Sir Michael Francis Atiyah OM FRS FRSE FMedSci FAA HonFREng [4] ( / ə ˈ t iː ə / ; 22 de abril de 1929 - 11 de enero de 2019) fue un matemático británico-libanés especializado en geometría . [5] Sus contribuciones incluyen el teorema del índice Atiyah-Singer y la teoría K topológica cofundadora . Fue galardonado con la Medalla Fields en 1966 y el Premio Abel en 2004.
Atiyah nació el 22 de abril de 1929 en Hampstead , Londres , Inglaterra, hijo de Jean (de soltera Levens) y Edward Atiyah . [6] Su madre era escocesa y su padre era un cristiano ortodoxo libanés . Tenía dos hermanos, Patrick (fallecido) y Joe, y una hermana, Selma (fallecida). [7] Atiyah fue a la escuela primaria en la escuela diocesana de Jartum , Sudán (1934-1941), y a la escuela secundaria en el Victoria College de El Cairo y Alejandría (1941-1945); A la escuela también asistieron la nobleza europea desplazada por la Segunda Guerra Mundial y algunos futuros líderes de las naciones árabes. [8] Regresó a Inglaterra y a la Manchester Grammar School para realizar sus estudios de HSC (1945-1947) e hizo su servicio nacional con los Royal Electrical and Mechanical Engineers (1947-1949). Sus estudios de pregrado y posgrado se llevaron a cabo en Trinity College, Cambridge (1949-1955). [9] Fue estudiante de doctorado de William VD Hodge [2] y obtuvo un doctorado en 1955 por una tesis titulada Algunas aplicaciones de métodos topológicos en geometría algebraica . [1] [2]
Atiyah era miembro de la Asociación Humanista Británica . [10]
Durante su estancia en Cambridge, fue presidente de The Archimedeans . [11]
Atiyah pasó el año académico 1955-1956 en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton , luego regresó a la Universidad de Cambridge , donde fue investigador y profesor asistente (1957-1958), luego profesor universitario y tutor en Pembroke College, Cambridge. (1958-1961). En 1961, se trasladó a la Universidad de Oxford , donde fue lector y profesor asociado en St Catherine's College (1961-1963). [9] Se convirtió en profesor Savilian de Geometría y miembro profesor del New College, Oxford , de 1963 a 1969. Asumió una cátedra de tres años en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton , después de lo cual regresó a Oxford como miembro de la Royal Society. Profesor investigador y profesor asociado del St Catherine's College. Fue presidente de la Sociedad Matemática de Londres de 1974 a 1976. [9]
Comencé cambiando la moneda local a moneda extranjera en todos los lugares a los que viajaba cuando era niño y terminé ganando dinero. Fue entonces cuando mi padre se dio cuenta de que algún día yo sería matemático.
Michael Atiyah [12]
Atiyah fue presidente de las Conferencias Pugwash sobre Ciencia y Asuntos Mundiales de 1997 a 2002. [13] También contribuyó a la fundación del Panel InterAcademy sobre Cuestiones Internacionales , la Asociación de Academias Europeas (ALLEA) y la Sociedad Europea de Matemáticas (EMS). ). [14]
En el Reino Unido, participó en la creación del Instituto Isaac Newton de Ciencias Matemáticas en Cambridge y fue su primer director (1990-1996). Fue Presidente de la Royal Society (1990-1995), Maestro del Trinity College, Cambridge (1990-1997), [13] Canciller de la Universidad de Leicester (1995-2005), [13] y presidente de la Royal Society of Edimburgo (2005-2008). [15] Desde 1997 hasta su muerte en 2019 fue profesor honorario en la Universidad de Edimburgo . Fue administrador de la Fundación James Clerk Maxwell . [dieciséis]
Los colaboradores matemáticos de Atiyah incluyeron a Raoul Bott , Friedrich Hirzebruch [17] e Isadore Singer , y entre sus estudiantes se encontraban Graeme Segal , Nigel Hitchin , Simon Donaldson y Edward Witten . [18] Junto con Hirzebruch, sentó las bases de la teoría K topológica , una herramienta importante en topología algebraica , que, hablando de manera informal, describe formas en que los espacios se pueden torcer. Su resultado más conocido, el teorema del índice de Atiyah-Singer , fue demostrado con Singer en 1963 y se utiliza para contar el número de soluciones independientes de ecuaciones diferenciales . Parte de su trabajo más reciente se inspiró en la física teórica , en particular en los instantones y los monopolos , que son responsables de algunas correcciones en la teoría cuántica de campos . Fue galardonado con la Medalla Fields en 1966 y el Premio Abel en 2004.
Atiyah colaboró con muchos matemáticos. Sus tres colaboraciones principales fueron con Raoul Bott en el teorema del punto fijo de Atiyah-Bott y muchos otros temas, con Isadore M. Singer en el teorema del índice de Atiyah-Singer y con Friedrich Hirzebruch en la teoría K topológica, [19] todas a quien conoció en el Instituto de Estudios Avanzados de Princeton en 1955. [20] Sus otros colaboradores incluyeron; J. Frank Adams ( problema de invariantes de Hopf ), Jürgen Berndt (planos proyectivos), Roger Bielawski (problema de Berry-Robbins), Howard Donnelly ( funciones L ), Vladimir G. Drinfeld (instantons), Johan L. Dupont (singularidades de vectores campos ), Lars Gårding ( ecuaciones diferenciales hiperbólicas ), Nigel J. Hitchin (monopolos), William VD Hodge (integrales de segunda clase), Michael Hopkins ( teoría K ), Lisa Jeffrey (lagrangianos topológicos), John DS Jones (Yang –Teoría de Mills), Juan Maldacena (teoría M), Yuri I. Manin (instantons), Nick S. Manton (Skyrmions), Vijay K. Patodi (asimetría espectral), AN Pressley (convexidad), Elmer Rees (haces de vectores) , Wilfried Schmid (representaciones de series discretas), Graeme Segal ( teoría K equivariante ), Alexander Shapiro [21] (álgebras de Clifford), L. Smith (grupos de homotopía de esferas), Paul Sutcliffe (poliedros), David O. Tall (lambda anillos), John A. Todd ( colectores Stiefel ), Cumrun Vafa (teoría M), Richard S. Ward (instantons) y Edward Witten (teoría M, teorías topológicas de campos cuánticos). [22]
Su investigación posterior sobre las teorías de campos de calibre , particularmente la teoría de Yang-Mills , estimuló importantes interacciones entre la geometría y la física , más notablemente en el trabajo de Edward Witten. [23]
Si abordas un problema matemático directamente, muy a menudo llegas a un callejón sin salida, nada de lo que haces parece funcionar y sientes que si pudieras mirar a la vuelta de la esquina podría haber una solución fácil. No hay nada como tener a otra persona a tu lado, porque normalmente puede mirar desde la esquina.
Michael Atiyah [24]
Los estudiantes de Atiyah incluyeron a Peter Braam 1987, Simon Donaldson 1983, K. David Elworthy 1967, Howard Fegan 1977, Eric Grunwald 1977, Nigel Hitchin 1972, Lisa Jeffrey 1991, Frances Kirwan 1984, Peter Kronheimer 1986, Ruth Lawrence 1989, George Lusztig 1971, Jack Morava 1968, Michael Murray 1983, Peter Newstead 1966, Ian R. Porteous 1961, John Roe 1985, Brian Sanderson 1963, Rolph Schwarzenberger 1960, Graeme Segal 1967, David Tall 1966 y Graham White 1982. [2]
Otros matemáticos contemporáneos que influyeron en Atiyah incluyen a Roger Penrose , Lars Hörmander , Alain Connes y Jean-Michel Bismut . [25] Atiyah dijo que el matemático que más admiraba era Hermann Weyl , [26] y que sus matemáticos favoritos de antes del siglo XX eran Bernhard Riemann y William Rowan Hamilton . [27]
Los siete volúmenes de los artículos recopilados de Atiyah incluyen la mayor parte de su trabajo, excepto su libro de texto de álgebra conmutativa; [28] los primeros cinco volúmenes están divididos temáticamente y el sexto y séptimo ordenados por fecha.
Los primeros artículos de Atiyah sobre geometría algebraica (y algunos artículos generales) se reimprimen en el primer volumen de sus obras completas. [29]
Cuando era estudiante, Atiyah estaba interesado en la geometría proyectiva clásica y escribió su primer artículo: una breve nota sobre cúbicas retorcidas . [30] Comenzó a investigar con WVD Hodge y ganó el premio Smith en 1954 por un enfoque teórico de la gavilla de superficies regladas , [31] lo que animó a Atiyah a continuar con las matemáticas, en lugar de cambiar a sus otros intereses: arquitectura y arqueología. [32] Su tesis doctoral con Hodge trataba sobre un enfoque teórico de la gavilla de la teoría de integrales de segundo tipo de variedades algebraicas de Solomon Lefschetz , y resultó en una invitación para visitar el Instituto de Estudios Avanzados en Princeton durante un año. [33] Mientras estaba en Princeton clasificó los haces de vectores en una curva elíptica (ampliando la clasificación de Alexander Grothendieck de haces de vectores en una curva de género 0), mostrando que cualquier paquete de vectores es una suma de haces de vectores indescomponibles (esencialmente únicos), [ 34] y luego mostrando que el espacio de haces de vectores indescomponibles de determinado grado y dimensión positiva se puede identificar con la curva elíptica. [35] También estudió puntos dobles en superficies, [36] dando el primer ejemplo de un fracaso , una transformación biracional especial de 3 pliegues que más tarde se utilizó mucho en el trabajo de Shigefumi Mori en modelos mínimos para 3 pliegues. [37] El fracaso de Atiyah también se puede utilizar para mostrar que la familia universal marcada de superficies K3 no es Hausdorff . [38]
Los trabajos de Atiyah sobre la teoría K , incluido su libro sobre la teoría K [39] , se reimprimen en el volumen 2 de sus obras completas. [40]
El ejemplo no trivial más simple de un paquete de vectores es la banda de Möbius (en la foto de la derecha): una tira de papel con un giro, que representa un paquete de vectores de rango 1 sobre un círculo (el círculo en cuestión es la línea central de la banda de Möbius). banda). La teoría K es una herramienta para trabajar con análogos de dimensiones superiores de este ejemplo, o en otras palabras, para describir torsiones de dimensiones superiores: los elementos del grupo K de un espacio están representados por haces de vectores sobre él, por lo que la banda de Möbius representa un elemento del grupo K de un círculo. [41]
La teoría K topológica fue descubierta por Atiyah y Friedrich Hirzebruch [42] quienes se inspiraron en la prueba de Grothendieck del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch y el trabajo de Bott sobre el teorema de periodicidad . Este artículo sólo analiza el grupo K cero; poco después lo ampliaron a grupos K de todos los grados, [43] dando el primer ejemplo (no trivial) de una teoría de cohomología generalizada .
Varios resultados mostraron que la teoría K recientemente introducida era en algunos aspectos más poderosa que la teoría de cohomología ordinaria. Atiyah y Todd [44] utilizaron la teoría K para mejorar los límites inferiores encontrados utilizando la cohomología ordinaria por Borel y Serre para el número de James, describiendo cuándo un mapa de una variedad compleja de Stiefel a una esfera tiene una sección transversal. ( Adams y Grant-Walker demostraron más tarde que el límite encontrado por Atiyah y Todd era el mejor posible). Atiyah y Hirzebruch [45] utilizaron la teoría K para explicar algunas relaciones entre las operaciones de Steenrod y las clases de Todd que Hirzebruch había notado unos años antes. La solución original de las operaciones del problema del invariante uno de Hopf por parte de JF Adams fue muy larga y complicada, utilizando operaciones de cohomología secundaria. Atiyah mostró cómo las operaciones primarias en la teoría K podrían usarse para dar una solución corta que toma sólo unas pocas líneas, y en trabajo conjunto con Adams [46] también demostró analogías del resultado en números primos impares.
La secuencia espectral de Atiyah-Hirzebruch relaciona la cohomología ordinaria de un espacio con su teoría de cohomología generalizada. [43] (Atiyah y Hirzebruch utilizaron el caso de la teoría K, pero su método funciona para todas las teorías de cohomología).
Atiyah demostró [47] que para un grupo finito G , la teoría K de su espacio de clasificación , BG , es isomorfa a la finalización de su anillo de caracteres :
El mismo año [48] demostraron el resultado para G cualquier grupo de Lie compacto conectado . Aunque pronto el resultado podría extenderse a todos los grupos compactos de Lie incorporando los resultados de la tesis de Graeme Segal , [49] esa extensión fue complicada. Sin embargo, se produjo una prueba más simple y más general introduciendo la teoría K equivariante , es decir, clases de equivalencia de paquetes de vectores G sobre un espacio G X compacto . [50] Se demostró que, en condiciones adecuadas, la finalización de la teoría K equivariante de X es isomorfa a la teoría K ordinaria de un espacio, que se fijó sobre BG con la fibra X :
El resultado original siguió como corolario al tomar X como un punto: el lado izquierdo se redujo a la finalización de R(G) y el derecho a K(BG) . Consulte el teorema de compleción de Atiyah-Segal para obtener más detalles.
Definió nuevas teorías de homología y cohomología generalizadas llamadas bordismo y cobordismo , y señaló que muchos de los resultados profundos sobre el cobordismo de variedades encontrados por René Thom , CTC Wall y otros podrían reinterpretarse naturalmente como declaraciones sobre estas teorías de cohomología. [51] Algunas de estas teorías de cohomología, en particular el cobordismo complejo, resultaron ser algunas de las teorías de cohomología más poderosas conocidas.
"El álgebra es la oferta que hace el diablo al matemático. El diablo dice: "Te daré esta poderosa máquina, responderá cualquier pregunta que quieras. Todo lo que necesitas hacer es darme tu alma: abandona la geometría y Tendrá esta maravillosa máquina."
Michael Atiyah [52]
Introdujo [53] el grupo J J ( X ) de un complejo finito X , definido como el grupo de clases de equivalencia de homotopía de fibra estable de haces de esferas ; Esto fue posteriormente estudiado en detalle por JF Adams en una serie de artículos, lo que condujo a la conjetura de Adams .
Con Hirzebruch amplió el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch a incrustaciones analíticas complejas, [53] y en un artículo relacionado [54] demostraron que la conjetura de Hodge para la cohomología integral es falsa. La conjetura de Hodge para la cohomología racional es, en 2008, un importante problema sin resolver. [55]
El teorema de periodicidad de Bott fue un tema central en el trabajo de Atiyah sobre la teoría K, y volvió a él repetidamente, reelaborando la demostración varias veces para comprenderla mejor. Con Bott elaboró una demostración elemental [56] y dio otra versión de ella en su libro. [57] Con Bott y Shapiro analizó la relación de la periodicidad de Bott con la periodicidad de las álgebras de Clifford ; [58] aunque este artículo no tenía una prueba del teorema de periodicidad, poco después R. Wood encontró una prueba similar. Encontró una prueba de varias generalizaciones utilizando operadores elípticos ; [59] esta nueva prueba utilizó una idea que utilizó para dar una prueba particularmente breve y sencilla del teorema de periodicidad original de Bott. [60]
El trabajo de Atiyah sobre la teoría de índices se reimprime en los volúmenes 3 y 4 de sus obras completas. [61] [62]
El índice de un operador diferencial está estrechamente relacionado con el número de soluciones independientes (más precisamente, son las diferencias entre el número de soluciones independientes del operador diferencial y su adjunto). Hay muchos problemas difíciles y fundamentales en matemáticas que pueden reducirse fácilmente al problema de encontrar el número de soluciones independientes de algún operador diferencial, de modo que si uno tiene algún medio para encontrar el índice de un operador diferencial, estos problemas a menudo pueden resolverse. Esto es lo que hace el teorema del índice de Atiyah-Singer: proporciona una fórmula para el índice de ciertos operadores diferenciales, en términos de invariantes topológicas que parecen bastante complicadas pero que en la práctica suelen ser sencillas de calcular. [ cita necesaria ]
Varios teoremas profundos, como el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch , son casos especiales del teorema del índice de Atiyah-Singer. De hecho, el teorema del índice dio un resultado más potente, porque su demostración se aplicaba a todas las variedades complejas compactas, mientras que la prueba de Hirzebruch sólo funcionaba para variedades proyectivas. También hubo muchas aplicaciones nuevas: una típica es el cálculo de las dimensiones de los espacios de módulos de instantes. El teorema del índice también se puede ejecutar "al revés": el índice es obviamente un número entero, por lo que la fórmula también debe dar un número entero, lo que a veces proporciona sutiles condiciones de integralidad en invariantes de variedades. Un ejemplo típico de esto es el teorema de Rochlin , que se deriva del teorema del índice. [ cita necesaria ]
El consejo más útil que le daría a un estudiante de matemáticas es siempre que sospeche de un teorema que suene impresionante si no tiene un caso especial que sea a la vez simple y no trivial.
Michael Atiyah [63]
El problema del índice para operadores diferenciales elípticos fue planteado en 1959 por Gel'fand . [64] Se dio cuenta de la invariancia de homotopía del índice y pidió una fórmula para ello mediante invariantes topológicas . Algunos de los ejemplos motivadores incluyeron el teorema de Riemann-Roch y su generalización, el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch y el teorema de la firma de Hirzebruch . Hirzebruch y Borel habían demostrado la integralidad del género  de una variedad de espín, y Atiyah sugirió que esta integralidad podría explicarse si fuera el índice del operador de Dirac (que fue redescubierto por Atiyah y Singer en 1961).
El primer anuncio del teorema de Atiyah-Singer fue su artículo de 1963. [65] La prueba esbozada en este anuncio se inspiró en la prueba de Hirzebruch del teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch y nunca fue publicada por ellos, aunque se describe en el libro de Palais. [66] Su primera prueba publicada [67] fue más similar a la prueba de Grothendieck del teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , reemplazando la teoría del cobordismo de la primera prueba con la teoría K , y utilizaron este enfoque para dar pruebas de varias generalizaciones en una secuencia de artículos de 1968 a 1971.
En lugar de un solo operador elíptico, se puede considerar una familia de operadores elípticos parametrizados por algún espacio Y. En este caso el índice es un elemento de la teoría K de Y , más que un número entero. [68] Si los operadores de la familia son reales, entonces el índice se encuentra en la teoría K real de Y. Esto proporciona un poco de información adicional, ya que la correspondencia entre la teoría K real de Y y la teoría K compleja no siempre es inyectiva. [69]
Con Bott, Atiyah encontró un análogo de la fórmula de punto fijo de Lefschetz para operadores elípticos, dando el número de Lefschetz de un endomorfismo de un complejo elíptico en términos de una suma sobre los puntos fijos del endomorfismo. [70] Como casos especiales, su fórmula incluía la fórmula del carácter de Weyl y varios resultados nuevos sobre curvas elípticas con multiplicación compleja, algunos de los cuales inicialmente no fueron creídos por los expertos. [71] Atiyah y Segal combinaron este teorema del punto fijo con el teorema del índice de la siguiente manera. Si hay una acción de grupo compacto de un grupo G sobre la variedad compacta X , conmutando con el operador elíptico, entonces se puede reemplazar la teoría K ordinaria en el teorema del índice con la teoría K equivariante . Para grupos triviales G esto da el teorema del índice, y para un grupo finito G que actúa con puntos fijos aislados da el teorema del punto fijo de Atiyah-Bott. En general , proporciona el índice como una suma de subvariedades de punto fijo del grupo G. [72]
Atiyah [73] resolvió un problema planteado independientemente por Hörmander y Gel'fand, acerca de si las potencias complejas de funciones analíticas definen distribuciones . Atiyah utilizó la resolución de singularidades de Hironaka para responder afirmativamente. Casi al mismo tiempo, J. Bernstein encontró una solución ingeniosa y elemental , que Atiyah discutió. [74]
Como aplicación del teorema del índice equivariante, Atiyah y Hirzebruch demostraron que las variedades con acciones circulares efectivas tienen género  evanescente . [75] (Lichnerowicz demostró que si una variedad tiene una métrica de curvatura escalar positiva, entonces el género  desaparece).
Con Elmer Rees , Atiyah estudió el problema de la relación entre haces de vectores topológicos y holomorfos en el espacio proyectivo. Resolvieron el caso desconocido más simple, mostrando que todos los paquetes de vectores de rango 2 sobre el espacio 3 proyectivo tienen una estructura holomorfa. [76] Horrocks había encontrado previamente algunos ejemplos no triviales de tales paquetes de vectores, que más tarde fueron utilizados por Atiyah en su estudio de instantones en las 4 esferas.
Atiyah, Bott y Vijay K. Patodi [77] dieron una nueva prueba del teorema del índice utilizando la ecuación del calor .
Si se permite que la variedad tenga límite, entonces se deben imponer algunas restricciones al dominio del operador elíptico para garantizar un índice finito. Estas condiciones pueden ser locales (como exigir que las secciones del dominio desaparezcan en el límite) o condiciones globales más complicadas (como exigir que las secciones del dominio resuelvan alguna ecuación diferencial). Atiyah y Bott resolvieron el caso local, pero demostraron que muchos operadores interesantes (por ejemplo, el operador de firma ) no admiten condiciones de contorno locales. Para manejar estos operadores, Atiyah, Patodi y Singer introdujeron condiciones de contorno globales equivalentes a unir un cilindro al colector a lo largo del límite y luego restringir el dominio a aquellas secciones que son integrables en forma cuadrada a lo largo del cilindro, y también introdujeron el Atiyah-Patodi-Singer. eta invariante . Esto dio lugar a una serie de artículos sobre la asimetría espectral, [78] que más tarde se utilizaron inesperadamente en la física teórica , en particular en el trabajo de Witten sobre anomalías.
Las soluciones fundamentales de ecuaciones diferenciales parciales hiperbólicas lineales a menudo tienen lagunas de Petrovsky : regiones donde desaparecen de manera idéntica. Éstas fueron estudiadas en 1945 por IG Petrovsky , quien encontró condiciones topológicas que describían qué regiones eran lagunas. En colaboración con Bott y Lars Gårding , Atiyah escribió tres artículos actualizando y generalizando el trabajo de Petrovsky. [79]
Atiyah [80] mostró cómo extender el teorema del índice a algunas variedades no compactas, actuadas por un grupo discreto con cociente compacto. El núcleo del operador elíptico es en general de dimensión infinita en este caso, pero es posible obtener un índice finito utilizando la dimensión de un módulo sobre un álgebra de von Neumann ; En general, este índice tiene un valor real y no un valor entero. Esta versión se denomina teorema del índice L 2 y fue utilizada por Atiyah y Schmid [81] para dar una construcción geométrica, utilizando espinores armónicos integrables cuadrados, de las representaciones en series discretas de grupos de Lie semisimples de Harish-Chandra . En el transcurso de este trabajo encontraron una prueba más elemental del teorema fundamental de Harish-Chandra sobre la integrabilidad local de los caracteres de los grupos de Lie. [82]
Con H. Donnelly e I. Singer, amplió la fórmula de Hirzebruch (que relaciona el defecto característico en las cúspides de las superficies modulares de Hilbert con los valores de las funciones L) de campos cuadráticos reales a todos los campos totalmente reales. [83]
Muchos de sus artículos sobre teoría de calibre y temas relacionados se reimprimen en el volumen 5 de sus obras completas. [84] Un tema común de estos artículos es el estudio de espacios de módulos de soluciones a ciertas ecuaciones diferenciales parciales no lineales , en particular las ecuaciones para instantones y monopolos. Esto a menudo implica encontrar una correspondencia sutil entre las soluciones de dos ecuaciones aparentemente bastante diferentes. Un ejemplo temprano de esto que Atiyah usó repetidamente es la transformada de Penrose , que a veces puede convertir soluciones de una ecuación no lineal sobre alguna variedad real en soluciones de algunas ecuaciones holomorfas lineales sobre una variedad compleja diferente.
En una serie de artículos con varios autores, Atiyah clasificó todos los instantones en el espacio euclidiano de 4 dimensiones. Es más conveniente clasificar instantenes en una esfera ya que ésta es compacta, y esto es esencialmente equivalente a clasificar instantenes en el espacio euclidiano, ya que es conformemente equivalente a una esfera y las ecuaciones para instantenes son conformemente invariantes. Con Hitchin y Singer [85] calculó la dimensión del espacio de módulos de conexiones autoduales irreducibles (instantons) para cualquier paquete principal sobre una variedad riemanniana compacta de 4 dimensiones (el teorema de Atiyah-Hitchin-Singer ). Por ejemplo, la dimensión del espacio de SU 2 instantenes de rango k >0 es 8 k −3. Para ello utilizaron el teorema del índice de Atiyah-Singer para calcular la dimensión del espacio tangente del espacio de módulos en un punto; El espacio tangente es esencialmente el espacio de soluciones de un operador diferencial elíptico, dado por la linealización de las ecuaciones no lineales de Yang-Mills. Estos espacios de módulos fueron utilizados más tarde por Donaldson para construir sus invariantes de 4 variedades . Atiyah y Ward utilizaron la correspondencia de Penrose para reducir la clasificación de todos los instantones en las 4 esferas a un problema de geometría algebraica. [86] Con Hitchin utilizó ideas de Horrocks para resolver este problema, dando la construcción ADHM de todos los instantones en una esfera; Manin y Drinfeld encontraron la misma construcción al mismo tiempo, lo que llevó a un artículo conjunto de los cuatro autores. [87] Atiyah reformuló esta construcción utilizando cuaterniones y escribió un relato pausado de esta clasificación de instantones en el espacio euclidiano en forma de libro. [88]
Los problemas matemáticos que se han resuelto o las técnicas que han surgido de la física en el pasado han sido el alma de las matemáticas.
Michael Atiyah [89]
El trabajo de Atiyah sobre espacios de módulos instantáneos se utilizó en el trabajo de Donaldson sobre la teoría de Donaldson . Donaldson demostró que el espacio de módulos de instantones (grado 1) sobre una variedad 4 compacta simplemente conectada con forma de intersección definida positiva se puede compactar para dar un cobordismo entre la variedad y una suma de copias del espacio proyectivo complejo. Dedujo de esto que la forma de intersección debe ser una suma de unidimensionales, lo que llevó a varias aplicaciones espectaculares para suavizar 4 variedades, como la existencia de estructuras suaves no equivalentes en el espacio euclidiano de 4 dimensiones. Donaldson pasó a utilizar los otros espacios de módulos estudiados por Atiyah para definir las invariantes de Donaldson , lo que revolucionó el estudio de las 4 variedades suaves y demostró que eran más sutiles que las variedades suaves en cualquier otra dimensión, y también bastante diferentes de las 4 variedades topológicas. colectores. Atiyah describió algunos de estos resultados en una charla sobre una encuesta. [90]
Las funciones de Green para ecuaciones diferenciales parciales lineales a menudo se pueden encontrar usando la transformada de Fourier para convertir esto en un problema algebraico. Atiyah utilizó una versión no lineal de esta idea. [91] Utilizó la transformada de Penrose para convertir la función de Green para el laplaciano conformalmente invariante en un objeto analítico complejo, que resultó ser esencialmente la incrustación diagonal del espacio twistor de Penrose en su cuadrado. Esto le permitió encontrar una fórmula explícita para la función de Green conformemente invariante en una variedad 4.
En su artículo con Jones, [92] estudió la topología del espacio de módulos de instantenes SU(2) sobre una 4 esferas. Demostraron que el mapa natural desde este espacio de módulos al espacio de todas las conexiones induce epimorfismos de grupos de homología en un cierto rango de dimensiones, y sugirieron que podría inducir isomorfismos de grupos de homología en el mismo rango de dimensiones. Esto se conoció como la conjetura de Atiyah-Jones y posteriormente fue demostrada por varios matemáticos. [93]
Harder y MS Narasimhan describieron la cohomología de los espacios de módulos de haces de vectores estables sobre superficies de Riemann contando el número de puntos de los espacios de módulos sobre campos finitos y luego usando las conjeturas de Weil para recuperar la cohomología sobre los números complejos. [94] Atiyah y R. Bott utilizaron la teoría de Morse y las ecuaciones de Yang-Mills sobre una superficie de Riemann para reproducir y ampliar los resultados de Harder y Narasimhan. [95]
Un antiguo resultado debido a Schur y Horn establece que el conjunto de posibles vectores diagonales de una matriz hermitiana con valores propios dados es la cáscara convexa de todas las permutaciones de los valores propios. Atiyah demostró una generalización de esto que se aplica a todas las variedades simplécticas compactas sobre las que actúa un toro, mostrando que la imagen de la variedad bajo el mapa de momentos es un poliedro convexo, [96] y con Pressley dio una generalización relacionada con el bucle de dimensión infinita. grupos. [97]
Duistermaat y Heckman encontraron una fórmula sorprendente, diciendo que el avance de la medida de Liouville de un mapa de momentos para una acción de toro viene dado exactamente por la aproximación de la fase estacionaria (que en general es solo una expansión asintótica en lugar de exacta). Atiyah y Bott [98] demostraron que esto podría deducirse de una fórmula más general en cohomología equivariante , que era consecuencia de teoremas de localización bien conocidos . Atiyah demostró [99] que el mapa de momentos estaba estrechamente relacionado con la teoría invariante geométrica , y esta idea fue desarrollada mucho más tarde por su alumno F. Kirwan . Witten poco después aplicó la fórmula de Duistermaat-Heckman a espacios de bucle y demostró que esto daba formalmente el teorema del índice de Atiyah-Singer para el operador de Dirac; Atiyah dio una conferencia sobre esta idea. [100]
Con Hitchin trabajó en monopolos magnéticos y estudió su dispersión utilizando una idea de Nick Manton . [101] Su libro [102] con Hitchin ofrece una descripción detallada de su trabajo sobre monopolos magnéticos . El tema principal del libro es el estudio de un espacio de módulos de monopolos magnéticos ; esto tiene una métrica riemanniana natural, y un punto clave es que esta métrica es completa e hiperkähler . Luego, la métrica se utiliza para estudiar la dispersión de dos monopolos, utilizando una sugerencia de N. Manton de que el flujo geodésico en el espacio de módulos es la aproximación de baja energía a la dispersión. Por ejemplo, muestran que una colisión frontal entre dos monopolos produce una dispersión de 90 grados, y la dirección de la dispersión depende de las fases relativas de los dos monopolos. También estudió los monopolos en el espacio hiperbólico. [103]
Atiyah demostró [104] que los instantones en 4 dimensiones se pueden identificar con los instantones en 2 dimensiones, que son mucho más fáciles de manejar. Por supuesto, hay un problema: al pasar de 4 a 2 dimensiones, el grupo estructural de la teoría de calibre cambia de un grupo de dimensión finita a un grupo de bucles de dimensión infinita. Esto da otro ejemplo en el que los espacios de módulos de soluciones de dos ecuaciones diferenciales parciales no lineales aparentemente no relacionadas resultan ser esencialmente los mismos.
Atiyah y Singer descubrieron que las anomalías en la teoría cuántica de campos podían interpretarse en términos de la teoría del índice del operador de Dirac; [105] Esta idea más tarde fue ampliamente utilizada por los físicos.
Muchos de los artículos del sexto volumen [106] de sus obras completas son estudios, obituarios y charlas generales. Atiyah continuó publicando posteriormente, incluidas varias encuestas, un libro popular [107] y otro artículo con Segal sobre la teoría K retorcida .
Un artículo [108] es un estudio detallado de la función eta de Dedekind desde el punto de vista de la topología y el teorema del índice.
Varios de sus artículos de esta época estudian las conexiones entre la teoría cuántica de campos , los nudos y la teoría de Donaldson . Introdujo el concepto de teoría cuántica de campos topológica , inspirada en el trabajo de Witten y la definición de Segal de una teoría de campos conforme. [109] Su libro "La geometría y la física de los nudos" [110] describe los nuevos invariantes de nudos encontrados por Vaughan Jones y Edward Witten en términos de teorías topológicas de campos cuánticos, y su artículo con L. Jeffrey [111] explica la interpretación lagrangiana de Witten. las invariantes de Donaldson .
Estudió skyrmions con Nick Manton, [112] encontrando una relación con monopolos magnéticos e instantones , y dando una conjetura para la estructura del espacio de módulos de dos skyrmions como un cierto subcociente del 3-espacio proyectivo complejo .
Varios artículos [113] se inspiraron en una pregunta de Jonathan Robbins (llamada problema de Berry-Robbins ), quien preguntó si existe un mapa desde el espacio de configuración de n puntos en 3 espacios hasta la variedad de banderas del grupo unitario. Atiyah dio una respuesta afirmativa a esta pregunta, pero consideró que su solución era demasiado computacional y estudió una conjetura que daría una solución más natural. También relacionó la pregunta con la ecuación de Nahm e introdujo la conjetura de Atiyah sobre las configuraciones .
Pero para la mayoría de los fines prácticos, sólo se utilizan los grupos clásicos. Los grupos de Lie excepcionales están ahí sólo para mostrarle que la teoría es un poco más amplia; es bastante raro que alguna vez aparezcan.
Michael Atiyah [114]
Con Juan Maldacena y Cumrun Vafa , [115] y E. Witten [116] describió la dinámica de la teoría M en variedades con holonomía G 2 . Estos artículos parecen ser la primera vez que Atiyah trabaja en grupos de Lie excepcionales.
En sus artículos con M. Hopkins [117] y G. Segal [118] volvió a su interés anterior por la teoría K, describiendo algunas formas retorcidas de la teoría K con aplicaciones en la física teórica .
En octubre de 2016, afirmó [119] una breve prueba de la inexistencia de estructuras complejas en la sexta esfera. Su prueba, como muchas predecesoras, es considerada defectuosa por la comunidad matemática, incluso después de que la prueba fue reescrita en una forma revisada. [120] [121]
En el Foro Laureate de Heidelberg de 2018 , afirmó haber resuelto la hipótesis de Riemann , el octavo problema de Hilbert , por contradicción utilizando la constante de estructura fina . Una vez más, la prueba no se mantuvo y la hipótesis sigue siendo uno de los seis problemas sin resolver del Premio del Milenio en matemáticas, a partir de 2024. [122] [123]
Esta subsección enumera todos los libros escritos por Atiyah; omite algunos libros que editó.
En 1966, cuando tenía treinta y siete años, recibió la Medalla Fields , [124] por su trabajo en el desarrollo de la teoría K, un teorema generalizado del punto fijo de Lefschetz y el teorema de Atiyah-Singer, por el que también ganó el Premio Abel junto con Isadore Singer en 2004. [125] Entre otros premios que ha recibido se encuentran la Medalla Real de la Royal Society en 1968, [126] la Medalla De Morgan de la London Mathematical Society en 1980, el Premio Antonio Feltrinelli de la Accademia Nazionale dei Lincei en 1981, el Premio Internacional de Ciencias Rey Faisal en 1987, [127] la Medalla Copley de la Royal Society en 1988, [128] la Medalla Benjamin Franklin por logros distinguidos en las ciencias de la Sociedad Filosófica Americana en 1993, [129] la Medalla del Centenario del Nacimiento de Jawaharlal Nehru de la Academia Nacional de Ciencias de la India en 1993, [130] la Medalla del Presidente del Instituto de Física en 2008, [131] la Grande Médaille de la Academia Francesa de Ciencias en 2010 [132 ] y Gran Oficial de la Legión de Honor francesa en 2011. [133]
Fue elegido miembro extranjero de la Academia Nacional de Ciencias , la Academia Americana de Artes y Ciencias (1969), [134] la Académie des Sciences , la Akademie Leopoldina , la Real Academia Sueca , la Real Academia Irlandesa , la Real Sociedad de Edimburgo , la Sociedad Filosófica Americana , la Academia Nacional de Ciencias de la India , la Academia de Ciencias de China , la Academia de Ciencias de Australia , la Academia de Ciencias de Rusia , la Academia de Ciencias de Ucrania , la Academia de Ciencias de Georgia , la Academia de Ciencias de Venezuela, la Academia Noruega de Ciencias y Letras , la Real Academia Española de Ciencias , la Accademia dei Lincei y la Sociedad Matemática de Moscú . [9] [13] En 2012, se convirtió en miembro de la Sociedad Matemática Estadounidense . [135] También fue nombrado miembro honorario [4] de la Real Academia de Ingeniería [4] en 1993.
Atiyah recibió títulos honoríficos de las universidades de Birmingham, Bonn, Chicago, Cambridge, Dublín, Durham, Edimburgo, Essex, Gante, Helsinki, Líbano, Leicester, Londres, México, Montreal, Oxford, Reading, Salamanca, St. Andrews, Sussex. , Gales, Warwick, Universidad Americana de Beirut, Universidad Brown, Universidad Charles de Praga, Universidad Harvard, Universidad Heriot-Watt, Hong Kong (Universidad China), Universidad Keele, Universidad Queen's (Canadá), Universidad Abierta, Universidad de Waterloo , Universidad Wilfrid Laurier, Universidad Politécnica de Cataluña y UMIST. [9] [13] [136] [137]
Atiyah fue nombrado Caballero Soltero en 1983 [9] y miembro de la Orden del Mérito en 1992. [13]
El edificio Michael Atiyah [138] de la Universidad de Leicester y la Cátedra Michael Atiyah de Ciencias Matemáticas [139] de la Universidad Americana de Beirut recibieron su nombre.
Atiyah se casó con Lily Brown el 30 de julio de 1955, con quien tuvo tres hijos, John, David y Robin. El hijo mayor de Atiyah, John, murió el 24 de junio de 2002 mientras estaba de vacaciones en los Pirineos con su esposa Maj-Lis.
Lily Atiyah murió el 13 de marzo de 2018 a la edad de 90 años [5] [7] [9] mientras que Sir Michael Atiyah murió menos de un año después, el 11 de enero de 2019, a la edad de 89 años . [140] [141]
