}B^{p+q}}}={\begin{cases}0&{\text{if }}p<0{\text{ or }}p>1\\C^{q}&{\text{if }}p=0\\A^{q+1}&{\text{if }}p=1\end{cases}}}$

${\displaystyle E_{1}^{p,q}={\begin{cases}0&{\text{if }}p<0{\text{ or }}p>1\\H^{q}(C^{\bullet })&{\text{if }}p=0\\H^{q+1}(A^{\bullet })&{\text{if }}p=1\end{cases}}}$

El diferencial tiene bigrado (1, 0), entonces d _0,q  : H ^q ( C ^• ) → H ^{q +1} ( A ^• ). Estos son los homomorfismos de conexión del lema de la serpiente , y junto con los mapas A ^• → B ^• → C ^• , dan una secuencia:

${\displaystyle \cdots \rightarrow H^{q}(B^{\bullet })\rightarrow H^{q}(C^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(A^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(B^{\bullet })\rightarrow \cdots }$

Queda por demostrar que esta secuencia es exacta en los puntos A y C. Observe que esta secuencia espectral degenera en el término E ₂ porque los diferenciales tienen bigrado (2, −1). En consecuencia, el término E ₂ es el mismo que el término E _∞ :

${\displaystyle E_{2}^{p,q}\cong {\text{gr}}_{p}H^{p+q}(B^{\bullet })={\begin{cases}0&{\text{if }}p<0{\text{ or }}p>1\\H^{q}(B^{\bullet })/H^{q}(A^{\bullet })&{\text{if }}p=0\\{\text{im }}H^{q+1}f^{\bullet }:H^{q+1}(A^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(B^{\bullet })&{\text{if }}p=1\end{cases}}}$

Pero también tenemos una descripción directa del término E ₂ como homología del término E ₁ . Estas dos descripciones deben ser isomorfas:

${\displaystyle H^{q}(B^{\bullet })/H^{q}(A^{\bullet })\cong \ker d_{0,q}^{1}:H^{q}(C^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(A^{\bullet })}$

${\displaystyle {\text{im }}H^{q+1}f^{\bullet }:H^{q+1}(A^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(B^{\bullet })\cong H^{q+1}(A^{\bullet })/({\mbox{im }}d_{0,q}^{1}:H^{q}(C^{\bullet })\rightarrow H^{q+1}(A^{\bullet }))}$

El primero proporciona exactitud en el punto C y el segundo proporciona exactitud en el punto A.

La secuencia espectral de un doble complejo, continuación.

Utilizando el pilar para un complejo filtrado encontramos que:

${\displaystyle H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(C_{\bullet ,\bullet }))\Rightarrow _{p}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$

${\displaystyle H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(C_{\bullet ,\bullet }))\Rightarrow _{q}H^{p+q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$

En general, las dos clasificaciones de H ^p+q (T(C _•,• )) son distintas . A pesar de esto, todavía es posible obtener información útil de estas dos secuencias espectrales.

Conmutatividad de Tor

Sea R un anillo, sea M un módulo R derecho y N un módulo R izquierdo . Recuerde que los functores derivados del producto tensorial se denotan por Tor . Tor se define utilizando una resolución proyectiva de su primer argumento. Sin embargo, resulta que . Si bien esto se puede verificar sin una secuencia espectral, es muy fácil con secuencias espectrales. ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}(M,N)=\operatorname {Tor} _{i}(N,M)}$

Elija resoluciones proyectivas y de M y N , respectivamente. Considérelos como complejos que desaparecen en grado negativo y tienen diferenciales d y e , respectivamente. Podemos construir un doble complejo cuyos términos son y cuyos diferenciales son y . (El factor de −1 es para que los diferenciales anticonmuten). Dado que los módulos proyectivos son planos, tomar el producto tensorial con un módulo proyectivo conmuta con tomar homología, por lo que obtenemos: ${\displaystyle P_{\bullet }}$ ${\displaystyle Q_{\bullet }}$ ${\displaystyle C_{i,j}=P_{i}\otimes Q_{j}}$ ${\displaystyle d\otimes 1}$ ${\displaystyle (-1)^{i}(1\otimes e)}$

${\displaystyle H_{p}^{I}(H_{q}^{II}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }))=H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes H_{q}^{II}(Q_{\bullet }))}$

${\displaystyle H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes Q_{\bullet }))=H_{q}^{II}(H_{p}^{I}(P_{\bullet })\otimes Q_{\bullet })}$

Dado que los dos complejos son resoluciones, su homología desaparece fuera del grado cero. En el grado cero nos queda

${\displaystyle H_{p}^{I}(P_{\bullet }\otimes N)=\operatorname {Tor} _{p}(M,N)}$

${\displaystyle H_{q}^{II}(M\otimes Q_{\bullet })=\operatorname {Tor} _{q}(N,M)}$

En particular, los términos desaparecen excepto en las líneas q = 0 (para la secuencia espectral I ) y p = 0 (para la secuencia espectral II ). Esto implica que la secuencia espectral degenera en la segunda hoja, por lo que los términos E ^∞ son isomorfos a los términos E ² : ${\displaystyle E_{p,q}^{2}}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{p}(M,N)\cong E_{p}^{\infty }=H_{p}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$

${\displaystyle \operatorname {Tor} _{q}(N,M)\cong E_{q}^{\infty }=H_{q}(T(C_{\bullet ,\bullet }))}$

Finalmente, cuando p y q son iguales, los dos lados derechos son iguales y se sigue la conmutatividad de Tor.

Ejemplos resueltos

Hoja del primer cuadrante

Considere una secuencia espectral donde desaparece para todos menos que algunos y para todos menos que algunos . Si y se puede elegir para que sea cero, esto se denomina secuencia espectral del primer cuadrante . La secuencia linda porque es válida para todos si y . Para ver esto, observe que el dominio o el codominio del diferencial es cero para los casos considerados. En términos visuales, las hojas se estabilizan en un rectángulo creciente (ver imagen arriba). Sin embargo, no es necesario que la secuencia espectral degenere, porque es posible que no todos los mapas diferenciales sean cero a la vez. De manera similar, la secuencia espectral también converge si desaparece para todos los mayores que algunos y para todos los mayores que algunos . ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q_{0}}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle q_{0}}$ ${\displaystyle E_{r+i}^{p,q}=E_{r}^{p,q}}$ ${\displaystyle i\geq 0}$ ${\displaystyle r>p}$ ${\displaystyle r>q+1}$ ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q_{0}}$

2 columnas adyacentes distintas de cero

Sea una secuencia espectral homológica tal que para todo p distinto de 0, 1. Visualmente, esta es la secuencia espectral con -página ${\displaystyle E_{p,q}^{r}}$ ${\displaystyle E_{p,q}^{2}=0}$ ${\displaystyle E^{2}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\\\cdots &0&E_{0,2}^{2}&E_{1,2}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,1}^{2}&E_{1,1}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,0}^{2}&E_{1,0}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,-1}^{2}&E_{1,-1}^{2}&0&\cdots \\&\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\end{matrix}}}$

Los diferenciales en la segunda página tienen grado (-2, 1), por lo que tienen la forma

${\displaystyle d_{p,q}^{2}:E_{p,q}^{2}\to E_{p-2,q+1}^{2}}$

Estos mapas son todos cero ya que son

${\displaystyle d_{0,q}^{2}:E_{0,q}^{2}\to 0}$, ${\displaystyle d_{1,q}^{2}:E_{1,q}^{2}\to 0}$

por tanto la secuencia espectral degenera: . Digamos que converge con una filtración. ${\displaystyle E^{\infty }=E^{2}}$ ${\displaystyle H_{*}}$

${\displaystyle 0=F_{-1}H_{n}\subset F_{0}H_{n}\subset \dots \subset F_{n}H_{n}=H_{n}}$

tal que . Luego , , , , etc. Así, queda la secuencia exacta: ^[7] ${\displaystyle E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}/F_{p-1}H_{p+q}}$ ${\displaystyle F_{0}H_{n}=E_{0,n}^{2}}$ ${\displaystyle F_{1}H_{n}/F_{0}H_{n}=E_{1,n-1}^{2}}$ ${\displaystyle F_{2}H_{n}/F_{1}H_{n}=0}$ ${\displaystyle F_{3}H_{n}/F_{2}H_{n}=0}$

${\displaystyle 0\to E_{0,n}^{2}\to H_{n}\to E_{1,n-1}^{2}\to 0}$.

A continuación, sea una secuencia espectral cuya segunda página consta solo de dos líneas q = 0, 1. No es necesario que degenere en la segunda página, pero aún así degenera en la tercera página ya que los diferenciales tienen grado (-3, 2). Tenga en cuenta que el denominador es cero. Similarmente, . De este modo, ${\displaystyle E_{p,q}^{r}}$ ${\displaystyle E_{p,0}^{3}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{2}\to E_{p-2,1}^{2})}$ ${\displaystyle E_{p,1}^{3}=\operatorname {coker} (d:E_{p+2,0}^{2}\to E_{p,1}^{2})}$

${\displaystyle 0\to E_{p,0}^{\infty }\to E_{p,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-2,1}^{2}\to E_{p-2,1}^{\infty }\to 0}$.

Ahora, digamos, la secuencia espectral converge a H con una filtración F como en el ejemplo anterior. Como , , etc., tenemos: . Juntando todo, se obtiene: ^[8] ${\displaystyle F_{p-2}H_{p}/F_{p-3}H_{p}=E_{p-2,2}^{\infty }=0}$ ${\displaystyle F_{p-3}H_{p}/F_{p-4}H_{p}=0}$ ${\displaystyle 0\to E_{p-1,1}^{\infty }\to H_{p}\to E_{p,0}^{\infty }\to 0}$

${\displaystyle \cdots \to H_{p+1}\to E_{p+1,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-1,1}^{2}\to H_{p}\to E_{p,0}^{2}{\overset {d}{\to }}E_{p-2,1}^{2}\to H_{p-1}\to \dots .}$

secuencia de wang

El cálculo de la sección anterior se generaliza de forma sencilla. Considere una fibración sobre una esfera:

${\displaystyle F{\overset {i}{\to }}E{\overset {p}{\to }}S^{n}}$

con n al menos 2. Existe la secuencia espectral de Serre :

${\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}(S^{n};H_{q}(F))\Rightarrow H_{p+q}(E)}$;

es decir, con cierta filtración . ${\displaystyle E_{p,q}^{\infty }=F_{p}H_{p+q}(E)/F_{p-1}H_{p+q}(E)}$ ${\displaystyle F_{\bullet }}$

Dado que es distinto de cero sólo cuando p es cero o n e igual a Z en ese caso, vemos que consta de sólo dos líneas , por lo tanto, la página viene dada por ${\displaystyle H_{p}(S^{n})}$ ${\displaystyle E_{p,q}^{2}}$ ${\displaystyle p=0,n}$ ${\displaystyle E^{2}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &\\\cdots &0&E_{0,2}^{2}&0&\cdots &0&E_{n,2}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,1}^{2}&0&\cdots &0&E_{n,1}^{2}&0&\cdots \\\cdots &0&E_{0,0}^{2}&0&\cdots &0&E_{n,0}^{2}&0&\cdots \\\end{matrix}}}$

Es más, desde

${\displaystyle E_{p,q}^{2}=H_{p}(S^{n};H_{q}(F))=H_{q}(F)}$

porque según el teorema del coeficiente universal , la página se parece ${\displaystyle p=0,n}$ ${\displaystyle E^{2}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}&\vdots &\vdots &\vdots &&\vdots &\vdots &\vdots &\\\cdots &0&H_{2}(F)&0&\cdots &0&H_{2}(F)&0&\cdots \\\cdots &0&H_{1}(F)&0&\cdots &0&H_{1}(F)&0&\cdots \\\cdots &0&H_{0}(F)&0&\cdots &0&H_{0}(F)&0&\cdots \\\end{matrix}}}$

Dado que los únicos diferenciales distintos de cero están en la página, dado por ${\displaystyle E^{n}}$

${\displaystyle d_{n,q}^{n}:E_{n,q}^{n}\to E_{0,q+n-1}^{n}}$

cual es

${\displaystyle d_{n,q}^{n}:H_{q}(F)\to H_{q+n-1}(F)}$

la secuencia espectral converge en . Al calcular obtenemos una secuencia exacta. ${\displaystyle E^{n+1}=E^{\infty }}$ ${\displaystyle E^{n+1}}$

${\displaystyle 0\to E_{n,q-n}^{\infty }\to E_{n,q-n}^{n}{\overset {d}{\to }}E_{0,q-1}^{n}\to E_{0,q-1}^{\infty }\to 0.}$

y escrito usando los grupos de homología, esto es

${\displaystyle 0\to E_{n,q-n}^{\infty }\to H_{q-n}(F){\overset {d}{\to }}H_{q-1}(F)\to E_{0,q-1}^{\infty }\to 0.}$

Para establecer cuáles son los dos términos, escriba , y desde , etc., tenemos: y por lo tanto, desde , ${\displaystyle E^{\infty }}$ ${\displaystyle H=H(E)}$ ${\displaystyle F_{1}H_{q}/F_{0}H_{q}=E_{1,q-1}^{\infty }=0}$ ${\displaystyle E_{n,q-n}^{\infty }=F_{n}H_{q}/F_{0}H_{q}}$ ${\displaystyle F_{n}H_{q}=H_{q}}$

${\displaystyle 0\to E_{0,q}^{\infty }\to H_{q}\to E_{n,q-n}^{\infty }\to 0.}$

Esta es la secuencia exacta

${\displaystyle 0\to H_{q}(F)\to H_{q}(E)\to H_{q-n}(F)\to 0.}$

Juntando todos los cálculos, se obtiene: ^[9]

${\displaystyle \dots \to H_{q}(F){\overset {i_{*}}{\to }}H_{q}(E)\to H_{q-n}(F){\overset {d}{\to }}H_{q-1}(F){\overset {i_{*}}{\to }}H_{q-1}(E)\to H_{q-n-1}(F)\to \dots }$

(La secuencia de Gysin se obtiene de manera similar).

Términos de bajo grado

Con un cambio de notación obvio, el tipo de cálculos de los ejemplos anteriores también se puede realizar para secuencias espectrales cohomológicas. Sea una secuencia espectral del primer cuadrante que converge a H con la filtración decreciente ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$

${\displaystyle 0=F^{n+1}H^{n}\subset F^{n}H^{n}\subset \dots \subset F^{0}H^{n}=H^{n}}$

de modo que Dado es cero si p o q es negativo, tenemos: ${\displaystyle E_{\infty }^{p,q}=F^{p}H^{p+q}/F^{p+1}H^{p+q}.}$ ${\displaystyle E_{2}^{p,q}}$

${\displaystyle 0\to E_{\infty }^{0,1}\to E_{2}^{0,1}{\overset {d}{\to }}E_{2}^{2,0}\to E_{\infty }^{2,0}\to 0.}$

Ya que por la misma razón y desde ${\displaystyle E_{\infty }^{1,0}=E_{2}^{1,0}}$ ${\displaystyle F^{2}H^{1}=0,}$

${\displaystyle 0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{\infty }^{0,1}\to 0}$.

Desde , . Al apilar las secuencias, obtenemos la llamada secuencia exacta de cinco términos : ${\displaystyle F^{3}H^{2}=0}$ ${\displaystyle E_{\infty }^{2,0}\subset H^{2}}$

${\displaystyle 0\to E_{2}^{1,0}\to H^{1}\to E_{2}^{0,1}{\overset {d}{\to }}E_{2}^{2,0}\to H^{2}.}$

Mapas de bordes y transgresiones

Secuencias espectrales homológicas

Sea una secuencia espectral. Si para cada q < 0, entonces debe ser que: para r ≥ 2, ${\displaystyle E_{p,q}^{r}}$ ${\displaystyle E_{p,q}^{r}=0}$

${\displaystyle E_{p,0}^{r+1}=\operatorname {ker} (d:E_{p,0}^{r}\to E_{p-r,r-1}^{r})}$

ya que el denominador es cero. Por tanto, existe una secuencia de monomorfismos:

${\displaystyle E_{p,0}^{r}\to E_{p,0}^{r-1}\to \dots \to E_{p,0}^{3}\to E_{p,0}^{2}}$.

Se llaman mapas de bordes. De manera similar, si para cada p <0, entonces hay una secuencia de epimorfismos (también llamados mapas de bordes): ${\displaystyle E_{p,q}^{r}=0}$

${\displaystyle E_{0,q}^{2}\to E_{0,q}^{3}\to \dots \to E_{0,q}^{r-1}\to E_{0,q}^{r}}$.

La transgresión es un mapa parcialmente definido (más precisamente, un mapa de un subobjeto a un cociente )

${\displaystyle \tau :E_{p,0}^{2}\to E_{0,p-1}^{2}}$

dado como una composición , siendo el primer y el último mapa los inversos de los mapas de borde. ^[10] ${\displaystyle E_{p,0}^{2}\to E_{p,0}^{p}{\overset {d}{\to }}E_{0,p-1}^{p}\to E_{0,p-1}^{2}}$

Secuencias espectrales cohomológicas

Para una secuencia espectral de tipo cohomológico, se mantienen afirmaciones análogas. Si para cada q < 0, entonces existe una secuencia de epimorfismos ${\displaystyle E_{r}^{p,q}}$ ${\displaystyle E_{r}^{p,q}=0}$

${\displaystyle E_{2}^{p,0}\to E_{3}^{p,0}\to \dots \to E_{r-1}^{p,0}\to E_{r}^{p,0}}$.

Y si para cada p < 0, entonces existe una secuencia de monomorfismos: ${\displaystyle E_{r}^{p,q}=0}$

${\displaystyle E_{r}^{0,q}\to E_{r-1}^{0,q}\to \dots \to E_{3}^{0,q}\to E_{2}^{0,q}}$.

La transgresión es un mapa no necesariamente bien definido:

${\displaystyle \tau :E_{2}^{0,q-1}\to E_{2}^{q,0}}$

Inducido por . ${\displaystyle d:E_{q}^{0,q-1}\to E_{q}^{q,0}}$

Solicitud

La determinación de estos mapas es fundamental para calcular muchos diferenciales en la secuencia espectral de Serre . Por ejemplo, el mapa de transgresión determina el diferencial ^[11]

${\displaystyle d_{n}:E_{n,0}^{n}\to E_{0,n-1}^{n}}$

para la secuencia espectral espectral homológica, por lo tanto, en la secuencia espectral de Serre para una fibración se obtiene el mapa ${\displaystyle F\to E\to B}$

${\displaystyle d_{n}:H_{n}(B)\to H_{n-1}(F)}$.

Más ejemplos

Algunas secuencias espectrales notables son:

Topología y geometría

• Secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch de una extraordinaria teoría de cohomología
• Secuencia espectral de barras para la homología del espacio de clasificación de un grupo.
• Secuencia espectral de Bockstein que relaciona la homología con los coeficientes mod p y la homología reducida mod p .
• Secuencia espectral de Cartan-Leray que converge a la homología de un espacio cociente.
• Secuencia espectral de Eilenberg-Moore para la cohomología singular del retroceso de una fibración
• Secuencia espectral de Serre de una fibración.

Teoría de la homotopía

• Secuencia espectral de Adams en la teoría de la homotopía estable
• "Secuencia espectral de Adams-Novikov , una generalización de teorías de cohomología extraordinarias ".
• Secuencia espectral de Barratt convergente a la homotopía del espacio inicial de una cofibración.
• Secuencia espectral de Bousfield-Kan que converge al colímite de homotopía de un functor.
• Secuencia espectral cromática para calcular los términos iniciales de la secuencia espectral de Adams-Novikov .
• Secuencia espectral de Cobar
• Secuencia espectral de EHP que converge a grupos de esferas de homotopía estable
• Secuencia espectral de Federer que converge a grupos de homotopía de un espacio funcional.
• Secuencia espectral de punto fijo de homotopía ^[12]
• Secuencia espectral de Hurewicz para calcular la homología de un espacio a partir de su homotopía.
• Secuencia espectral de Miller que converge a la homología estable mod p de un espacio.
• Secuencia espectral de Milnor es otro nombre para la secuencia espectral de barras.
• Secuencia espectral de Moore es otro nombre para la secuencia espectral de barras.
• Secuencia espectral de Quillen para calcular la homotopía de un grupo simplicial.
• La secuencia espectral de Rothenberg-Steenrod es otro nombre para la secuencia espectral de barras.
• Secuencia espectral de van Kampen para calcular la homotopía de una cuña de espacios.

Álgebra

• "Secuencia espectral del funtor derivado de Čech desde la cohomología de Čech hasta la cohomología de gavilla" .
• Cambio de secuencias espectrales de anillos para el cálculo de grupos de módulos Tor y Ext.
• Secuencias espectrales de Connes que convergen a la homología cíclica de un álgebra.
• Secuencia espectral de Gersten-Witt
• Secuencia espectral de Green para la cohomología de Koszul
• Secuencia espectral de Grothendieck para componer functores derivados
• Secuencia espectral de hiperhomología para calcular la hiperhomología.
• Secuencia espectral de Künneth para calcular la homología de un producto tensorial de álgebras diferenciales.
• Secuencia espectral de Leray que converge a la cohomología de una gavilla.
• Secuencia espectral Ext de local a global
• Secuencia espectral Lyndon-Hochschild-Serre en (co)homología de grupo
• Puede secuencia espectral para calcular los grupos Tor o Ext de un álgebra.
• Secuencia espectral de un grupo filtrado diferencial: descrita en este artículo.
• Secuencia espectral de un doble complejo: descrita en este artículo.
• Secuencia espectral de un par exacto: descrita en este artículo.
• Secuencia espectral del coeficiente universal
• Secuencia espectral de van Est que converge con la cohomología relativa del álgebra de Lie.

Geometría compleja y algebraica.

• La secuencia espectral de Arnold en la teoría de la singularidad .
• Secuencia espectral de Bloch-Lichtenbaum que converge con la teoría K algebraica de un campo.
• Secuencia espectral de Frölicher a partir de la cohomología de Dolbeault y convergiendo a la cohomología algebraica de Rham de una variedad.
• Secuencia espectral de Hodge-de Rham que converge con la cohomología algebraica de Rham de una variedad.
• Secuencia espectral de la teoría Motivic a K

Notas

1. McCleary 2001, pag.  ^{[ página necesaria ]} .
2. Hatcher, ejemplo 1.17.
3. Hatcher, ejemplo 1.18.
4. Mayo.
5. Serge Lang (2002), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas 211 (en alemán) (Überarbeitete 3. ed.), Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 038795385X
6. Elzein, Fouad; Trang, Lê Dung (23 de febrero de 2013). "Estructuras mixtas de Hodge". págs.40, 4.0.2. arXiv : 1302.5811 [matemáticas.AG].
7. Weibel 1994, Ejercicio 5.2.1.; hay errores tipográficos en la secuencia exacta, al menos en la edición de 1994.
8. Weibel 1994, Ejercicio 5.2.2.
9. Weibel 1994, Aplicación 5.3.5.
10. Mayo, § 1.
11. Hatcher, págs.540, 564.
12. Bruner, Robert R.; Rognes, John (2005). "Diferenciales en la secuencia espectral de punto fijo de homotopía homológica". Álgebra. Geom. Tópol . 5 (2): 653–690. arXiv : matemáticas/0406081 . doi : 10.2140/agt.2005.5.653 .

Referencias

Introductorio

• Fomenko, Anatoly; Fuchs, Dmitry, Topología homotópica
• Hatcher, Allen. "Secuencias espectrales en topología algebraica" (PDF) .

Referencias

• Leray, Jean (1946a), "L'anneau d'homologie d'une représentation", Les Comptes rendus de l'Académie des sciences , 222 : 1366-1368
• Leray, Jean (1946b), "Structure de l'anneau d'homologie d'une représentation", Les Comptes rendus de l'Académie des sciences , 222 : 1419-1422
• Koszul, Jean-Louis (1947). "Sur les opérateurs de derivation dans un anneau". Cuentas de resultados de la Academia de Ciencias . 225 : 217–219.
• Massey, William S. (1952). "Parejas exactas en topología algebraica. I, II". Anales de Matemáticas . Segunda Serie. 56 (2). Anales de Matemáticas: 363–396. doi :10.2307/1969805. JSTOR  1969805.
• Massey, William S. (1953). "Parejas exactas en topología algebraica. III, IV, V". Anales de Matemáticas . Segunda Serie. 57 (2). Anales de Matemáticas: 248–286. doi :10.2307/1969858. JSTOR  1969858.
• Mayo, J. Peter . "Una introducción a las secuencias espectrales" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 21 de junio de 2020 . Consultado el 21 de junio de 2020 .
• McCleary, John (2001). Una guía del usuario sobre secuencias espectrales . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 58 (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 978-0-521-56759-6. SEÑOR  1793722.
• Mosher, Robert; Tangora, Martin (1968), Operaciones y aplicaciones de cohomología en la teoría de la homotopía , Harper y Row, ISBN 978-0-06-044627-7
• Weibel, Charles A. (1994). Una introducción al álgebra homológica . Estudios de Cambridge en Matemáticas Avanzadas. vol. 38. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-55987-4. SEÑOR  1269324. OCLC  36131259.

Otras lecturas

• Chow, Timothy Y. (2006). "Podrías haber inventado secuencias espectrales" (PDF) . Avisos de la Sociedad Matemática Estadounidense . 53 : 15-19.

enlaces externos

• "¿Qué tienen de" espectrales "las secuencias espectrales?". Desbordamiento matemático .
• "SpectralSequences: un paquete para trabajar con complejos filtrados y secuencias espectrales". Macaulay2 .