Función Tor

Construction in homological algebra

En matemáticas , los funtores Tor son los funtores derivados del producto tensorial de módulos sobre un anillo . Junto con el funtor Ext , Tor es uno de los conceptos centrales del álgebra homológica , en la que se utilizan ideas de la topología algebraica para construir invariantes de estructuras algebraicas. La homología de grupos , las álgebras de Lie y las álgebras asociativas se pueden definir en términos de Tor. El nombre proviene de una relación entre el primer grupo Tor Tor ₁ y el subgrupo de torsión de un grupo abeliano .

En el caso especial de los grupos abelianos, Tor fue introducido por Eduard Čech (1935) y nombrado por Samuel Eilenberg alrededor de 1950. ^[1] Se aplicó por primera vez al teorema de Künneth y al teorema del coeficiente universal en topología. Para módulos sobre cualquier anillo, Tor fue definido por Henri Cartan y Eilenberg en su libro de 1956 Homological Algebra . ^[2]

Definición

Sea R un anillo . Escriba R -Mod para la categoría de R -módulos izquierdos y Mod- R para la categoría de R -módulos derechos. (Si R es conmutativo , se pueden identificar las dos categorías). Para un R -módulo izquierdo fijo B , sea para A en Mod- R. Este es un funtor exacto derecho de Mod- R a la categoría de grupos abelianos Ab, y por lo tanto tiene funtores derivados izquierdos . Los grupos Tor son los grupos abelianos definidos por para un entero i . Por definición, esto significa: tome cualquier resolución proyectiva y elimine A , y forme el complejo de cadena : ${\displaystyle T(A)=A\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle L_{i}T}$ $${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)=(L_{i}T)(A),}$$ $${\displaystyle \cdots \to P_{2}\to P_{1}\to P_{0}\to A\to 0,}$$ $${\displaystyle \cdots \to P_{2}\otimes _{R}B\to P_{1}\otimes _{R}B\to P_{0}\otimes _{R}B\to 0}$$

Para cada entero i , el grupo es la homología de este complejo en la posición i . Es cero para i negativo. Además, es el cokernel de la función , que es isomorfa a . ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{0}^{R}(A,B)}$ ${\displaystyle P_{1}\otimes _{R}B\to P_{0}\otimes _{R}B}$ ${\displaystyle A\otimes _{R}B}$

Alternativamente, se puede definir Tor fijando A y tomando los funtores derivados izquierdos del funtor exacto derecho G ( B ) = A ⊗ _R B . Es decir, el tensor A con una resolución proyectiva de B y toma homología. Cartan y Eilenberg demostraron que estas construcciones son independientes de la elección de la resolución proyectiva, y que ambas construcciones producen los mismos grupos Tor. ^[3] Además, para un anillo fijo R , Tor es un funtor en cada variable (desde R -módulos hasta grupos abelianos).

Para un anillo conmutativo R y R -módulos A y B , Tor^R
_yo( A , B ) es un módulo R (usando que A ⊗ _R B es un módulo R en este caso). Para un anillo no conmutativo R , Tor^R
_yo( A , B ) es sólo un grupo abeliano, en general. Si R es un álgebra sobre un anillo S (lo que significa en particular que S es conmutativo), entonces Tor^R
_yo( A , B ) es al menos un módulo S.

Propiedades

A continuación se presentan algunas de las propiedades y cálculos básicos de los grupos Tor. ^[4]

• Colina^R0
  _​( A , B ) ≅ A ⊗ _R B para cualquier R -módulo derecho A y R -módulo izquierdo B .
• Colina^R
  _yo( A , B ) = 0 para todo i > 0 si A o B es plano (por ejemplo, libre ) como un módulo R. De hecho, se puede calcular Tor utilizando una resolución plana de A o B ; esto es más general que una resolución proyectiva (o libre). ^[5]
• Hay contradicciones a la afirmación anterior:
  • Si Tor^R1
    _​( A , B ) = 0 para todo B , entonces A es plano (y por lo tanto Tor^R
    _yo( A , B ) = 0 para todo i > 0).
  • Si Tor^R1
    _​( A , B ) = 0 para todo A , entonces B es plano (y por lo tanto Tor^R
    _yo( A , B ) = 0 para todo i > 0).
• Por las propiedades generales de los funtores derivados , cada secuencia exacta corta 0 → K → L → M → 0 de módulos R derechos induce una secuencia exacta larga de la forma ^[6] para cualquier módulo R izquierdo B. La secuencia exacta análoga también se cumple para Tor con respecto a la segunda variable. $${\displaystyle \cdots \to \operatorname {Tor} _{2}^{R}(M,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(K,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(L,B)\to \operatorname {Tor} _{1}^{R}(M,B)\to K\otimes _{R}B\to L\otimes _{R}B\to M\otimes _{R}B\to 0,}$$
• Simetría: para un anillo conmutativo R , existe un isomorfismo natural Tor^R
  _yo( A , B ) ≅ Tor^R
  _yo( B , A ). ^[7] (Para que R sea conmutativo, no es necesario distinguir entre módulos R izquierdo y derecho ).
• Si R es un anillo conmutativo y u en R no es un divisor de cero , entonces para cualquier R -módulo B , donde es el subgrupo de u -torsión de B . Esta es la explicación del nombre Tor. Tomando R como el anillo de números enteros, este cálculo se puede utilizar para calcular cualquier grupo abeliano A finitamente generado . $${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(R/(u),B)\cong {\begin{cases}B/uB&i=0\\B[u]&i=1\\0&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$ $${\displaystyle B[u]=\{x\in B:ux=0\}}$$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{1}^{\mathbb {Z} }(A,B)}$
• Generalizando el ejemplo anterior, se pueden calcular grupos Tor que involucran el cociente de un anillo conmutativo por cualquier secuencia regular , utilizando el complejo de Koszul . ^[8] Por ejemplo, si R es el anillo polinomial k [ x ₁ , ..., x _n ] sobre un cuerpo k , entonces es el álgebra exterior sobre k en n generadores en Tor ₁ . ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{\mathbb {Z} }(A,B)=0}$para todo i ≥ 2. La razón: cada grupo abeliano A tiene una resolución libre de longitud 1, ya que cada subgrupo de un grupo abeliano libre es abeliano libre.
• Generalizando el ejemplo anterior, para todo i ≥ 2 si $R$ es un dominio ideal principal (PID). La razón: todo módulo A sobre un PID tiene una resolución libre de longitud 1, ya que todo submódulo de un módulo libre sobre un PID es libre. ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)=0}$
• Para cualquier anillo R , Tor conserva sumas directas (posiblemente infinitas) y colímites filtrados en cada variable. ^[9] Por ejemplo, en la primera variable, esto dice que $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Tor} _{i}^{R}\left(\bigoplus _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \bigoplus _{\alpha }\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M_{\alpha },N)\\\operatorname {Tor} _{i}^{R}\left(\varinjlim _{\alpha }M_{\alpha },N\right)&\cong \varinjlim _{\alpha }\operatorname {Tor} _{i}^{R}(M_{\alpha },N)\end{aligned}}}$$
• Cambio de base plana: para una R -álgebra plana conmutativa T , R -módulos A y B , y un entero i , ^[10] Se deduce que Tor conmuta con localización . Es decir, para un conjunto multiplicativamente cerrado S en R , $${\displaystyle \mathrm {Tor} _{i}^{R}(A,B)\otimes _{R}T\cong \mathrm {Tor} _{i}^{T}(A\otimes _{R}T,B\otimes _{R}T).}$$ $${\displaystyle S^{-1}\operatorname {Tor} _{i}^{R}(A,B)\cong \operatorname {Tor} _{i}^{S^{-1}R}\left(S^{-1}A,S^{-1}B\right).}$$
• Para un anillo conmutativo R y R -álgebras conmutativas A y B , Tor^R
  _*( A , B ) tiene la estructura de un álgebra conmutativa graduada sobre R . Además, los elementos de grado impar en el álgebra de Tor tienen el cuadrado cero, y hay operaciones de potencia divididas sobre los elementos de grado par positivo. ^[11]

Casos especiales importantes

• La homología de grupo se define por donde G es un grupo, M es una representación de G sobre los números enteros y es el anillo de grupo de G. ${\displaystyle H_{*}(G,M)=\operatorname {Tor} _{*}^{\mathbb {Z} [G]}(\mathbb {Z} ,M),}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [G]}$
• Para un álgebra A sobre un cuerpo k y un A - bimódulo M , la homología de Hochschild se define por $${\displaystyle HH_{*}(A,M)=\operatorname {Tor} _{*}^{A\otimes _{k}A^{\text{op}}}(A,M).}$$
• La homología del álgebra de Lie se define por , donde es un álgebra de Lie sobre un anillo conmutativo R , M es un -módulo y es el álgebra envolvente universal . ${\displaystyle H_{*}({\mathfrak {g}},M)=\operatorname {Tor} _{*}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$
• Para un anillo conmutativo R con un homomorfismo sobre un cuerpo k , es un álgebra de Hopf conmutativa graduada sobre k . ^[12] (Si R es un anillo local noetheriano con cuerpo de residuos k , entonces el álgebra de Hopf dual es Ext ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$ ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$^*
  _R( k , k ).) Como álgebra, es el álgebra de potencia dividida conmutativa graduada libre en un espacio vectorial graduado π _* ( R ). ^[13] Cuando k tiene característica cero, π _* ( R ) puede identificarse con la homología de André-Quillen D _* ( k / R , k ). ^[14] ${\displaystyle \operatorname {Tor} _{*}^{R}(k,k)}$

Véase también

• Morfismo plano
• Fórmula de intersección de Serre
• Producto tensorial derivado
• Secuencia espectral de Eilenberg-Moore

Notas

1. Weibel (1999).
2. Cartan y Eilenberg (1956), sección VI.1.
3. Weibel (1994), sección 2.4 y Teorema 2.7.2.
4. Weibel (1994), Capítulos 2 y 3.
5. Weibel (1994), Lema 3.2.8.
6. Weibel (1994), Definición 2.1.1.
7. Weibel (1994), Observación en la sección 3.1.
8. Weibel (1994), sección 4.5.
9. Weibel (1994), Corolario 2.6.17.
10. Weibel (1994), Corolario 3.2.10.
11. Avramov y Halperin (1986), sección 2.16; Proyecto Stacks, etiqueta 09PQ.
12. Avramov y Halperin (1986), sección 4.7.
13. Gulliksen y Levin (1969), Teorema 2.3.5; Sjödin (1980), Teorema 1.
14. Quillen (1970), sección 7.

Referencias

• Avramov, Luchezar ; Halperin, Stephen (1986), "A través del espejo: un diccionario entre la teoría de la homotopía racional y el álgebra local", en J.-E. Roos (ed.), Álgebra, topología algebraica y sus interacciones (Estocolmo, 1983) , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1183, Springer Nature , págs. 1–27, doi :10.1007/BFb0075446, ISBN 978-3-540-16453-1, Sr.  0846435
• Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1999) [1956], Álgebra homológica , Princeton: Princeton University Press , ISBN 0-691-04991-2, Sr.  0077480
• Čech, Eduard (1935), "Les groupes de Betti d'un complexe infini" (PDF) , Fundamenta Mathematicae , 25 : 33–44, doi : 10.4064/fm-25-1-33-44 , JFM  61.0609.02
• Gulliksen, Tor; Levin, Gerson (1969), Homología de anillos locales , Queen's Papers in Pure and Applied Mathematics, vol. 20, Queen's University, MR  0262227
• Quillen, Daniel (1970), "Sobre la (co-)homología de los anillos conmutativos", Aplicaciones del álgebra categórica , Proc. Symp. Pure Mat., vol. 17, American Mathematical Society , págs. 65–87, MR  0257068
• Sjödin, Gunnar (1980), "Álgebras y derivaciones de Hopf", Journal of Algebra , 64 : 218–229, doi : 10.1016/0021-8693(80)90143-X , MR  0575792
• Weibel, Charles A. (1994). Introducción al álgebra homológica . Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Vol. 38. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. Sr.  1269324. OCLC  36131259.
• Weibel, Charles (1999), "Historia del álgebra homológica", Historia de la topología (PDF) , Ámsterdam: Holanda Septentrional, págs. 797–836, MR  1721123

Enlaces externos

• Autores del Proyecto Stacks, Proyecto Stacks