Categoría de homotopía de complejos de cadena

En álgebra homológica en matemáticas , la categoría de homotopía K(A) de complejos de cadena en una categoría aditiva A es un marco para trabajar con homotopías de cadena y equivalencias de homotopía. Se encuentra en un punto intermedio entre la categoría de complejos de cadena Kom(A) de A y la categoría derivada D(A) de A cuando A es abeliano ; a diferencia de la primera, es una categoría triangulada y, a diferencia de la última, su formación no requiere que A sea abeliano. Filosóficamente, mientras que D(A) convierte en isomorfismos cualquier aplicación de complejos que sean cuasi-isomorfismos en Kom(A) , K(A) lo hace solo para aquellos que son cuasi-isomorfismos por una "buena razón", a saber, tener realmente una inversa hasta la equivalencia de homotopía. Por lo tanto, K(A) es más comprensible que D(A) .

Definiciones

Sea A una categoría aditiva . La categoría de homotopía K(A) se basa en la siguiente definición: si tenemos complejos A , B y funciones f , g de A a B , una homotopía en cadena de f a g es una colección de funciones ( no una función de complejos) tal que ${\displaystyle h^{n}\colon A^{n}\to B^{n-1}}$

${\displaystyle f^{n}-g^{n}=d_{B}^{n-1}h^{n}+h^{n+1}d_{A}^{n},}$o simplemente ${\displaystyle f-g=d_{B}h+hd_{A}.}$

Esto se puede representar así:

También decimos que f y g son homotópicos en cadena , o que son homotópicos nulos u homotópicos a 0. De la definición se desprende claramente que las funciones de los complejos que son homotópicos nulos forman un grupo bajo adición. ${\displaystyle f-g}$

La categoría de homotopía de los complejos de cadena K(A) se define entonces de la siguiente manera: sus objetos son los mismos que los objetos de Kom(A) , es decir, complejos de cadena . Sus morfismos son "aplicaciones de complejos módulo homotopía": es decir, definimos una relación de equivalencia.

${\displaystyle f\sim g\ }$si f es homotópica a g

y definir

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{K(A)}(A,B)=\operatorname {Hom} _{Kom(A)}(A,B)/\sim }$

ser el cociente por esta relación. Es claro que esto da como resultado una categoría aditiva si se observa que esto es lo mismo que tomar el cociente por el subgrupo de aplicaciones homotópicas nulas.

Las siguientes variantes de la definición también se utilizan ampliamente: si se toman solo complejos acotados por debajo ( A ⁿ = 0 para n<<0 ), acotados por encima ( A ⁿ = 0 para n>>0 ) o acotados ( A ⁿ = 0 para |n|>>0 ) en lugar de complejos no acotados, se habla de la categoría de homotopía acotada por debajo, etc. Se denotan por K ⁺ (A) , K ⁻ (A) y K ^b (A) , respectivamente.

Un morfismo que es un isomorfismo en K(A) se denomina equivalencia de homotopía . En detalle, esto significa que hay otra función , tal que las dos composiciones son homotópicas a las identidades: y . ${\displaystyle f:A\rightarrow B}$ ${\displaystyle g:B\rightarrow A}$ ${\displaystyle f\circ g\sim Id_{B}}$ ${\displaystyle g\circ f\sim Id_{A}}$

El nombre "homotopía" proviene del hecho de que los mapas homotópicos de espacios topológicos inducen mapas homotópicos (en el sentido mencionado anteriormente) de cadenas singulares .

Observaciones

Dos funciones homotópicas de cadena f y g inducen las mismas funciones en homología porque (f − g) envía ciclos a los límites , que son cero en homología. En particular, una equivalencia de homotopía es un cuasi-isomorfismo . (El recíproco es falso en general). Esto muestra que hay un funtor canónico para la categoría derivada (si A es abeliano ). ${\displaystyle K(A)\rightarrow D(A)}$

La estructura triangulada

El desplazamiento A[1] de un complejo A es el siguiente complejo

${\displaystyle A[1]:...\to A^{n+1}{\xrightarrow {d_{A[1]}^{n}}}A^{n+2}\to ...}$(tenga en cuenta que ), ${\displaystyle (A[1])^{n}=A^{n+1}}$

donde el diferencial es . ${\displaystyle d_{A[1]}^{n}:=-d_{A}^{n+1}}$

Para el cono de un morfismo f tomamos el cono de aplicación . Existen aplicaciones naturales

${\displaystyle A{\xrightarrow {f}}B\to C(f)\to A[1]}$

Este diagrama se llama triángulo . La categoría de homotopía K(A) es una categoría triangulada , si se definen los triángulos distinguidos como isomorfos (en K(A) , es decir, homotópicamente equivalentes) a los triángulos anteriores, para A , B y f arbitrarios . Lo mismo es cierto para las variantes acotadas K ⁺ (A) , K ⁻ (A) y K ^b (A) . Aunque los triángulos también tienen sentido en Kom(A) , esa categoría no está triangulada con respecto a estos triángulos distinguidos; por ejemplo,

${\displaystyle X{\xrightarrow {id}}X\to 0\to }$

no se distingue ya que el cono del mapa identidad no es isomorfo al complejo 0 (sin embargo, el mapa cero es una equivalencia de homotopía, de modo que este triángulo se distingue en K(A) ). Además, la rotación de un triángulo distinguido obviamente no se distingue en Kom(A) , pero (menos obviamente) se distingue en K(A) . Consulte las referencias para obtener más detalles. ${\displaystyle C(id)\to 0}$

Generalización

En términos más generales, la categoría de homotopía Ho(C) de una categoría graduada diferencial C se define como que tiene los mismos objetos que C , pero los morfismos se definen por . (Esto se reduce a la homotopía de los complejos de cadena si C es la categoría de complejos cuyos morfismos no tienen que respetar los diferenciales). Si C tiene conos y desplazamientos en un sentido adecuado, entonces Ho(C) también es una categoría triangulada. ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{Ho(C)}(X,Y)=H^{0}\operatorname {Hom} _{C}(X,Y)}$

Referencias

• Manin, Yuri Ivanovich ; Gelfand, Sergei I. (2003), Métodos de álgebra homológica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-43583-9
• Weibel, Charles A. (1994). Introducción al álgebra homológica . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. Sr.  1269324. OCLC  36131259.