Operador de firma

En matemáticas , el operador de signatura es un operador diferencial elíptico definido en un cierto subespacio del espacio de formas diferenciales en una variedad riemanniana compacta de dimensión par , cuyo índice analítico es el mismo que la signatura topológica de la variedad si la dimensión de la variedad es múltiplo de cuatro. ^[1] Es una instancia de un operador de tipo Dirac.

Definición en el caso de dimensión par

Sea una variedad riemanniana compacta de dimensión par . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle 2l}$

${\displaystyle d:\Omega ^{p}(M)\rightarrow \Omega ^{p+1}(M)}$

sea ​​la derivada exterior en las formas diferenciales de orden -ésimo en . La métrica de Riemann en nos permite definir el operador de estrella de Hodge y con él el producto interno ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \star }$

${\displaystyle \langle \omega ,\eta \rangle =\int _{M}\omega \wedge \star \eta }$

sobre formas. Denotar por

${\displaystyle d^{*}:\Omega ^{p+1}(M)\rightarrow \Omega ^{p}(M)}$

el operador adjunto de la diferencial exterior . Este operador puede expresarse puramente en términos del operador de estrella de Hodge de la siguiente manera: ${\displaystyle d}$

${\displaystyle d^{*}=(-1)^{2l(p+1)+2l+1}\star d\star =-\star d\star }$

Ahora considere actuar sobre el espacio de todas las formas . Una forma de considerar esto como un operador graduado es la siguiente: Sea una involución en el espacio de todas las formas definida por: ${\displaystyle d+d^{*}}$ ${\displaystyle \Omega (M)=\bigoplus _{p=0}^{2l}\Omega ^{p}(M)}$ ${\displaystyle \tau }$

${\displaystyle \tau (\omega )=i^{p(p-1)+l}\star \omega \quad ,\quad \omega \in \Omega ^{p}(M)}$

Se verifica que anticonmuta con y, en consecuencia, conmuta los espacios propios - de ${\displaystyle d+d^{*}}$ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle (\pm 1)}$ ${\displaystyle \Omega _{\pm }(M)}$ ${\displaystyle \tau }$

Como consecuencia,

${\displaystyle d+d^{*}={\begin{pmatrix}0&D\\D^{*}&0\end{pmatrix}}}$

Definición: El operador con la gradación anterior respectivamente el operador anterior se llama operador de firma de . ^[2] ${\displaystyle d+d^{*}}$ ${\displaystyle D:\Omega _{+}(M)\rightarrow \Omega _{-}(M)}$ ${\displaystyle M}$

Definición en el caso de dimensión impar

En el caso de dimensión impar, se define el operador de firma para que actúe sobre las formas de dimensión par de . ${\displaystyle i(d+d^{*})\tau }$ ${\displaystyle M}$

Teorema de la firma de Hirzebruch

Si , de modo que la dimensión de es múltiplo de cuatro, entonces la teoría de Hodge implica que: ${\displaystyle l=2k}$ ${\displaystyle M}$

${\displaystyle \mathrm {index} (D)=\mathrm {sign} (M)}$

donde el lado derecho es la firma topológica ( es decir, la firma de una forma cuadrática definida por el producto de copa ). ${\displaystyle H^{2k}(M)\ }$

El enfoque de la ecuación de calor para el teorema del índice de Atiyah-Singer se puede utilizar para demostrar que:

${\displaystyle \mathrm {sign} (M)=\int _{M}L(p_{1},\ldots ,p_{l})}$

donde es el L-polinomio de Hirzebruch , ^[3] y las formas de Pontrjagin en . ^[4] ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle p_{i}\ }$ ${\displaystyle M}$

Invariancia de homotopía de los índices superiores

Kaminker y Miller demostraron que los índices superiores del operador de firma son invariantes en homotopía. ^[5]

Véase también

• Teorema de la firma de Hirzebruch
• Clase Pontryagin
• Friedrich Hirzebruch
• Michael Atiyah
• Isadore cantante

Notas

1. Atiyah y Bott 1967
2. Atiyah y Bott 1967
3. Hirzebruch 1995
4. Gilkey 1973, Atiyah, Bott y Patodi 1973
5. Kaminker y Miller 1985

Referencias

• Atiyah, MF; Bott, R. (1967), "Una fórmula de punto fijo de Lefschetz para complejos elípticos I", Anales de Matemáticas , 86 (2): 374–407, doi :10.2307/1970694, JSTOR  1970694
• Atiyah, MF; Bott, R.; Patodi, VK (1973), "Sobre la ecuación del calor y el teorema del índice", Inventiones Mathematicae , 19 (4): 279–330, Bibcode :1973InMat..19..279A, doi :10.1007/bf01425417, S2CID  115700319
• Gilkey, PB (1973), "Curvatura y valores propios del laplaciano para complejos elípticos", Advances in Mathematics , 10 (3): 344–382, doi : 10.1016/0001-8708(73)90119-9
• Hirzebruch, Friedrich (1995), Métodos topológicos en geometría algebraica, 4.ª edición , Berlín y Heidelberg: Springer-Verlag. Pp. 234, ISBN 978-3-540-58663-0
• Kaminker, Jerome; Miller, John G. (1985), "Invariancia de homotopía del índice analítico de operadores de signatura sobre álgebras C*" (PDF) , Journal of Operator Theory , 14 : 113–127