Función de identidad

En matemáticas, una función que siempre devuelve el mismo valor que se utilizó como argumento.

Gráfica de la función identidad sobre los números reales.

En matemáticas , una función de identidad , también llamada relación de identidad , mapa de identidad o transformación de identidad , es una función que siempre devuelve el valor que se utilizó como argumento , sin cambios. Es decir, cuando f es la función identidad, la igualdad f ( x ) = x es verdadera para todos los valores de x a los que se puede aplicar f .

Definición

Formalmente, si X es un conjunto , la función identidad f en X se define como una función con X como dominio y codominio , satisfaciendo

f ( x ) = x   para todos los elementos x en X . ^[1]

En otras palabras, el valor de la función f ( x ) en el codominio X es siempre el mismo que el elemento de entrada x en el dominio X. La función identidad en X es claramente una función inyectiva así como una función sobreyectiva (su codominio es también su rango ), por lo que es biyectiva . ^[2]

La función de identidad f en X a menudo se denota por id _X.

En la teoría de conjuntos , donde una función se define como un tipo particular de relación binaria , la función de identidad viene dada por la relación de identidad , o diagonal de X. ^[3]

Propiedades algebraicas

Si f  : X → Y es cualquier función, entonces f ∘ id _X = f = id _Y ∘ f , donde "∘" denota la composición de la función . ^[4] En particular, id _X es el elemento de identidad del monoide de todas las funciones de X a X (bajo composición de funciones).

Dado que el elemento de identidad de un monoide es único , ^[5] alternativamente se puede definir la función de identidad en M como este elemento de identidad. Tal definición se generaliza al concepto de morfismo de identidad en la teoría de categorías , donde los endomorfismos de M no necesitan ser funciones.

Propiedades

• La función identidad es un operador lineal cuando se aplica a espacios vectoriales . ^[6]
• En un espacio vectorial de n dimensiones, _la función identidad está representada por la matriz identidad In , independientemente de la base elegida para el espacio. ^[7]
• La función identidad sobre los números enteros positivos es una función completamente multiplicativa (esencialmente multiplicación por 1), considerada en la teoría de números . ^[8]
• En un espacio métrico la función identidad es trivialmente una isometría . Un objeto sin simetría tiene como grupo de simetría el grupo trivial que contiene sólo esta isometría (simetría tipo C ₁ ). ^[9]
• En un espacio topológico , la función identidad es siempre continua . ^[10]
• La función de identidad es idempotente . ^[11]

Ver también

• Matriz de identidad
• Mapa de inclusión
• Función indicadora

Referencias

1. Knapp, Anthony W. (2006), Álgebra básica , Springer, ISBN 978-0-8176-3248-9
2. Mapa, Sadhan Kumar (7 de abril de 2014). Álgebra superior abstracta y lineal (11ª ed.). Casa del Libro Sarat. pag. 36.ISBN​ 978-93-80663-24-1.
3. Actas de simposios de matemática pura. Sociedad Matemática Estadounidense. 1974. pág. 92.ISBN​ 978-0-8218-1425-3. ...entonces el conjunto diagonal determinado por M es la relación de identidad...
4. Nel, Luis (2016). Teoría de la continuidad. pag. 21.doi :10.1007/978-3-319-31159-3 . ISBN 978-3-319-31159-3.
5. Rosales, JC; García-Sánchez, PA (1999). Monoides conmutativos finitamente generados. Editores Nova. pag. 1.ISBN​ 978-1-56072-670-8. El elemento 0 generalmente se denomina elemento de identidad y, si existe, es único.
6. Anton, Howard (2005), Álgebra lineal elemental (versión de aplicaciones) (9ª ed.), Wiley International
7. Costas TS (2007). Álgebra lineal aplicada y análisis matricial. Textos de Pregrado en Matemáticas. Saltador. ISBN 978-038-733-195-9.
8. D. Marshall; E. Odell; M. Starbird (2007). Teoría de números a través de la investigación . Libros de texto de la Asociación Matemática de América. Asociación Matemática de Amer. ISBN 978-0883857519.
9. James W. Anderson , Geometría hiperbólica , Springer 2005, ISBN 1-85233-934-9 
10. Conover, Robert A. (21 de mayo de 2014). Un primer curso de topología: una introducción al pensamiento matemático. Corporación de mensajería. pag. 65.ISBN​ 978-0-486-78001-6.
11. Conferencias, Verano de ingeniería de la Universidad de Michigan (1968). Fundamentos de la Ingeniería de Sistemas de Información. vemos que un elemento de identidad de un semigrupo es idempotente.