Teorema de Künneth

Relaciona la homología de dos objetos con la homología de su producto.

En matemáticas , especialmente en álgebra homológica y topología algebraica , un teorema de Künneth , también llamado fórmula de Künneth , es un enunciado que relaciona la homología de dos objetos con la homología de su producto. El enunciado clásico del teorema de Künneth relaciona la homología singular de dos espacios topológicos X e Y y su espacio de producto . En el caso más simple posible la relación es la de un producto tensorial , pero para las aplicaciones es muy a menudo necesario aplicar ciertas herramientas del álgebra homológica para expresar la respuesta. ${\displaystyle X\times Y}$

Un teorema de Künneth o una fórmula de Künneth es cierto en muchas teorías de homología y cohomología diferentes, y el nombre se ha vuelto genérico. Estos numerosos resultados reciben el nombre del matemático alemán Hermann Künneth .

Homología singular con coeficientes en un cuerpo

Sean X e Y dos espacios topológicos. En general, se utiliza la homología singular; pero si X e Y son complejos CW , entonces esto se puede reemplazar por homología celular , porque es isomorfa a la homología singular. El caso más simple es cuando el anillo de coeficientes para la homología es un cuerpo F. En esta situación, el teorema de Künneth (para la homología singular) establece que para cualquier entero k ,

${\displaystyle \bigoplus _{i+j=k}H_{i}(X;F)\otimes H_{j}(Y;F)\cong H_{k}(X\times Y;F)}$.

Además, el isomorfismo es un isomorfismo natural . La función de la suma al grupo de homología del producto se denomina producto vectorial . Más precisamente, existe una operación de producto vectorial mediante la cual un i -ciclo en X y un j -ciclo en Y se pueden combinar para crear un -ciclo en ; de modo que existe una función lineal explícita definida de la suma directa a . ${\displaystyle (i+j)}$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle H_{k}(X\times Y)}$

Una consecuencia de este resultado es que los números de Betti , las dimensiones de la homología con coeficientes, de pueden determinarse a partir de los de X e Y . Si es la función generadora de la sucesión de números de Betti de un espacio Z , entonces ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle p_{Z}(t)}$ ${\displaystyle b_{k}(Z)}$

${\displaystyle p_{X\times Y}(t)=p_{X}(t)p_{Y}(t).}$

Aquí, cuando hay un número finito de números de Betti de X e Y , cada uno de los cuales es un número natural en lugar de , esto se lee como una identidad en polinomios de Poincaré . En el caso general, estas son series de potencias formales con coeficientes posiblemente infinitos y deben interpretarse en consecuencia. Además, la afirmación anterior se aplica no solo a los números de Betti, sino también a las funciones generadoras de las dimensiones de la homología sobre cualquier cuerpo. (Si la homología entera no está libre de torsión , entonces estos números pueden diferir de los números de Betti estándar). ${\displaystyle \infty }$

Homología singular con coeficientes en un dominio ideal principal

La fórmula anterior es sencilla porque los espacios vectoriales sobre un cuerpo tienen un comportamiento muy restringido. A medida que el anillo de coeficientes se vuelve más general, la relación se vuelve más complicada. El siguiente caso más simple es el caso en el que el anillo de coeficientes es un dominio ideal principal . Este caso es particularmente importante porque los números enteros son un PID. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

En este caso, la ecuación anterior ya no es siempre cierta. Un factor de corrección parece tener en cuenta la posibilidad de fenómenos de torsión. Este factor de corrección se expresa en términos del funtor Tor , el primer funtor derivado del producto tensorial.

Cuando R es un PID, entonces el enunciado correcto del teorema de Künneth es que para cualquier espacio topológico X e Y existen secuencias exactas cortas naturales

${\displaystyle 0\to \bigoplus _{i+j=k}H_{i}(X;R)\otimes _{R}H_{j}(Y;R)\to H_{k}(X\times Y;R)\to \bigoplus _{i+j=k-1}\mathrm {Tor} _{1}^{R}(H_{i}(X;R),H_{j}(Y;R))\to 0.}$

Además, estas secuencias se dividen , pero no canónicamente .

Ejemplo

Las secuencias cortas y exactas que acabamos de describir se pueden utilizar fácilmente para calcular los grupos de homología con coeficientes enteros del producto de dos planos proyectivos reales , en otras palabras, . Estos espacios son complejos CW . Denotando el grupo de homología por razones de brevedad, se sabe a partir de un cálculo simple con homología celular que ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2}}$ ${\displaystyle H_{k}(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle H_{i}(\mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle h_{i}}$

${\displaystyle h_{0}\cong \mathbb {Z} }$,

${\displaystyle h_{1}\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$,

${\displaystyle h_{i}=0}$para todos los demás valores de i .

El único grupo Tor distinto de cero (producto de torsión) que se puede formar a partir de estos valores de es ${\displaystyle h_{i}}$

${\displaystyle \mathrm {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(h_{1},h_{1})\cong \mathrm {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} ,\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }$.

Por lo tanto, la sucesión corta exacta de Künneth se reduce en cada grado a un isomorfismo, porque hay un grupo cero en cada caso, ya sea en el lado izquierdo o en el lado derecho de la sucesión. El resultado es

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{0}\left(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} \right)\;&\cong \;h_{0}\otimes h_{0}\;\cong \;\mathbb {Z} \\H_{1}\left(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} \right)\;&\cong \;h_{0}\otimes h_{1}\;\oplus \;h_{1}\otimes h_{0}\;\cong \;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \\H_{2}\left(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} \right)\;&\cong \;h_{1}\otimes h_{1}\;\cong \;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \\H_{3}\left(\mathbb {RP} ^{2}\times \mathbb {RP} ^{2};\mathbb {Z} \right)\;&\cong \;\mathrm {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(h_{1},h_{1})\;\cong \;\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} \\\end{aligned}}}$

y todos los demás grupos de homología son cero.

La secuencia espectral de Künneth

Para un anillo conmutativo general R , la homología de X e Y está relacionada con la homología de su producto mediante una secuencia espectral de Künneth.

${\displaystyle E_{pq}^{2}=\bigoplus _{q_{1}+q_{2}=q}\mathrm {Tor} _{p}^{R}(H_{q_{1}}(X;R),H_{q_{2}}(Y;R))\Rightarrow H_{p+q}(X\times Y;R).}$

En los casos descritos anteriormente, esta secuencia espectral colapsa para dar un isomorfismo o una secuencia exacta corta.

Relación con el álgebra homológica y la idea de prueba

El complejo de cadena del espacio X × Y está relacionado con los complejos de cadena de X e Y por un cuasi-isomorfismo natural

${\displaystyle C_{*}(X\times Y)\cong C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y).}$

Para cadenas singulares, este es el teorema de Eilenberg y Zilber . Para cadenas celulares en complejos CW, es un isomorfismo simple. Entonces, la homología del producto tensorial de la derecha está dada por la fórmula espectral de Künneth del álgebra homológica. ^[1]

La libertad de los módulos de la cadena significa que en este caso geométrico no es necesario utilizar ninguna hiperhomología o producto tensorial total derivado.

Existen análogos de las afirmaciones anteriores para la cohomología singular y la cohomología de haces . Para la cohomología de haces en una variedad algebraica, Alexander Grothendieck encontró seis secuencias espectrales que relacionan los posibles grupos de hiperhomología de dos complejos de cadenas de haces y los grupos de hiperhomología de su producto tensorial. ^[2]

Teoremas de Künneth en teorías generalizadas de homología y cohomología

Existen muchas teorías de homología y cohomología generalizadas (o "extraordinarias") para espacios topológicos. La teoría K y el cobordismo son las más conocidas. A diferencia de la homología y la cohomología ordinarias, normalmente no se pueden definir utilizando complejos de cadena. Por lo tanto, los teoremas de Künneth no se pueden obtener mediante los métodos anteriores de álgebra homológica. Sin embargo, los teoremas de Künneth en la misma forma se han demostrado en muchos casos mediante varios otros métodos. Los primeros fueron el teorema de Künneth de Michael Atiyah para la teoría K compleja y el resultado de Pierre Conner y Edwin E. Floyd en el cobordismo. ^{[3] [4]} Surgió un método general de prueba, basado en una teoría homotópica de módulos sobre espectros de anillos altamente estructurados . ^{[5] [6]} La categoría de homotopía de dichos módulos se parece mucho a la categoría derivada en el álgebra homológica.

Referencias

1. Véase el capítulo final de Mac Lane, Saunders (1963), Homology , Berlín: Springer, ISBN 0-387-03823-X
2. Grothendieck, Alejandro ; Dieudonné, Jean (1963), "Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la colaboration de Jean Dieudonné): III. Étude cohomologique des faisceaux cohérents, Seconde partie", Publications Mathématiques de l'IHÉS , 17 : 5–91, archivado desde el original el 19 de abril de 2016 , consultado el 29 de julio de 2008(EGA III ₂ , Teorema 6.7.3.).
3. Atiyah, Michael F. (1967), K-theory , Nueva York: WA Benjamin
4. Conner, Pierre E .; Floyd, Edwin E. (1964), Mapas periódicos diferenciables , Berlín: Springer
5. Robinson, Alan (1983), "Productos tensoriales derivados en la teoría de homotopía estable", Topología , 22 (1): 1–18, doi : 10.1016/0040-9383(83)90042-3 , MR  0682056
6. Elmendorf, Anthony D.; Kříž, Igor; Mandell, Michael A. y May, J. Peter (1997), Anillos, módulos y álgebras en la teoría de homotopía estable , Mathematical Surveys and Monographs, vol. 47, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0638-6, Sr.  1417719

Enlaces externos

• "Fórmula de Künneth", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]