En matemáticas , y más específicamente en álgebra homológica , el lema de desdoblamiento establece que en cualquier categoría abeliana , las siguientes afirmaciones son equivalentes para una secuencia exacta corta
Si alguna de estas afirmaciones es cierta, la secuencia se denomina secuencia exacta dividida y se dice que la secuencia está dividida .
En la secuencia corta exacta anterior, donde la secuencia se divide, se puede refinar el primer teorema de isomorfismo , que establece que:
a:
donde el primer teorema de isomorfismo es entonces simplemente la proyección sobre C.
Es una generalización categórica del teorema de rango-nulidad (en la forma V ≅ ker T ⊕ im T ) en álgebra lineal .
Primero, para mostrar que 3. implica tanto 1. como 2., suponemos 3. y tomamos como t la proyección natural de la suma directa sobre A , y tomamos como u la inyección natural de C en la suma directa.
Para demostrar que 1. implica 3., primero observe que cualquier miembro de B está en el conjunto ( ker t + im q ). Esto se deduce porque para todo b en B , b = ( b − qt ( b )) + qt ( b ) ; qt ( b ) está en im q , y b − qt ( b ) está en ker t , porque
A continuación, la intersección de im q y ker t es 0, ya que si existe a en A tal que q ( a ) = b , y t ( b ) = 0 , entonces 0 = tq ( a ) = a ; y por lo tanto, b = 0 .
Esto demuestra que B es la suma directa de im q y ker t . Por lo tanto, para todo b en B , b puede identificarse de forma única por algún a en A , k en ker t , tal que b = q ( a ) + k .
Por exactitud ker r = im q . La subsucesión B ⟶ C ⟶ 0 implica que r es sobre ; por lo tanto, para cualquier c en C existe algún b = q ( a ) + k tal que c = r ( b ) = r ( q ( a ) + k ) = r ( k ) . Por lo tanto, para cualquier c en C , existe k en ker t tal que c = r ( k ), y r (ker t ) = C .
Si r ( k ) = 0 , entonces k está en im q ; como la intersección de im q y ker t = 0 , entonces k = 0 . Por lo tanto, la restricción r : ker t → C es un isomorfismo; y ker t es isomorfo a C .
Finalmente, im q es isomorfo a A debido a la exactitud de 0 ⟶ A ⟶ B ; por lo que B es isomorfo a la suma directa de A y C , lo que demuestra (3).
Para demostrar que 2. implica 3., seguimos un argumento similar. Cualquier miembro de B está en el conjunto ker r + im u ; ya que para todo b en B , b = ( b − ur ( b )) + ur ( b ) , que está en ker r + im u . La intersección de ker r e im u es 0 , ya que si r ( b ) = 0 y u ( c ) = b , entonces 0 = ru ( c ) = c .
Para ser exactos, im q = ker r , y como q es una inyección , im q es isomorfo a A , por lo que A es isomorfo a ker r . Como ru es una biyección , u es una inyección y, por lo tanto, im u es isomorfo a C . Por lo tanto, B es nuevamente la suma directa de A y C .
Una prueba alternativa " absurda y abstracta " del lema de la división puede formularse enteramente en términos de teoría de categorías .
En la forma aquí establecida, el lema de división no se cumple en la categoría completa de grupos , que no es una categoría abeliana.
Es parcialmente cierto: si una secuencia corta exacta de grupos se divide por la izquierda o se obtiene una suma directa (1. o 3.), entonces se cumplen todas las condiciones. Para una suma directa esto es claro, ya que se puede inyectar desde o proyectar a los sumandos. Para una secuencia dividida por la izquierda, la función t × r : B → A × C da un isomorfismo, por lo que B es una suma directa (3.), y por lo tanto, al invertir el isomorfismo y componer con la inyección natural C → A × C se obtiene una inyección C → B que divide r (2.).
Sin embargo, si una secuencia corta y exacta de grupos se desdobla por la derecha (2.), entonces no necesita ser desdoblada por la izquierda o una suma directa (no se sigue ni 1. ni 3.): el problema es que la imagen del desdoblamiento por la derecha no necesita ser normal . Lo que es cierto en este caso es que B es un producto semidirecto , aunque no en general un producto directo .
Para formar un contraejemplo, tomemos el grupo no abeliano más pequeño B ≅ S 3 , el grupo simétrico de tres letras. Sea A el subgrupo alternado y sea C = B / A ≅ {±1 }. Sea q y r la función de inclusión y la función de signos respectivamente, de modo que
es una secuencia exacta corta. 3. falla, porque S 3 no es abeliano, pero 2. se cumple: podemos definir u : C → B al mapear el generador a cualquier biciclo . Nótese para completar que 1. falla: cualquier mapa t : B → A debe mapear cada biciclo a la identidad porque el mapa tiene que ser un homomorfismo de grupo , mientras que el orden de un biciclo es 2 que no puede ser dividido por el orden de los elementos en A distintos del elemento identidad, que es 3 ya que A es el subgrupo alternado de S 3 , o sea el grupo cíclico de orden 3. Pero cada permutación es un producto de biciclos, entonces t es el mapa trivial, de donde tq : A → A es el mapa trivial, no la identidad.
