grupo aritmético

En matemáticas , un grupo aritmético es un grupo obtenido como los puntos enteros de un grupo algebraico , por ejemplo. Surgen naturalmente en el estudio de las propiedades aritméticas de formas cuadráticas y otros temas clásicos de la teoría de números . También dan lugar a ejemplos muy interesantes de variedades de Riemann y, por tanto, son objetos de interés en geometría diferencial y topología . Finalmente, estos dos temas se unen a la teoría de las formas automórficas que es fundamental en la teoría de números moderna. ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} ).}$

Historia

Uno de los orígenes de la teoría matemática de grupos aritméticos es la teoría algebraica de números. Se puede considerar que la teoría de reducción clásica de formas cuadráticas y hermitianas de Charles Hermite , Hermann Minkowski y otros calcula dominios fundamentales para la acción de ciertos grupos aritméticos en los espacios simétricos relevantes . ^{[1] [2] El tema estaba relacionado con} la geometría de los números de Minkowski y el desarrollo temprano del estudio de las invariantes aritméticas de campos numéricos como el discriminante . Se puede considerar a los grupos aritméticos como una amplia generalización de los grupos unitarios de campos numéricos a un entorno no conmutativo.

Los mismos grupos también aparecieron en la teoría analítica de números a medida que se desarrollaba el estudio de las formas modulares clásicas y sus generalizaciones. Por supuesto, los dos temas estaban relacionados, como puede verse, por ejemplo, en el cálculo que hizo Langlands del volumen de ciertos dominios fundamentales utilizando métodos analíticos. ^[3] Esta teoría clásica culminó con el trabajo de Siegel, quien demostró la finitud del volumen de un dominio fundamental en muchos casos.

Para que la teoría moderna comenzara, se necesitaba un trabajo fundacional, proporcionado por el trabajo de Armand Borel , André Weil , Jacques Tits y otros sobre grupos algebraicos. ^{[4] [5] Poco después, Borel y} Harish-Chandra demostraron con total generalidad la finitud del covolumen . ^[6] Mientras tanto, hubo avances en la teoría general de las redes en grupos de Lie por parte de Atle Selberg , Grigori Margulis , David Kazhdan , MS Raghunathan y otros. El estado de la técnica después de este período quedó esencialmente fijado en el tratado de Raghunathan, publicado en 1972. ^[7]

En los años setenta, Margulis revolucionó el tema al demostrar que en "la mayoría" de los casos las construcciones aritméticas representan todas las redes de un grupo de Lie determinado. ^[8] Selberg había obtenido anteriormente algunos resultados limitados en esta dirección, pero los métodos de Margulis (el uso de herramientas teórico-ergódicas para acciones en espacios homogéneos) eran completamente nuevos en este contexto y iban a ser extremadamente influyentes en desarrollos posteriores. renovando efectivamente el viejo tema de la geometría de los números y permitiendo al propio Margulis probar la conjetura de Oppenheim ; Posteriormente , Marina Ratner obtuvo resultados más sólidos ( teoremas de Ratner ) .

En otra dirección, el tema clásico de las formas modulares ha evolucionado hasta convertirse en la teoría moderna de las formas automórficas. La fuerza impulsora detrás de este esfuerzo es principalmente el programa Langlands iniciado por Robert Langlands . Una de las principales herramientas utilizadas allí es la fórmula de trazas originada en el trabajo de Selberg ^[9] y desarrollada en el ámbito más general por James Arthur . ^[10]

Finalmente, los grupos aritméticos se utilizan a menudo para construir ejemplos interesantes de variedades de Riemann localmente simétricas . Un tema de investigación particularmente activo ha sido las variedades 3 hiperbólicas aritméticas , que como escribió William Thurston , ^[11] "...a menudo parecen tener una belleza especial".

Definición y construcción

Grupos aritméticos

Si es un subgrupo algebraico de para algunos , entonces podemos definir un subgrupo aritmético de como el grupo de puntos enteros. En general, no es tan obvio cómo darle sentido preciso a la noción de "puntos enteros" de un grupo, y el subgrupo definido anteriormente puede cambiar cuando tomamos diferentes incrustaciones ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \Gamma =\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )\cap \mathrm {G} (\mathbb {Q} ).}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} \to \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Q} ).}$

Por lo tanto, una mejor idea es tomar como definición un subgrupo aritmético de cualquier grupo que sea conmensurable (esto significa que ambos y son conjuntos finitos) con un grupo definido como anteriormente (con respecto a cualquier incrustación en ). Con esta definición, al grupo algebraico se asocia una colección de subgrupos "discretos", todos conmensurables entre sí. ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle \Gamma /(\Gamma \cap \Lambda )}$ ${\displaystyle \Lambda /(\Gamma \cap \Lambda )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$

Usando campos numéricos

Una generalización natural de la construcción anterior es la siguiente: sea un campo numérico con un anillo de números enteros y un grupo algebraico sobre . Si se nos da una incrustación definida, entonces el subgrupo puede llamarse legítimamente grupo aritmético. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \rho :\mathrm {G} \to \mathrm {GL} _{n}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \rho ^{-1}(\mathrm {GL} _{n}(O))\subset \mathrm {G} (F)}$

Por otra parte, la clase de grupos así obtenida no es mayor que la clase de grupos aritméticos definida anteriormente. De hecho, si consideramos el grupo algebraico obtenido restringiendo los escalares de a y la incrustación inducida por (donde ), entonces el grupo construido anteriormente es igual a . ${\displaystyle \mathrm {G} '}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \rho ':\mathrm {G} '\to \mathrm {GL} _{dn}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle d=[F:\mathbb {Q} ]}$ ${\displaystyle (\rho ')^{-1}(\mathrm {GL} _{nd}(\mathbb {Z} ))}$

Ejemplos

El ejemplo clásico de un grupo aritmético es , o los grupos estrechamente relacionados , y . Al grupo , o en ocasiones , se le llama grupo modular ya que está relacionado con la curva modular . Ejemplos similares son los grupos modulares de Siegel . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle n=2}$ ${\displaystyle \mathrm {PSL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {Sp} _{2g}(\mathbb {Z} )}$

Otros ejemplos bien conocidos y estudiados incluyen los grupos de Bianchi, donde es un entero libre de cuadrados y es el anillo de números enteros en el campo , y los grupos modulares de Hilbert-Blumenthal . ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(O_{-m}),}$ ${\displaystyle m>0}$ ${\displaystyle O_{-m}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-m}}),}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(O_{m})}$

Otro ejemplo clásico lo dan los elementos integrales en el grupo ortogonal de una forma cuadrática definida sobre un cuerpo numérico, por ejemplo . Una construcción relacionada es tomar los grupos unitarios de órdenes en álgebras de cuaterniones sobre campos numéricos (por ejemplo, el orden de cuaterniones de Hurwitz ). Se pueden realizar construcciones similares con grupos unitarios de formas hermitianas , un ejemplo muy conocido es el grupo modular de Picard . ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)(\mathbb {Z} )}$

Retículos aritméticos en grupos de Lie semisimples

Cuando es un grupo de Lie, se puede definir una red aritmética de la siguiente manera: para cualquier grupo algebraico definido de tal manera que haya un morfismo con núcleo compacto, la imagen de un subgrupo aritmético en es una red aritmética en . Así, por ejemplo, si y es un subgrupo de entonces es una red aritmética en (pero hay muchas más, correspondientes a otras incrustaciones); por ejemplo, es una red aritmética en . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {R} )\to G}$ ${\displaystyle \mathrm {G} (\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\mathrm {G} (\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}}$ ${\displaystyle G\cap \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$

El teorema de Borel-Harish-Chandra

Una red en un grupo de Lie generalmente se define como un subgrupo discreto con covolumen finito. La terminología introducida anteriormente es coherente con esto, ya que un teorema debido a Borel y Harish-Chandra establece que un subgrupo aritmético en un grupo de Lie semisimple es de covolumen finito (la discreción es obvia).

El teorema es más preciso: dice que la red aritmética es cocompacta si y sólo si la "forma" utilizada para definirla (es decir, el grupo - ) es anisotrópica. Por ejemplo, la red aritmética asociada a una forma cuadrática en variables over será cocompacta en el grupo ortogonal asociado si y solo si la forma cuadrática no desaparece en ningún punto en . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}\setminus \{0\}}$

Teorema de aritmeticidad de Margulis

El espectacular resultado que obtuvo Margulis es una inversa parcial del teorema de Borel-Harish-Chandra: para ciertos grupos de Lie cualquier red es aritmética. Este resultado es válido para todas las redes irreducibles en grupos de Lie semisimples de rango real mayor que dos. ^{[12] [13]} Por ejemplo, todas las redes en son aritméticas cuando . El principal ingrediente nuevo que utilizó Margulis para demostrar su teorema fue la superrigidez de las redes en grupos de rango superior que demostró para este propósito. ${\displaystyle \mathrm {SL} _{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle n\geq 3}$

La irreducibilidad sólo juega un papel cuando tiene un factor de rango real uno (de lo contrario, el teorema siempre se cumple) y no es simple: significa que para cualquier descomposición del producto la red no es conmensurable a un producto de redes en cada uno de los factores . Por ejemplo, la red in es irreducible, mientras que no lo es. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=G_{1}\times G_{2}}$ ${\displaystyle G_{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}])}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Z} )}$

El teorema de aritmeticidad (y superrigidez) de Margulis es válido para ciertos grupos de Lie de rango 1, concretamente para y el grupo excepcional . ^{[14] [15]} Se sabe que no se mantiene en todos los grupos para (ref. a GPS) y para cuando . No se conocen redes no aritméticas en los grupos cuando . ${\displaystyle \mathrm {Sp} (n,1)}$ ${\displaystyle n\geqslant 1}$ ${\displaystyle F_{4}^{-20}}$ ${\displaystyle \mathrm {SO} (n,1)}$ ${\displaystyle n\geqslant 2}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$ ${\displaystyle n=1,2,3}$ ${\displaystyle \mathrm {SU} (n,1)}$ ${\displaystyle n\geqslant 4}$

Grupos aritméticos fucsianos y kleinianos

Un grupo fucsiano aritmético se construye a partir de los siguientes datos: un cuerpo de números totalmente real , un álgebra de cuaterniones over y un orden en . Se pide que para una incorporación el álgebra sea isomorfa al álgebra matricial y para todas las demás a los cuaterniones de Hamilton . Entonces el grupo de unidades es una red en la que es isomorfa y co-compacta en todos los casos excepto cuando el álgebra matricial está sobre Todas las redes aritméticas se obtienen de esta manera (hasta la conmensurabilidad). ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \sigma :F\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A^{\sigma }\otimes _{F}\mathbb {R} }$ ${\displaystyle M_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{1}}$ ${\displaystyle (A^{\sigma }\otimes _{F}\mathbb {R} )^{1}}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} .}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Los grupos aritméticos kleinianos se construyen de manera similar excepto que se requiere que tengan exactamente un lugar complejo y que sean los cuaterniones de Hamilton en todos los lugares reales. Agotan todas las clases de conmensurabilidad aritmética en ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} ).}$

Clasificación

Para cada grupo de Lie semisimple, en teoría es posible clasificar (hasta la conmensurabilidad) todas las redes aritméticas en , de manera similar a los casos explicados anteriormente. Esto equivale a clasificar los grupos algebraicos cuyos puntos reales son isomórficos hasta un factor compacto a . ^[dieciséis] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G=\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} ),\mathrm {SL} _{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle G}$

El problema de los subgrupos de congruencia

Un subgrupo de congruencia es (aproximadamente) un subgrupo de un grupo aritmético definido tomando todas las matrices que satisfacen ciertas ecuaciones módulo un número entero, por ejemplo, el grupo de matrices enteras de 2 por 2 con coeficientes diagonales (respectivamente fuera de la diagonal) congruentes con 1 (respectivamente 0 ) módulo un entero positivo. Estos son siempre subgrupos de índice finito y el problema de subgrupos de congruencia pregunta aproximadamente si todos los subgrupos se obtienen de esta manera. La conjetura (generalmente atribuida a Jean-Pierre Serre ) es que esto es cierto para redes aritméticas (irreducibles) en grupos de rango superior y falso en grupos de rango uno. Todavía está abierto en esta generalidad pero hay muchos resultados que lo establecen para redes específicas (tanto en su caso positivo como negativo).

Grupos aritméticos S

En lugar de tomar puntos integrales en la definición de una red aritmética, se pueden tomar puntos que sólo son integrales de un número finito de números primos. Esto lleva a la noción de una red aritmética (donde representa el conjunto de números primos invertidos). El ejemplo prototípico es . También son naturalmente retículos en ciertos grupos topológicos, por ejemplo es un retículo en ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{p}}\right]\right)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}\left(\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{p}}\right]\right)}$ ${\displaystyle \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {R} )\times \mathrm {SL} _{2}(\mathbb {Q} _{p}).}$

Definición

La definición formal de un grupo aritmético para un conjunto finito de números primos es la misma que para los grupos aritméticos, reemplazado por donde está el producto de los primos en . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {Z} )}$ ${\displaystyle \mathrm {GL} _{n}\left(\mathbb {Z} \left[{\tfrac {1}{N}}\right]\right)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle S}$

Celosías en grupos de Lie sobre campos locales.

El teorema de Borel-Harish-Chandra se generaliza a grupos aritméticos de la siguiente manera: si es un grupo aritmético en un grupo algebraico , entonces es una red en el grupo localmente compacto ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathrm {G} }$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle G=\mathrm {G} (\mathbb {R} )\times \prod _{p\in S}\mathrm {G} (\mathbb {Q} _{p})}$.

Algunas aplicaciones

Gráficos de expansión explícitos

Los grupos aritméticos con la propiedad de Kazhdan (T) o la propiedad más débil ( ) de Lubotzky y Zimmer se pueden utilizar para construir gráficos de expansión (Margulis), o incluso gráficos de Ramanujan (Lubotzky-Phillips-Sarnak ^{[17] [18]} ). Se sabe que estos gráficos existen en abundancia mediante resultados probabilísticos, pero la naturaleza explícita de estas construcciones los hace interesantes. ${\displaystyle \tau }$

Superficies extremas y gráficas.

Se sabe que las cubiertas de congruencia de superficies aritméticas dan lugar a superficies con un gran radio de inyectividad . ^[19] Asimismo, los gráficos de Ramanujan construidos por Lubotzky-Phillips-Sarnak tienen una gran circunferencia . De hecho, se sabe que la propia propiedad de Ramanujan implica que las circunferencias locales del gráfico son casi siempre grandes. ^[20]

Variedades isoespectrales

Se pueden utilizar grupos aritméticos para construir variedades isoespectrales . Esto fue realizado por primera vez por Marie-France Vignéras ^[21] y desde entonces han aparecido numerosas variaciones de su construcción. De hecho, el problema de la isospectralidad es particularmente susceptible de estudio en el contexto restringido de variedades aritméticas. ^[22]

Planos proyectivos falsos

Un plano proyectivo falso ^[23] es una superficie compleja que tiene los mismos números de Betti que el plano proyectivo pero no es biholomórfico; El primer ejemplo fue descubierto por Mumford. Por trabajo de Klingler (también demostrado independientemente por Yeung), todos estos son cocientes de 2 bolas mediante redes aritméticas en . Prasad y Yeung clasificaron las posibles redes y la clasificación fue completada por Cartwright y Steger, quienes determinaron, mediante cálculos asistidos por computadora, todos los planos proyectivos falsos en cada clase de Prasad-Yeung. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {PU} (2,1)}$

Referencias

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2. Siegel, Carl Ludwig (1989). Conferencias sobre la geometría de los números. Springer-Verlag.
3. Langlands, RP (1966), "El volumen del dominio fundamental para algunos subgrupos aritméticos de grupos de Chevalley", Grupos algebraicos y subgrupos discontinuos , Proc. Simposios. Pure Math., Providence, RI: Amer. Matemáticas. Soc., págs. 143-148, SEÑOR  0213362
4. Borel, Armand; Tetas, Jacques (1965). "Grupos reductores". Inst. Altos estudios de ciencia. Publ. Matemáticas . 27 : 55-150. doi :10.1007/bf02684375. S2CID  189767074.
5. Weil, André (1982). Adèles y los grupos algebraicos . Birkhäuser. pag. iii+126. SEÑOR  0670072.
6. Borel, Armand; Harish-Chandra (1962). "Subgrupos aritméticos de grupos algebraicos". Anales de Matemáticas . 75 (3): 485–535. doi :10.2307/1970210. JSTOR  1970210.
7. Raghunathan, MS (1972). Subgrupos discretos de grupos de Lie. Springer-Verlag.
8. Margulis, Grigori (1975). "Grupos discretos de movimientos de variedades de curvatura no positiva". Actas del Congreso Internacional de Matemáticos (Vancouver, BC, 1974), vol. 2 (en ruso). Canadá. Matemáticas. Congreso. págs. 21–34.
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11. Thurston, William (1982). "Variedades tridimensionales, grupos kleinianos y geometría hiperbólica". Toro. América. Matemáticas. Soc. (NS) . 6 (3): 357–381. doi : 10.1090/s0273-0979-1982-15003-0 .
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21. Vignéras, Marie-France (1980). "Variétés riemanniennes isospectrales et non isométriques". Ana. de Matemáticas. (en francés). 112 (1): 21–32. doi :10.2307/1971319. JSTOR  1971319.
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