Orden (teoría de anillos)

En matemáticas , un orden en el sentido de la teoría de anillos es un subanillo de un anillo , tal que ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle A}$

1. ${\displaystyle A}$es un álgebra de dimensión finita sobre el campo de los números racionales ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
2. ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$se extiende sobre , y ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
3. ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$es una red en . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle A}$

Las dos últimas condiciones se pueden establecer en términos menos formales: Aditivamente, es un grupo abeliano libre generado por una base para sobre . ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$

De manera más general, para un dominio integral con un cuerpo fraccionario , un -orden en un -álgebra de dimensión finita es un subanillo del cual es una red completa ; es decir, es un -módulo finito con la propiedad de que . ^[1] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\otimes _{R}K=A}$

Cuando no es un anillo conmutativo , la idea de orden sigue siendo importante, pero los fenómenos son diferentes. Por ejemplo, los cuaterniones de Hurwitz forman un orden máximo en los cuaterniones con coordenadas racionales; no son los cuaterniones con coordenadas enteras en el sentido más obvio. Los órdenes máximos existen en general, pero no necesitan ser únicos: en general no hay un orden más grande, sino un número de órdenes máximos. Una clase importante de ejemplos es la de los anillos de grupos integrales . ${\displaystyle A}$

Ejemplos

Algunos ejemplos de órdenes son: ^[2]

• Si el anillo de matrices es sobre , entonces el anillo de matrices sobre es un orden en ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle M_{n}(K)}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle M_{n}(R)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$
• Si es un dominio integral y una extensión finita separable de , entonces el cierre integral de en es un -orden en . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$
• Si en es un elemento entero sobre , entonces el anillo polinomial es un orden en el álgebra ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R[a]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K[a]}$
• Si es el anillo de grupo de un grupo finito , entonces es un -orden en ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle R[G]}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K[G]}$

Una propiedad fundamental de los -órdenes es que cada elemento de un -orden es integral sobre . ^[3] ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$

Si el cierre integral de en es un -orden entonces la integralidad de cada elemento de cada -orden muestra que debe ser el único -orden máximo en . Sin embargo no siempre tiene que ser un -orden: de hecho ni siquiera tiene que ser un anillo, e incluso si es un anillo (por ejemplo, cuando es conmutativo) entonces no tiene que ser un -retículo. ^[3] ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R}$

Teoría algebraica de números

El ejemplo principal es el caso donde es un cuerpo de números y es su anillo de números enteros . En la teoría algebraica de números hay ejemplos para cualquier otro cuerpo distinto del racional de subanillos propios del anillo de números enteros que también son órdenes. Por ejemplo, en la extensión de cuerpo de los racionales gaussianos sobre , la clausura integral de es el anillo de los números enteros gaussianos y, por lo tanto, este es el único orden máximo : todos los demás órdenes en están contenidos en él. Por ejemplo, podemos tomar el subanillo de números complejos de la forma , con y enteros. ^[4] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle A=\mathbb {Q} (i)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a+2bi}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

La cuestión del orden máximo se puede examinar a nivel de campo local . Esta técnica se aplica en la teoría de números algebraicos y en la teoría de representación modular .

Véase también

• Orden de cuaterniones de Hurwitz : un ejemplo de orden de anillos

Notas

1. Reiner (2003) pág. 108
2. Reiner (2003) págs. 108-109
3. Reiner (2003) pág. 110
4. Pohst y Zassenhaus (1989) pág. 22

Referencias

• Pohst, M.; Zassenhaus, H. (1989). Teoría algorítmica de números algebraicos . Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones. Vol. 30. Cambridge University Press . ISBN 0-521-33060-2.Zbl 0685.12001  .
• Reiner, I. (2003). Órdenes máximas . Monografías de la London Mathematical Society. Nueva serie. Vol. 28. Oxford University Press . ISBN. 0-19-852673-3.Zbl 1024.16008  .