Grupo compacto

Grupo topológico con topología compacta

El círculo de centro 0 y radio 1 en el plano complejo es un grupo de Lie compacto con multiplicación compleja.

En matemáticas , un grupo compacto ( topológico ) es un grupo topológico cuya topología lo realiza como un espacio topológico compacto (cuando se opera sobre un elemento del grupo, el resultado también está dentro del grupo). Los grupos compactos son una generalización natural de los grupos finitos con la topología discreta y tienen propiedades que se trasladan de manera significativa. Los grupos compactos tienen una teoría bien entendida, en relación con las acciones grupales y la teoría de la representación .

En lo que sigue asumiremos que todos los grupos son espacios de Hausdorff .

Grupos de Lie compactos

Los grupos de Lie forman una clase de grupos topológicos y los grupos de Lie compactos tienen una teoría particularmente bien desarrollada. Ejemplos básicos de grupos de Lie compactos incluyen ^[1]

• el grupo circular T y los grupos toroidales T ⁿ ,
• el grupo ortogonal O( n ), el grupo ortogonal especial SO( n ) y su grupo de espín envolvente Spin( n ),
• el grupo unitario U( n ) y el grupo unitario especial SU( n ),
• las formas compactas de los grupos de Lie excepcionales : G 2 , F 4 , E 6 , E 7 y E 8 .

El teorema de clasificación de los grupos de Lie compactos establece que hasta extensiones finitas y coberturas finitas , esto agota la lista de ejemplos (que ya incluye algunas redundancias). Esta clasificación se describe con más detalle en la siguiente subsección.

Clasificación

Dado cualquier grupo de Lie compacto G se puede tomar su componente identidad G ₀ , que es conexo . El grupo cociente G / G ₀ es el grupo de componentes π ₀ ( G ) que debe ser finito ya que G es compacto. Por lo tanto tenemos una extensión finita

${\displaystyle 1\to G_{0}\to G\to \pi _{0}(G)\to 1.}$

Mientras tanto, para grupos de Lie compactos conexos, tenemos el siguiente resultado: ^[2]

Teorema : Todo grupo de Lie compacto conexo es el cociente por un subgrupo central finito de un producto de un grupo de Lie compacto simplemente conexo y un toro.

De este modo, la clasificación de los grupos de Lie compactos conexos puede, en principio, reducirse al conocimiento de los grupos de Lie compactos simplemente conexos junto con información sobre sus centros. (Para obtener información sobre el centro, consulte la sección siguiente sobre grupo fundamental y centro).

Finalmente, cada grupo de Lie compacto, conexo y simplemente conexo K es un producto de un número finito de grupos de Lie simples compactos, conexos y simplemente conexos K _{i ,} cada uno de los cuales es isomorfo a exactamente uno de los siguientes:

• El grupo simpléctico compacto ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n),\,n\geq 1}$
• El grupo unitario especial ${\displaystyle \operatorname {SU} (n),\,n\geq 3}$
• El grupo de spinning ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n),\,n\geq 7}$

o uno de los cinco grupos excepcionales G 2 , F 4 , E 6 , E 7 y E 8 . Las restricciones sobre n son para evitar isomorfismos especiales entre las diversas familias para valores pequeños de n . Para cada uno de estos grupos, el centro se conoce explícitamente. La clasificación se realiza a través del sistema de raíces asociado (para un toro máximo fijo), que a su vez se clasifican por sus diagramas de Dynkin .

La clasificación de los grupos de Lie compactos y simplemente conexos es la misma que la clasificación de las álgebras de Lie semisimples complejas . En efecto, si K es un grupo de Lie compacto simplemente conexo, entonces la complejización del álgebra de Lie de K es semisimple. Por el contrario, toda álgebra de Lie semisimple compleja tiene una forma real compacta isomorfa al álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto y simplemente conexo.

Toros y sistemas de raíces máximos

Una idea clave en el estudio de un grupo de Lie compacto conexo K es el concepto de toro maximal , que es un subgrupo T de K que es isomorfo a un producto de varias copias de y que no está contenido en ningún subgrupo mayor de este tipo. Un ejemplo básico es el caso , en cuyo caso podemos tomar como el grupo de elementos diagonales en . Un resultado básico es el teorema del toro que establece que cada elemento de pertenece a un toro maximal y que todos los toros maximal son conjugados. ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle K=\operatorname {SU} (n)}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$

El toro maximal en un grupo compacto juega un papel análogo al del subálgebra de Cartan en un álgebra de Lie semisimple compleja. En particular, una vez que se ha elegido un toro maximal, se puede definir un sistema raíz y un grupo de Weyl similar al que se tiene para las álgebras de Lie semisimples . ^[3] Estas estructuras juegan entonces un papel esencial tanto en la clasificación de grupos compactos conexos (descritos arriba) como en la teoría de representación de un grupo fijo de ese tipo (descritos abajo). ${\displaystyle T\subset K}$

Los sistemas de raíces asociados a los grupos compactos simples que aparecen en la clasificación de grupos compactos simplemente conexos son los siguientes: ^[4]

• Los grupos unitarios especiales corresponden al sistema raíz ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ ${\displaystyle A_{n-1}}$
• Los grupos de espín impares corresponden al sistema de raíces. ${\displaystyle \operatorname {Spin} (2n+1)}$ ${\displaystyle B_{n}}$
• Los grupos simplécticos compactos corresponden al sistema de raíces ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$ ${\displaystyle C_{n}}$
• Los grupos de espín par corresponden al sistema raíz ${\displaystyle \operatorname {Spin} (2n)}$ ${\displaystyle D_{n}}$
• Los grupos de Lie compactos excepcionales corresponden a los cinco sistemas de raíces excepcionales G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ o E ₈

Grupo fundamental y centro

Es importante saber si un grupo de Lie compacto conexo está simplemente conexo y, en caso contrario, determinar su grupo fundamental . Para los grupos de Lie compactos, existen dos enfoques básicos para calcular el grupo fundamental. El primer enfoque se aplica a los grupos compactos clásicos , , , y y procede por inducción en . El segundo enfoque utiliza el sistema raíz y se aplica a todos los grupos de Lie compactos conexos. ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (n)}$ ${\displaystyle n}$

También es importante conocer el centro de un grupo de Lie compacto conexo. El centro de un grupo clásico se puede calcular fácilmente "a mano" y, en la mayoría de los casos, consiste simplemente en las raíces de la identidad que se encuentren en . (El grupo SO(2) es una excepción: el centro es el grupo entero, aunque la mayoría de los elementos no son raíces de la identidad). Así, por ejemplo, el centro de consiste en las raíces n -ésimas de la unidad multiplicadas por la identidad, un grupo cíclico de orden . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ ${\displaystyle n}$

En general, el centro se puede expresar en términos de la red de raíces y del núcleo de la función exponencial del toro máximo. ^[5] El método general muestra, por ejemplo, que el grupo compacto simplemente conexo correspondiente al sistema de raíces excepcional tiene un centro trivial. Por lo tanto, el grupo compacto es uno de los pocos grupos compactos simples que son simultáneamente simplemente conexos y sin centro. (Los otros son y .) ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle G_{2}}$ ${\displaystyle F_{4}}$ ${\displaystyle E_{8}}$

Más ejemplos

Entre los grupos que no son grupos de Lie, y por tanto no tienen la estructura de una variedad , se encuentran el grupo aditivo Z _p de números enteros p-ádicos y las construcciones a partir de él. De hecho, cualquier grupo profinito es un grupo compacto. Esto significa que los grupos de Galois son grupos compactos, un hecho básico para la teoría de extensiones algebraicas en el caso de grado infinito.

La dualidad de Pontryagin proporciona una gran cantidad de ejemplos de grupos conmutativos compactos. Estos se encuentran en dualidad con los grupos discretos abelianos .

Medida del cabello

Todos los grupos compactos tienen una medida de Haar , ^[6] que será invariante tanto por traslación izquierda como derecha (la función módulo debe ser un homomorfismo continuo a los reales positivos ( R ⁺ , ×), y por lo tanto 1). En otras palabras, estos grupos son unimodulares . La medida de Haar se normaliza fácilmente para ser una medida de probabilidad , análoga a dθ/2π en el círculo.

En muchos casos, una medida de Haar de este tipo es fácil de calcular; por ejemplo, para los grupos ortogonales, Adolf Hurwitz la conocía y, en los casos de grupos de Lie, siempre se puede dar mediante una forma diferencial invariante . En el caso profinito, hay muchos subgrupos de índice finito y la medida de Haar de una clase lateral será el recíproco del índice. Por lo tanto, las integrales suelen ser computables de forma bastante directa, un hecho que se aplica constantemente en la teoría de números .

Si es un grupo compacto y es la medida de Haar asociada, el teorema de Peter-Weyl proporciona una descomposición de como una suma directa ortogonal de subespacios de dimensión finita de entradas matriciales para las representaciones irreducibles de . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle L^{2}(K,dm)}$ ${\displaystyle K}$

Teoría de la representación

La teoría de la representación de grupos compactos (no necesariamente grupos de Lie ni necesariamente conexos) fue fundada por el teorema de Peter-Weyl . ^[7] Hermann Weyl pasó a dar la teoría detallada de los caracteres de los grupos de Lie compactos conexos, basada en la teoría del toro maximalista . ^{[8] La} fórmula de caracteres de Weyl resultante fue uno de los resultados influyentes de las matemáticas del siglo XX. La combinación del teorema de Peter-Weyl y la fórmula de caracteres de Weyl llevaron a Weyl a una clasificación completa de las representaciones de un grupo de Lie compacto conexo; esta teoría se describe en la siguiente sección.

Una combinación del trabajo de Weyl y el teorema de Cartan proporciona un panorama general de toda la teoría de representación de grupos compactos G . Es decir, por el teorema de Peter-Weyl las representaciones unitarias irreducibles ρ de G están en un grupo unitario (de dimensión finita) y la imagen será un subgrupo cerrado del grupo unitario por compacidad. El teorema de Cartan establece que Im(ρ) debe ser en sí mismo un subgrupo de Lie en el grupo unitario. Si G no es en sí mismo un grupo de Lie, debe haber un núcleo para ρ. Además, se puede formar un sistema inverso , para el núcleo de ρ cada vez más pequeño, de representaciones unitarias de dimensión finita, que identifica a G como un límite inverso de grupos de Lie compactos. Aquí, el hecho de que en el límite se encuentre una representación fiel de G es otra consecuencia del teorema de Peter-Weyl.

La parte desconocida de la teoría de la representación de grupos compactos se traslada, por tanto, en líneas generales, a las representaciones complejas de grupos finitos . Esta teoría es bastante rica en detalles, pero cualitativamente se entiende bien.

Teoría de la representación de un grupo de Lie compacto conexo

Algunos ejemplos simples de la teoría de representación de grupos de Lie compactos pueden elaborarse a mano, como las representaciones del grupo de rotación SO(3) , el grupo unitario especial SU(2) y el grupo unitario especial SU(3) . Aquí nos centraremos en la teoría general. Véase también la teoría paralela de representaciones de un álgebra de Lie semisimple .

A lo largo de esta sección, fijamos un grupo de Lie compacto conexo K y un toro máximo T en K.

Teoría de la representación deyo

Como T es conmutativa, el lema de Schur nos dice que cada representación irreducible de T es unidimensional: ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho :T\rightarrow GL(1;\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{*}.}$

Dado que, además, T es compacto, en realidad debe mapearse en . ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle S^{1}\subset \mathbb {C} }$

Para describir estas representaciones concretamente, sea el álgebra de Lie de T y escribimos los puntos como ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle h\in T}$

${\displaystyle h=e^{H},\quad H\in {\mathfrak {t}}.}$

En tales coordenadas, tendrá la forma ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \rho (e^{H})=e^{i\lambda (H)}}$

para alguna funcional lineal en . ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$

Ahora bien, dado que la función exponencial no es inyectiva, no todas las funciones lineales de este tipo dan lugar a una función bien definida de T en . En lugar de ello, denotemos el núcleo de la función exponencial: ${\displaystyle H\mapsto e^{H}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma =\left\{H\in {\mathfrak {t}}\mid e^{2\pi H}=\operatorname {Id} \right\},}$

donde es el elemento identidad de T . (Aquí escalamos el mapa exponencial por un factor de para evitar tales factores en otros lugares). Entonces, para obtener un mapa bien definido , debe satisfacer ${\displaystyle \operatorname {Id} }$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle \lambda (H)\in \mathbb {Z} ,\quad H\in \Gamma ,}$

donde es el conjunto de números enteros. ^[9] Un funcional lineal que satisface esta condición se denomina elemento integral analítico . Esta condición de integralidad está relacionada con la noción de elemento integral en el contexto de las álgebras de Lie semisimples, pero no es idéntica a ella . ^[10] ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \lambda }$

Supongamos, por ejemplo, que T es simplemente el grupo de números complejos de valor absoluto 1. El álgebra de Lie es el conjunto de números puramente imaginarios, y el núcleo de la función exponencial (escalada) es el conjunto de números de la forma donde es un entero. Una función lineal toma valores enteros en todos esos números si y solo si es de la forma para algún entero . Las representaciones irreducibles de T en este caso son unidimensionales y de la forma ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle e^{i\theta }}$ ${\displaystyle H=i\theta ,\,\theta \in \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle in}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda (i\theta )=k\theta }$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \rho (e^{i\theta })=e^{ik\theta },\quad k\in \mathbb {Z} .}$

Teoría de la representación deK

Ejemplo de los pesos de una representación del grupo SU(3)

La representación de " óctuple vía " de SU(3), tal como se utiliza en física de partículas

Los puntos negros indican los elementos integrales dominantes para el grupo SU(3)

Ahora denotamos una representación irreducible de dimensión finita de K (sobre ). Luego consideramos la restricción de a T . Esta restricción no es irreducible a menos que sea unidimensional. Sin embargo, la restricción se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles de T . (Obsérvese que una representación irreducible dada de T puede ocurrir más de una vez). Ahora, cada representación irreducible de T se describe mediante un funcional lineal como en la subsección anterior. Si un dado ocurre al menos una vez en la descomposición de la restricción de a T , llamamos un peso de . La estrategia de la teoría de la representación de K es clasificar las representaciones irreducibles en términos de sus pesos. ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Sigma }$

Ahora describimos brevemente las estructuras necesarias para formular el teorema; se pueden encontrar más detalles en el artículo sobre pesos en la teoría de la representación . Necesitamos la noción de un sistema raíz para K (relativo a un toro máximo dado T ). La construcción de este sistema raíz es muy similar a la construcción para álgebras de Lie semisimples complejas . Específicamente, los pesos son los pesos distintos de cero para la acción adjunta de T en el álgebra de Lie complejizada de K. El sistema raíz R tiene todas las propiedades habituales de un sistema raíz , excepto que los elementos de R pueden no abarcar . ^[11] Luego elegimos una base para R y decimos que un elemento integral es dominante si para todo . Finalmente, decimos que un peso es mayor que otro si su diferencia se puede expresar como una combinación lineal de elementos de con coeficientes no negativos. ${\displaystyle R\subset {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {t}}}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \lambda (\alpha )\geq 0}$ ${\displaystyle \alpha \in \Delta }$ ${\displaystyle \Delta }$

Las representaciones finitodimensionales irreducibles de K se clasifican entonces mediante un teorema del mayor peso , ^[12] que está estrechamente relacionado con el teorema análogo que clasifica las representaciones de un álgebra de Lie semisimple . El resultado dice que:

1. Toda representación irreductible tiene el mayor peso,
2. El peso más alto es siempre un elemento dominante, analíticamente integral,
3. dos representaciones irreducibles con el mismo peso máximo son isomorfas, y
4. Cada elemento dominante, analíticamente integral, surge como el peso más alto de una representación irreductible.

El teorema del peso más alto para las representaciones de K es entonces casi el mismo que para las álgebras de Lie semisimples, con una notable excepción: el concepto de un elemento integral es diferente. Los pesos de una representación son analíticamente integrales en el sentido descrito en la subsección anterior. Cada elemento analíticamente integral es integral en el sentido del álgebra de Lie, pero no al revés. ^[13] (Este fenómeno refleja que, en general, no toda representación del álgebra de Lie proviene de una representación del grupo K ). Por otro lado, si K es simplemente conexo, el conjunto de pesos más altos posibles en el sentido del grupo es el mismo que el conjunto de pesos más altos posibles en el sentido del álgebra de Lie. ^[14] ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Sigma }$ ${\displaystyle {\mathfrak {k}}}$

La fórmula del carácter de Weyl

Si es una representación de K , definimos el carácter de como la función dada por ${\displaystyle \Pi :K\to \operatorname {GL} (V)}$ ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \mathrm {X} :K\to \mathbb {C} }$

${\displaystyle \mathrm {X} (x)=\operatorname {trace} (\Pi (x)),\quad x\in K}$.

Se ve fácilmente que esta función es una función de clase, es decir, para todos y en K . Por lo tanto, está determinada por su restricción a T . ${\displaystyle \mathrm {X} (xyx^{-1})=\mathrm {X} (y)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle \mathrm {X} }$

El estudio de los caracteres es una parte importante de la teoría de la representación de grupos compactos. Un resultado crucial, que es un corolario del teorema de Peter-Weyl , es que los caracteres forman una base ortonormal para el conjunto de funciones de clase integrables al cuadrado en K. Un segundo resultado clave es la fórmula del carácter de Weyl , que da una fórmula explícita para el carácter (o, más bien, la restricción del carácter a T ) en términos del peso más alto de la representación.

En la teoría de representaciones estrechamente relacionada de las álgebras de Lie semisimples, la fórmula de caracteres de Weyl es un resultado adicional establecido después de que las representaciones han sido clasificadas. Sin embargo, en el análisis de Weyl del caso del grupo compacto, la fórmula de caracteres de Weyl es en realidad una parte crucial de la clasificación misma. Específicamente, en el análisis de Weyl de las representaciones de K , la parte más difícil del teorema (mostrar que cada elemento dominante, analíticamente integral, es en realidad el peso más alto de alguna representación) se demuestra de una manera totalmente diferente de la construcción habitual del álgebra de Lie utilizando módulos de Verma . En el enfoque de Weyl, la construcción se basa en el teorema de Peter-Weyl y una prueba analítica de la fórmula de caracteres de Weyl . ^[15] En última instancia, las representaciones irreducibles de K se realizan dentro del espacio de funciones continuas en K .

El caso SU(2)

Consideremos ahora el caso del grupo compacto SU(2). Las representaciones se consideran a menudo desde el punto de vista del álgebra de Lie , pero aquí las analizamos desde el punto de vista del grupo. Tomamos el toro máximo como el conjunto de matrices de la forma

${\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}.}$

Según el ejemplo analizado anteriormente en la sección sobre representaciones de T , los elementos analíticamente integrales están etiquetados como números enteros, de modo que los elementos analíticamente integrales dominantes son números enteros no negativos . La teoría general nos dice entonces que para cada , existe una única representación irreducible de SU(2) con el mayor peso . ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m}$

Mucha información sobre la representación correspondiente a un determinado carácter está codificada en su carácter. Ahora bien, la fórmula del carácter de Weyl dice, en este caso , que el carácter está dado por ${\displaystyle m}$

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)={\frac {\sin((m+1)\theta )}{\sin(\theta )}}.}$

También podemos escribir el carácter como suma de exponenciales de la siguiente manera:

${\displaystyle \mathrm {X} \left({\begin{pmatrix}e^{i\theta }&0\\0&e^{-i\theta }\end{pmatrix}}\right)=e^{im\theta }+e^{i(m-2)\theta }+\cdots e^{-i(m-2)\theta }+e^{-im\theta }.}$

(Si utilizamos la fórmula para la suma de una serie geométrica finita en la expresión anterior y simplificamos, obtenemos la expresión anterior.)

De esta última expresión y de la fórmula estándar para el carácter en términos de los pesos de la representación , podemos leer que los pesos de la representación son

${\displaystyle m,m-2,\ldots ,-(m-2),-m,}$

cada una con multiplicidad uno. (Los pesos son los números enteros que aparecen en los exponentes de las exponenciales y las multiplicidades son los coeficientes de las exponenciales.) Como hay pesos, cada uno con multiplicidad 1, la dimensión de la representación es . De este modo, recuperamos gran parte de la información sobre las representaciones que se suele obtener a partir del cálculo del álgebra de Lie. ${\displaystyle m+1}$ ${\displaystyle m+1}$

Un esquema de la prueba

Ahora esbozamos la prueba del teorema del peso más alto, siguiendo el argumento original de Hermann Weyl . Continuamos siendo un grupo de Lie compacto conexo y un toro maximalista fijo en . Nos centramos en la parte más difícil del teorema, mostrando que cada elemento dominante, analíticamente integral, es el peso más alto de alguna representación irreducible (de dimensión finita). ^[16] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$

Las herramientas para la prueba son las siguientes:

• El teorema del toro .
• La fórmula integral de Weyl .
• El teorema de Peter-Weyl para funciones de clase , que establece que los caracteres de las representaciones irreducibles forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase integrables al cuadrado en . ${\displaystyle K}$

Con estas herramientas en la mano, procedemos a la prueba. El primer paso importante en el argumento es probar la fórmula del carácter de Weyl . La fórmula establece que si es una representación irreducible con el mayor peso , entonces el carácter de satisface: ${\displaystyle \Pi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathrm {X} }$ ${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle \mathrm {X} (e^{H})={\frac {\sum _{w\in W}\det(w)e^{i\langle w\cdot (\lambda +\rho ),H\rangle }}{\sum _{w\in W}\det(w)e^{i\langle w\cdot \rho ,H\rangle }}}}$

para todos en el álgebra de Lie de . Aquí está la mitad de la suma de las raíces positivas. (La notación utiliza la convención de "pesos reales"; esta convención requiere un factor explícito de en el exponente). La prueba de Weyl de la fórmula del carácter es de naturaleza analítica y depende del hecho de que la norma del carácter es 1. Específicamente, si hubiera términos adicionales en el numerador, la fórmula integral de Weyl obligaría a que la norma del carácter fuera mayor que 1. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle L^{2}}$

A continuación, denotamos la función en el lado derecho de la fórmula del carácter. Demostramos que incluso si no se sabe que sea el peso más alto de una representación , es una función bien definida, invariante de Weyl en , que por lo tanto se extiende a una función de clase en . Luego, utilizando la fórmula integral de Weyl, se puede demostrar que como rangos sobre el conjunto de elementos dominantes, analíticamente integrales, las funciones forman una familia ortonormal de funciones de clase. Enfatizamos que actualmente no sabemos que cada uno de ellos sea el peso más alto de una representación; sin embargo, las expresiones en el lado derecho de la fórmula del carácter dan un conjunto bien definido de funciones , y estas funciones son ortonormales. ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$

Ahora viene la conclusión. El conjunto de todos —con rango sobre los elementos dominantes, analíticamente integrales— forma un conjunto ortonormal en el espacio de funciones de clase integrables cuadradas. Pero por la fórmula de caracteres de Weyl, los caracteres de las representaciones irreducibles forman un subconjunto de los . Y por el teorema de Peter-Weyl, los caracteres de las representaciones irreducibles forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase integrables cuadradas. Si hubiera alguno que no fuera el peso más alto de una representación, entonces el correspondiente no sería el carácter de una representación. Por lo tanto, los caracteres serían un subconjunto propio del conjunto de . Pero entonces tenemos una situación imposible: una base ortonormal (el conjunto de caracteres de las representaciones irreducibles) estaría contenida en un conjunto ortonormal estrictamente mayor (el conjunto de ). Por lo tanto, cada uno debe ser en realidad el peso más alto de una representación. ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \Phi _{\lambda }}$ ${\displaystyle \lambda }$

Dualidad

El tema de la recuperación de un grupo compacto a partir de su teoría de representación es el tema de la dualidad Tannaka-Krein , ahora a menudo reformulada en términos de la teoría de categorías tannakiana .

De grupos compactos a no compactos

La influencia de la teoría de grupos compactos sobre los grupos no compactos fue formulada por Weyl en su teoría unitaria . Dentro de un grupo de Lie semisimple general hay un subgrupo compacto maximalista , y la teoría de representación de tales grupos, desarrollada en gran parte por Harish-Chandra , utiliza intensivamente la restricción de una representación a tal subgrupo, y también el modelo de la teoría de caracteres de Weyl.

Véase también

• Teorema de Peter-Weyl
• Toro máximo
• Sistema de raíces
• Grupo compacto localmente
• grupo p -compacto
• Protoro
• Clasificación de representaciones de álgebras de Lie en dimensión finita
• Pesos en la teoría de representación de álgebras de Lie semisimples

Referencias

1. Sala 2015 Sección 1.2
2. Bröcker & tom Dieck 1985, Capítulo V, Secciones 7 y 8
3. Hall 2015 Capítulo 11
4. Sala 2015 Sección 7.7
5. Hall 2015 Sección 13.8
6. Weil, André (1940), L'intégration dans les groupes topologiques et ses apps , Actualités Scientifiques et Industrielles, vol. 869, París: Hermann
7. Pedro, F.; Weyl, H. (1927), "Die Vollständigkeit derprimitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe", Math. Ana. , 97 : 737–755, doi : 10.1007/BF01447892.
8. Salón 2015 Parte III
9. Propuesta 12.9 del Salón 2015
10. Sala 2015 Sección 12.2
11. Sala 2015 Sección 11.7
12. Hall 2015 Capítulo 12
13. Sala 2015 Sección 12.2
14. Hall 2015 Corolario 13.20
15. Hall 2015 Secciones 12.4 y 12.5
16. Hall 2015 Secciones 12.4 y 12.5

Bibliografía

• Bröcker, Theodor; tom Dieck, Tammo (1985), Representaciones de grupos de Lie compactos , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 98, Springer
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
• Hofmann, Karl H.; Morris, Sidney A. (1998), La estructura de los grupos compactos , Berlín: de Gruyter, ISBN 3-11-015268-1