Teorema de Eilenberg-Zilber

Vincula los grupos de homología de un espacio de producto con los de los espacios individuales.

En matemáticas , específicamente en topología algebraica , el teorema de Eilenberg-Zilber es un resultado importante para establecer el vínculo entre los grupos de homología de un espacio de producto y los de los espacios y . El teorema apareció por primera vez en un artículo de 1953 en el American Journal of Mathematics de Samuel Eilenberg y Joseph A. Zilber. Una posible vía para una prueba es el teorema del modelo acíclico . ${\displaystyle X\times Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

Enunciado del teorema

El teorema se puede formular de la siguiente manera. Supongamos que y son espacios topológicos , Entonces tenemos los tres complejos de cadena , , y . (El argumento se aplica igualmente a los complejos de cadena simpliciales o singulares). También tenemos el complejo de producto tensorial , cuya diferencial es, por definición, ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle C_{*}(X)}$ ${\displaystyle C_{*}(Y)}$ ${\displaystyle C_{*}(X\times Y)}$ ${\displaystyle C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)}$

${\displaystyle \partial _{C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)}(\sigma \otimes \tau )=\partial _{X}\sigma \otimes \tau +(-1)^{p}\sigma \otimes \partial _{Y}\tau }$

para y , los diferenciales en , . ${\displaystyle \sigma \in C_{p}(X)}$ ${\displaystyle \partial _{X}}$ ${\displaystyle \partial _{Y}}$ ${\displaystyle C_{*}(X)}$ ${\displaystyle C_{*}(Y)}$

Entonces el teorema dice que tenemos mapas de cadena

${\displaystyle F\colon C_{*}(X\times Y)\rightarrow C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y),\quad G\colon C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)\rightarrow C_{*}(X\times Y)}$

tal que es la identidad y es homotópica en cadena con la identidad. Además, las funciones son naturales en y . En consecuencia, los dos complejos deben tener la misma homología : ${\displaystyle FG}$ ${\displaystyle GF}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle H_{*}(C_{*}(X\times Y))\cong H_{*}(C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)).}$

Declaración en términos de mapas compuestos

El teorema original se demostró en términos de modelos acíclicos, pero se obtuvo más provecho de una formulación de Eilenberg y Mac Lane utilizando mapas explícitos. El mapa estándar que producen se conoce tradicionalmente como el mapa de Alexander-Whitney y el mapa de Eilenberg-Zilber . Los mapas son naturales tanto en y como en inversa hasta la homotopía: uno tiene ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle FG=\mathrm {id} _{C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)},\qquad GF-\mathrm {id} _{C_{*}(X\times Y)}=\partial _{C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)}H+H\partial _{C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y)}}$

para una homotopía natural en ambos y tal que, además, cada uno de , , y es cero. Esto es lo que se conocería como una contracción o un dato de retracción de homotopía . ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle HH}$ ${\displaystyle FH}$ ${\displaystyle HG}$

El coproducto

El mapa diagonal induce un mapa de complejos de cocadena que, seguido por el Alexander-Whitney, produce un coproducto que induce el coproducto estándar en . Con respecto a estos coproductos en y , el mapa ${\displaystyle \Delta \colon X\to X\times X}$ ${\displaystyle C_{*}(X)\to C_{*}(X\times X)}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle C_{*}(X)\to C_{*}(X)\otimes C_{*}(X)}$ ${\displaystyle H_{*}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle H_{*}(X)\otimes H_{*}(Y)\to H_{*}{\big (}C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y){\big )}\ {\overset {\sim }{\to }}\ H_{*}(X\times Y)}$,

También llamado mapa de Eilenberg–Zilber, se convierte en un mapa de coalgebras graduadas diferenciales. El compuesto en sí no es un mapa de coalgebras. ${\displaystyle C_{*}(X)\to C_{*}(X)\otimes C_{*}(X)}$

Afirmación en cohomología

Las funciones de Alexander-Whitney y Eilenberg-Zilber se dualizan (sobre cualquier elección de anillo de coeficientes conmutativos con unidad) en un par de funciones ${\displaystyle k}$

${\displaystyle G^{*}\colon C^{*}(X\times Y)\rightarrow {\big (}C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y){\big )}^{*},\quad F^{*}\colon {\big (}C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y){\big )}^{*}\rightarrow C^{*}(X\times Y)}$

que también son equivalencias de homotopía, como lo atestiguan los duales de las ecuaciones anteriores, utilizando la homotopía dual . El coproducto no se dualiza directamente, porque la dualización no se distribuye sobre productos tensoriales de módulos infinitamente generados, pero hay una inyección natural de álgebras graduadas diferenciales dada por , tomándose el producto en el anillo de coeficientes . Esto induce un isomorfismo en la cohomología, por lo que uno tiene el zigzag de las aplicaciones de álgebras graduadas diferenciales ${\displaystyle H^{*}}$ ${\displaystyle i\colon C^{*}(X)\otimes C^{*}(Y)\to {\big (}C_{*}(X)\otimes C_{*}(Y){\big )}^{*}}$ ${\displaystyle \alpha \otimes \beta \mapsto (\sigma \otimes \tau \mapsto \alpha (\sigma )\beta (\tau ))}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle C^{*}(X)\otimes C^{*}(X)\ {\overset {i}{\to }}\ {\big (}C_{*}(X)\otimes C_{*}(X){\big )}^{*}\ {\overset {G^{*}}{\leftarrow }}\ C^{*}(X\times X){\overset {C^{*}(\Delta )}{\to }}C^{*}(X)}$

induciendo un producto en cohomología, conocido como producto de copa , porque y son isomorfismos. Reemplazando por por lo que todas las aplicaciones siguen el mismo camino, se obtiene el producto de copa estándar en cocadenas, dado explícitamente por ${\displaystyle \smile \colon H^{*}(X)\otimes H^{*}(X)\to H^{*}(X)}$ ${\displaystyle H^{*}(i)}$ ${\displaystyle H^{*}(G)}$ ${\displaystyle G^{*}}$ ${\displaystyle F^{*}}$

${\displaystyle \alpha \otimes \beta \mapsto {\Big (}\sigma \mapsto (\alpha \otimes \beta )(F^{*}\Delta ^{*}\sigma )=\sum _{p=0}^{\dim \sigma }\alpha (\sigma |_{\Delta ^{[0,p]}})\cdot \beta (\sigma |_{\Delta ^{[p,\dim \sigma ]}}){\Big )}}$,

lo cual, dado que la evaluación de cocadena desaparece a menos que , se reduce a la expresión más familiar. ${\displaystyle C^{p}(X)\otimes C_{q}(X)\to k}$ ${\displaystyle p=q}$

Obsérvese que si este mapa directo de complejos de cocadenas fuera de hecho un mapa de álgebras graduadas diferenciales, entonces el producto de copa daría lugar a un álgebra graduada conmutativa , lo cual no es. Este hecho de que el mapa de Alexander-Whitney no sea un mapa de coalgebra es un ejemplo de la falta de disponibilidad de modelos conmutativos a nivel de cocadena para la cohomología sobre cuerpos de característica distinta de cero y, por lo tanto, es en cierto modo responsable de gran parte de la sutileza y la complicación de la teoría de la homotopía estable. ${\displaystyle C^{*}(X)\otimes C^{*}(X)\to C^{*}(X)}$ ${\displaystyle C^{*}(X)}$

Generalizaciones

En el artículo de Andrew Tonks que figura a continuación se ofrece una generalización importante para el caso no abeliano que utiliza complejos cruzados. En él se ofrecen detalles completos de un resultado sobre el espacio de clasificación (simplicial) de un complejo cruzado, establecido pero no demostrado en el artículo de Ronald Brown y Philip J. Higgins sobre espacios de clasificación.

Consecuencias

El teorema de Eilenberg-Zilber es un ingrediente clave para establecer el teorema de Künneth , que expresa los grupos de homología en términos de y . A la luz del teorema de Eilenberg-Zilber, el contenido del teorema de Künneth consiste en analizar cómo la homología del complejo producto tensorial se relaciona con las homologías de los factores. ${\displaystyle H_{*}(X\times Y)}$ ${\displaystyle H_{*}(X)}$ ${\displaystyle H_{*}(Y)}$

Véase también

• Modelo acíclico

Referencias

• Eilenberg, Samuel ; Zilber, Joseph A. (1953), "Sobre productos de complejos", American Journal of Mathematics , vol. 75, núm. 1, págs. 200–204, doi :10.2307/2372629, JSTOR  2372629, MR  0052767.
• Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79540-1.
• Tonks, Andrew (2003), "Sobre el teorema de Eilenberg–Zilber para complejos cruzados", Journal of Pure and Applied Algebra , vol. 179, núm. 1–2, págs. 199–230, doi : 10.1016/S0022-4049(02)00160-3 , MR  1958384.
• Brown, Ronald ; Higgins, Philip J. (1991), "El espacio de clasificación de un complejo cruzado", Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , vol. 110, págs. 95–120, CiteSeerX  10.1.1.145.9813 , doi :10.1017/S0305004100070158.