Teorema del coeficiente universal

Establecer relaciones entre las teorías de homología y cohomología.

En topología algebraica , los teoremas de coeficientes universales establecen relaciones entre grupos de homología (o grupos de cohomología ) con coeficientes diferentes. Por ejemplo, para cada espacio topológico X , sus grupos de homología integrales :

Hola ( X ; Z )_​

determinar completamente sus grupos de homología con coeficientes en A , para cualquier grupo abeliano A :

Hola ( X ; A )_​

Aquí H _i podría ser la homología simplicial o, de manera más general, la homología singular . La prueba habitual de este resultado es una pieza pura de álgebra homológica sobre complejos de cadena de grupos abelianos libres . La forma del resultado es que se pueden usar otros coeficientes A , a costa de usar un funtor Tor .

Por ejemplo, es común tomar A como Z /2 Z , de modo que los coeficientes sean módulo 2. Esto se vuelve sencillo en ausencia de 2- torsión en la homología. De manera bastante general, el resultado indica la relación que se mantiene entre los números de Betti b _i de X y los números de Betti b _{i , F} con coeficientes en un cuerpo F . Estos pueden diferir, pero solo cuando la característica de F es un número primo p para el cual hay alguna p -torsión en la homología.

Exposición del caso de homología

Consideremos el producto tensorial de módulos H _i ( X ; Z ) ⊗ A . El teorema establece que existe una secuencia exacta corta que involucra al functor Tor

${\displaystyle 0\to H_{i}(X;\mathbf {Z} )\otimes A\,{\overset {\mu }{\to }}\,H_{i}(X;A)\to \operatorname {Tor} _{1}(H_{i-1}(X;\mathbf {Z} ),A)\to 0.}$

Además, esta secuencia se divide , aunque no de forma natural. Aquí μ es la función inducida por la función bilineal H _i ​​( X ; Z ) × A → H _i ( X ; A ) .

Si el anillo de coeficientes A es Z / p Z , este es un caso especial de la secuencia espectral de Bockstein .

Teorema del coeficiente universal para cohomología

Sea G un módulo sobre un dominio ideal principal R (por ejemplo, Z o un cuerpo).

También existe un teorema de coeficiente universal para la cohomología que involucra al funtor Ext , que afirma que existe una secuencia exacta corta natural

${\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{R}^{1}(H_{i-1}(X;R),G)\to H^{i}(X;G)\,{\overset {h}{\to }}\,\operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X;R),G)\to 0.}$

Al igual que en el caso de la homología, la secuencia se divide, aunque no de forma natural.

De hecho, supongamos

${\displaystyle H_{i}(X;G)=\ker \partial _{i}\otimes G/\operatorname {im} \partial _{i+1}\otimes G}$

y definir:

${\displaystyle H^{*}(X;G)=\ker(\operatorname {Hom} (\partial ,G))/\operatorname {im} (\operatorname {Hom} (\partial ,G)).}$

Entonces h arriba es el mapa canónico:

${\displaystyle h([f])([x])=f(x).}$

Un punto de vista alternativo puede basarse en la representación de la cohomología a través del espacio de Eilenberg–MacLane , donde la función h toma una clase de homotopía de funciones de X a K ( G , i ) al homomorfismo correspondiente inducido en la homología. Por lo tanto, el espacio de Eilenberg–MacLane es un adjunto derecho débil del funtor de homología . ^[1]

Ejemplo: cohomología mod 2 del espacio proyectivo real

Sea X = P ⁿ ( R ) , el espacio proyectivo real . Calculamos la cohomología singular de X con coeficientes en G = Z /2 Z utilizando la homología integral, es decir R = Z .

Sabiendo que la homología de números enteros viene dada por:

${\displaystyle H_{i}(X;\mathbf {Z} )={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\text{ or }}i=n{\text{ odd,}}\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{odd,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Tenemos Ext( G , G ) = G , Ext( R , G ) = 0 , de modo que las secuencias exactas anteriores dan

${\displaystyle \forall i=0,\ldots ,n:\qquad \ H^{i}(X;G)=G.}$

De hecho, la estructura total del anillo de cohomología es

${\displaystyle H^{*}(X;G)=G[w]/\left\langle w^{n+1}\right\rangle .}$

Corolarios

Un caso especial del teorema es el cálculo de la cohomología integral. Para un complejo CW finito X , H _i ( X ; Z ) se genera de manera finita, por lo que tenemos la siguiente descomposición .

${\displaystyle H_{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i},}$

donde β _i ( X ) son los números de Betti de X y es la parte de torsión de . Se puede comprobar que ${\displaystyle T_{i}}$ ${\displaystyle H_{i}}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} (H_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Hom} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Hom} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},}$

y

${\displaystyle \operatorname {Ext} (H_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Ext} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Ext} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong T_{i}.}$

Esto da la siguiente afirmación para la cohomología integral:

${\displaystyle H^{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i-1}.}$

Para X una variedad n orientable , cerrada y conexa , este corolario acoplado con la dualidad de Poincaré da como resultado que β _i ( X ) = β _{n − i} ( X ) .

Secuencia espectral de coeficiente universal

Existe una generalización del teorema del coeficiente universal para la (co)homología con coeficientes trenzados .

Para la cohomología tenemos

${\displaystyle E_{2}^{p,q}=Ext_{R}^{q}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H^{p+q}(C_{*};G)}$

Donde es un anillo con unidad, es un complejo en cadena de módulos libres sobre , es cualquier -bimódulo para algún anillo con una unidad , es el grupo Ext . La diferencial tiene grado . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle C_{*}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (R,S)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle Ext}$ ${\displaystyle d^{r}}$ ${\displaystyle (1-r,r)}$

Lo mismo ocurre con la homología.

${\displaystyle E_{p,q}^{2}=Tor_{q}^{R}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H_{*}(C_{*};G)}$

para Tor el grupo Tor y la diferencial de grado . ${\displaystyle d_{r}}$ ${\displaystyle (r-1,-r)}$

Notas

1. (Kainen 1971)

Referencias

• Allen Hatcher , Topología algebraica , Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN  0-521-79540-0 . Una introducción moderna y con tintes geométricos a la topología algebraica. El libro está disponible de forma gratuita en formato PDF y PostScript en la página de inicio del autor.
• Kainen, ordenador personal (1971). "Funtores adjuntos débiles". Mathematische Zeitschrift . 122 : 1–9. doi :10.1007/bf01113560. S2CID  122894881.
• Jerome Levine . “Módulos de nudos. I.” Transactions of the American Mathematical Society 229 (1977): 1–50. https://doi.org/10.2307/1998498

Enlaces externos

• Teorema del coeficiente universal con coeficientes de anillo