En matemáticas , un grupo topológico G se llama grupo discreto si no hay un punto límite en él (es decir, para cada elemento en G , hay una vecindad que solo contiene ese elemento). De manera equivalente, el grupo G es discreto si y sólo si su identidad está aislada . [1]
Un subgrupo H de un grupo topológico G es un subgrupo discreto si H es discreto cuando está dotado de la topología subespacial de G. En otras palabras , existe una vecindad de la identidad en G que no contiene ningún otro elemento de H. Por ejemplo, los números enteros , Z , forman un subgrupo discreto de los reales , R (con la topología métrica estándar ), pero los números racionales , Q , no.
Cualquier grupo puede estar dotado de la topología discreta , convirtiéndolo en un grupo topológico discreto. Dado que cada mapa de un espacio discreto es continuo , los homomorfismos topológicos entre grupos discretos son exactamente los homomorfismos de grupo entre los grupos subyacentes. Por tanto, existe un isomorfismo entre la categoría de grupos y la categoría de grupos discretos. Por tanto, los grupos discretos pueden identificarse con sus grupos subyacentes (no topológicos).
Hay algunas ocasiones en las que un grupo topológico o un grupo de Lie está útilmente dotado de topología discreta, "contra naturaleza". Esto sucede, por ejemplo, en la teoría de la compactificación de Bohr y en la teoría de la cohomología de grupos de Lie.
Un grupo de isometría discreto es un grupo de isometría tal que para cada punto del espacio métrico el conjunto de imágenes del punto bajo las isometrías es un conjunto discreto . Un grupo de simetría discreto es un grupo de simetría que es un grupo de isometría discreto.
Dado que los grupos topológicos son homogéneos , solo es necesario mirar un punto para determinar si el grupo topológico es discreto. En particular, un grupo topológico es discreto sólo si el singleton que contiene la identidad es un conjunto abierto .
Un grupo discreto es lo mismo que un grupo de Lie de dimensión cero ( los grupos discretos incontables no son contables en segundo lugar , por lo que los autores que requieren que los grupos de Lie satisfagan este axioma no consideran estos grupos como grupos de Lie). El componente identidad de un grupo discreto es simplemente el subgrupo trivial, mientras que el grupo de componentes es isomorfo al grupo mismo.
Dado que la única topología de Hausdorff en un conjunto finito es la discreta, un grupo topológico finito de Hausdorff debe ser necesariamente discreto. De ello se deduce que todo subgrupo finito de un grupo de Hausdorff es discreto.
Un subgrupo discreto H de G es cocompacto si existe un subconjunto compacto K de G tal que HK = G.
Los subgrupos normales discretos juegan un papel importante en la teoría de los grupos de cobertura y los grupos localmente isomórficos. Un subgrupo normal discreto de un grupo conectado G se encuentra necesariamente en el centro de G y, por tanto, es abeliano .
Otras propiedades :
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