En matemáticas , un grupo de permutaciones es un grupo G cuyos elementos son permutaciones de un conjunto dado M y cuya operación de grupo es la composición de permutaciones en G (que se consideran funciones biyectivas del conjunto M a sí mismo). El grupo de todas las permutaciones de un conjunto M es el grupo simétrico de M , a menudo escrito como Sym( M ). [1] El término grupo de permutaciones significa, por tanto, un subgrupo del grupo simétrico. Si M = {1, 2, ..., n } , Sym( M ) suele denotarse con S n y puede llamarse el grupo simétrico de n letras .
Según el teorema de Cayley , cada grupo es isomorfo a algún grupo de permutación.
La forma en que los elementos de un grupo de permutación permutan los elementos del conjunto se denomina acción de grupo . Las acciones de grupo tienen aplicaciones en el estudio de las simetrías , la combinatoria y muchas otras ramas de las matemáticas , la física y la química.
Un grupo de permutación es un subgrupo de un grupo simétrico ; es decir, sus elementos son permutaciones de un conjunto dado. Por lo tanto, es un subconjunto de un grupo simétrico que está cerrado bajo la composición de permutaciones, contiene la permutación identidad y contiene la permutación inversa de cada uno de sus elementos. [2] Una propiedad general de los grupos finitos implica que un subconjunto finito no vacío de un grupo simétrico es un grupo de permutación si y solo si está cerrado bajo la composición de permutaciones. [3]
El grado de un grupo de permutaciones de un conjunto finito es el número de elementos del conjunto. El orden de un grupo (de cualquier tipo) es el número de elementos (cardinalidad) del grupo. Por el teorema de Lagrange , el orden de cualquier grupo de permutaciones finitas de grado n debe dividir a n ! ya que n - factorial es el orden del grupo simétrico S n .
Dado que las permutaciones son biyecciones de un conjunto, se pueden representar mediante la notación de dos líneas de Cauchy . [4] Esta notación enumera cada uno de los elementos de M en la primera fila y, para cada elemento, su imagen bajo la permutación que se encuentra debajo de él en la segunda fila. Si es una permutación del conjunto , entonces,
Por ejemplo, una permutación particular del conjunto {1, 2, 3, 4, 5} se puede escribir como
Esto significa que σ satisface σ (1) = 2, σ (2) = 5, σ (3) = 4, σ (4) = 3 y σ (5) = 1. Los elementos de M no necesitan aparecer en ningún orden especial en la primera fila, por lo que la misma permutación también podría escribirse como
Las permutaciones también se escriben a menudo en notación cíclica ( forma cíclica ) [5] de modo que, dado el conjunto M = {1, 2, 3, 4}, una permutación g de M con g (1) = 2, g (2) = 4, g (4) = 1 y g (3) = 3 se escribirá como (1, 2, 4)(3), o más comúnmente, (1, 2, 4) ya que 3 se deja sin cambios; si los objetos se denotan con letras o dígitos individuales, también se pueden prescindir de las comas y los espacios, y tenemos una notación como (124). La permutación escrita anteriormente en notación de 2 líneas se escribiría en notación cíclica como
El producto de dos permutaciones se define como su composición como funciones, por lo que es la función que asigna cualquier elemento x del conjunto a . Nótese que la permutación más a la derecha se aplica primero al argumento, debido a la forma en que se escribe la composición de funciones. [6] [7] Algunos autores prefieren que el factor más a la izquierda actúe primero, pero para ese fin las permutaciones deben escribirse a la derecha de su argumento, a menudo como un superíndice , por lo que la permutación que actúa sobre el elemento da como resultado la imagen . Con esta convención, el producto viene dado por . [8] [9] [10] Sin embargo, esto da una regla diferente para multiplicar permutaciones. Esta convención se usa comúnmente en la literatura de grupos de permutaciones, pero este artículo usa la convención donde la permutación más a la derecha se aplica primero.
Como la composición de dos biyecciones siempre da otra biyección, el producto de dos permutaciones es nuevamente una permutación. En la notación de dos líneas, el producto de dos permutaciones se obtiene reorganizando las columnas de la segunda permutación (la más a la izquierda) de modo que su primera fila sea idéntica a la segunda fila de la primera permutación (la más a la derecha). El producto puede entonces escribirse como la primera fila de la primera permutación sobre la segunda fila de la segunda permutación modificada. Por ejemplo, dadas las permutaciones,
El producto QP es:
La composición de las permutaciones, cuando se escriben en notación cíclica, se obtiene yuxtaponiendo las dos permutaciones (escribiendo la segunda a la izquierda) y luego simplificando a una forma cíclica disjunta si se desea. Por lo tanto, el producto anterior quedaría dado por:
Como la composición de funciones es asociativa , también lo es la operación de producto de permutaciones: . Por lo tanto, los productos de dos o más permutaciones se escriben normalmente sin añadir paréntesis para expresar agrupación; también se escriben normalmente sin un punto u otro signo para indicar multiplicación (los puntos del ejemplo anterior se añadieron para enfatizar, por lo que simplemente se escribirían como ).
La permutación identidad, que asigna cada elemento del conjunto a sí mismo, es el elemento neutro de este producto. En notación de dos líneas, la identidad es
En notación cíclica, e = (1)(2)(3)...( n ) que por convención también se denota simplemente por (1) o incluso (). [11]
Dado que las biyecciones tienen inversas , también las tienen las permutaciones, y la inversa σ −1 de σ es nuevamente una permutación. Explícitamente, siempre que σ ( x )= y también se tiene σ −1 ( y )= x . En la notación de dos líneas, la inversa se puede obtener intercambiando las dos líneas (y ordenando las columnas si se desea que la primera línea esté en un orden determinado). Por ejemplo
Para obtener la inversa de un ciclo simple, invertimos el orden de sus elementos. Así,
Para obtener la inversa de un producto de ciclos, primero invertimos el orden de los ciclos y luego tomamos la inversa de cada uno como se indicó anteriormente. Por lo tanto,
Tener un producto asociativo, un elemento identidad e inversos para todos sus elementos, convierte el conjunto de todas las permutaciones de M en un grupo , Sym( M ); un grupo de permutaciones.
Consideremos el siguiente conjunto G 1 de permutaciones del conjunto M = {1, 2, 3, 4}:
G 1 forma un grupo, ya que aa = bb = e , ba = ab y abab = e . Este grupo de permutación es, como grupo abstracto , el grupo de Klein V 4 .
Como otro ejemplo, considere el grupo de simetrías de un cuadrado . Sean los vértices de un cuadrado etiquetados 1, 2, 3 y 4 (en sentido antihorario alrededor del cuadrado comenzando con 1 en la esquina superior izquierda). Las simetrías están determinadas por las imágenes de los vértices, que pueden, a su vez, describirse mediante permutaciones. La rotación de 90° (en sentido antihorario) alrededor del centro del cuadrado se describe mediante la permutación (1234). Las rotaciones de 180° y 270° están dadas por (13)(24) y (1432), respectivamente. La reflexión sobre la línea horizontal que pasa por el centro está dada por (12)(34) y la reflexión de la línea vertical correspondiente es (14)(23). La reflexión sobre la línea diagonal 1,3 es (24) y la reflexión sobre la diagonal 2,4 es (13). La única simetría restante es la identidad (1)(2)(3)(4). Este grupo de permutación se conoce, como grupo abstracto, como grupo diedro de orden 8.
En el ejemplo anterior del grupo de simetría de un cuadrado, las permutaciones “describen” el movimiento de los vértices del cuadrado inducido por el grupo de simetrías. Es común decir que estos elementos del grupo están “actuando” sobre el conjunto de vértices del cuadrado. Esta idea puede precisarse definiendo formalmente una acción de grupo . [12]
Sea G un grupo y M un conjunto no vacío . Una acción de G sobre M es una función f : G × M → M tal que
Este par de condiciones también se puede expresar diciendo que la acción induce un homomorfismo de grupo de G en Sym ( M ). [12] Cualquier homomorfismo de este tipo se denomina representación (permutación) de G en M .
Para cualquier grupo de permutaciones, la acción que envía ( g , x ) → g ( x ) se llama acción natural de G sobre M . Esta es la acción que se supone a menos que se indique lo contrario. [12] En el ejemplo del grupo de simetría del cuadrado, la acción del grupo sobre el conjunto de vértices es la acción natural. Sin embargo, este grupo también induce una acción sobre el conjunto de cuatro triángulos en el cuadrado, que son: t 1 = 234, t 2 = 134, t 3 = 124 y t 4 = 123. También actúa sobre las dos diagonales: d 1 = 13 y d 2 = 24.
La acción de un grupo G sobre un conjunto M se dice que es transitiva si, para cada dos elementos s , t de M , hay algún elemento del grupo g tal que g ( s ) = t . Equivalentemente, el conjunto M forma una única órbita bajo la acción de G . [13] De los ejemplos anteriores, el grupo {e, (1 2), (3 4), (1 2)(3 4)} de permutaciones de {1, 2, 3, 4} no es transitivo (ningún elemento del grupo toma de 1 a 3) pero el grupo de simetrías de un cuadrado es transitivo sobre los vértices.
Un grupo de permutaciones G que actúa transitivamente sobre un conjunto finito no vacío M es imprimitivo si existe alguna partición no trivial de M que se conserva por la acción de G , donde "no trivial" significa que la partición no es la partición en conjuntos unitarios ni la partición con una sola parte. De lo contrario, si G es transitivo pero no conserva ninguna partición no trivial de M , el grupo G es primitivo .
Por ejemplo, el grupo de simetrías de un cuadrado es imprimitivo en los vértices: si están numerados 1, 2, 3, 4 en orden cíclico, entonces la partición {{1, 3}, {2, 4}} en pares opuestos se conserva para cada elemento del grupo. Por otra parte, el grupo simétrico completo en un conjunto M es siempre primitivo.
Cualquier grupo G puede actuar sobre sí mismo (considerando a los elementos del grupo como el conjunto M ) de muchas maneras. En particular, hay una acción regular dada por la multiplicación (izquierda) en el grupo. Es decir, f ( g , x ) = gx para todo g y x en G . Para cada g fijo , la función f g ( x ) = gx es una biyección sobre G y por lo tanto una permutación del conjunto de elementos de G . Cada elemento de G puede considerarse como una permutación de esta manera y, por lo tanto, G es isomorfo a un grupo de permutaciones; este es el contenido del teorema de Cayley .
Por ejemplo, considere el grupo G 1 que actúa sobre el conjunto {1, 2, 3, 4} dado anteriormente. Sean los elementos de este grupo los que se denotan por e , a , b y c = ab = ba . La acción de G 1 sobre sí misma descrita en el teorema de Cayley da la siguiente representación de permutación:
Si G y H son dos grupos de permutación en los conjuntos X e Y con acciones f 1 y f 2 respectivamente, entonces decimos que G y H son isomorfos de permutación (o isomorfos como grupos de permutación ) si existe una función biyectiva λ : X → Y y un isomorfismo de grupo ψ : G → H tales que
Si X = Y esto es equivalente a que G y H sean conjugados como subgrupos de Sym( X ). [15] El caso especial donde G = H y ψ es la función identidad da lugar al concepto de acciones equivalentes de un grupo. [16]
En el ejemplo de las simetrías de un cuadrado dado anteriormente, la acción natural sobre el conjunto {1,2,3,4} es equivalente a la acción sobre los triángulos. La biyección λ entre los conjuntos está dada por i ↦ t i . La acción natural del grupo G 1 anterior y su acción sobre sí mismo (mediante la multiplicación por la izquierda) no son equivalentes ya que la acción natural tiene puntos fijos y la segunda acción no.
Cuando un grupo G actúa sobre un conjunto S , la acción puede extenderse naturalmente al producto cartesiano S n de S , que consiste en n -tuplas de elementos de S : la acción de un elemento g sobre la n -tupla ( s 1 , ..., s n ) está dada por
Se dice que el grupo G es oligomórfico si la acción sobre S n tiene sólo un número finito de órbitas para cada entero positivo n . [17] [18] (Esto es automático si S es finito, por lo que el término suele ser de interés cuando S es infinito).
El interés en los grupos oligomórficos se basa en parte en su aplicación a la teoría de modelos , por ejemplo al considerar automorfismos en teorías categóricas contables . [19]
El estudio de los grupos surgió originalmente de la comprensión de los grupos de permutación. [20] Las permutaciones habían sido estudiadas intensamente por Lagrange en 1770 en su trabajo sobre las soluciones algebraicas de ecuaciones polinómicas. Este tema floreció y a mediados del siglo XIX existía una teoría bien desarrollada de los grupos de permutación, codificada por Camille Jordan en su libro Traité des Substitutions et des Équations Algébriques de 1870. El libro de Jordan, a su vez, se basó en los documentos que dejó Évariste Galois en 1832.
Cuando Cayley introdujo el concepto de grupo abstracto , no quedó claro de inmediato si se trataba de una colección de objetos más grande que los grupos de permutación conocidos (que tenían una definición diferente de la moderna). Cayley pasó a demostrar que los dos conceptos eran equivalentes en el teorema de Cayley. [21]
Otro texto clásico que contiene varios capítulos sobre grupos de permutación es la Teoría de grupos de orden finito de Burnside de 1911. [22] La primera mitad del siglo XX fue un período de barbecho en el estudio de la teoría de grupos en general, pero el interés en los grupos de permutación fue revivido en la década de 1950 por H. Wielandt cuyas notas de clase en alemán fueron reimpresas como Grupos de permutación finita en 1964. [23]
utilizó su notación de permutación (en la que los arreglos se escriben uno debajo del otro y ambos están encerrados entre paréntesis) por primera vez en 1815.
![{\displaystyle [(125)(34)]^{-1}=(34)^{-1}(125)^{-1}=(43)(521)=(34)(152).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/60acfa818803c852ee3949bda58e7e31d72ffa2d)