teoremas de ratner

En matemáticas , los teoremas de Ratner son un grupo de teoremas importantes de la teoría ergódica sobre flujos unipotentes en espacios homogéneos demostrados por Marina Ratner alrededor de 1990. Los teoremas surgieron del trabajo anterior de Ratner sobre flujos horocíclicos . El estudio de la dinámica de los flujos unipotentes jugó un papel decisivo en la prueba de la conjetura de Oppenheim por parte de Grigory Margulis . Los teoremas de Ratner han guiado avances clave en la comprensión de la dinámica de los flujos unipotentes. Sus generalizaciones posteriores proporcionan formas de afinar los resultados y extender la teoría al establecimiento de grupos algebraicos semisimples arbitrarios en un campo local .

Breve descripción

El teorema de cierre de órbita de Ratner afirma que los cierres de órbitas de flujos unipotentes en el cociente de un grupo de Lie por una red son bonitos subconjuntos geométricos. El teorema de equidistribución de Ratner afirma además que cada una de esas órbitas está equidistribuida en su cierre. El teorema de clasificación de medidas de Ratner es la afirmación más débil de que toda medida de probabilidad invariante ergódica es homogénea o algebraica : esto resulta ser un paso importante hacia la demostración de la propiedad de equidistribución más general. No existe un acuerdo universal sobre los nombres de estos teoremas: se les conoce como "teorema de rigidez de la medida", "teorema de medidas invariantes" y su "versión topológica", etc.

La declaración formal de tal resultado es la siguiente. Sea un grupo de Lie , una red en y un subgrupo de un parámetro que consta de elementos unipotentes , con el flujo asociado en . Entonces el cierre de cada órbita es homogéneo. Esto significa que existe un subgrupo cerrado y conectado de tal que la imagen de la órbita para la acción de por traslación correcta bajo la proyección canónica de es cerrada, tiene una medida invariante finita y contiene el cierre de la órbita de como un subconjunto denso . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle u^{t}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \phi _{t}}$ ${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}\setminus G}$ ${\displaystyle \left\{xu^{t}\right\}}$ ${\displaystyle \phi _{t}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \,xS\,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\mathit {\Gamma }}\setminus G}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \phi _{t}}$ ${\displaystyle x}$

Ejemplo: S l 2 ( R ) {\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}

El caso más simple al que se aplica la afirmación anterior es . En este caso adopta la siguiente forma más explícita; Sea una celosía y un subconjunto cerrado que es invariante en todos los mapas donde . Entonces existe tal que (dónde ) o . ${\displaystyle G=SL_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle SL_{2}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle F\subset \Gamma \backslash G}$ ${\displaystyle \Gamma g\mapsto \Gamma (gu_{t})}$ ${\displaystyle u_{t}={\begin{pmatrix}1&t\\0&1\end{pmatrix}}}$ ${\displaystyle x\in \Gamma \backslash G}$ ${\displaystyle F=xU}$ ${\displaystyle U=\{u_{t},t\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle F=\Gamma \backslash G}$

En términos geométricos es un grupo fucsiano cofinito , por lo que el cociente del plano hiperbólico por es un orbifold hiperbólico de volumen finito. El teorema anterior implica que cada horociclo de tiene una imagen en la que es una curva cerrada (un horociclo alrededor de una cúspide de ) o densa en . ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle M=\Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \mathbb {H} ^{2}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Ver también

• conjunto de bailarines
• Teorema de equidistribución

Referencias

Exposiciones

• Morris, Dave Witte (2005). Teoremas de Ratner sobre flujos unipotentes . Conferencias de Matemáticas de Chicago. Chicago, IL: Prensa de la Universidad de Chicago. arXiv : matemáticas/0310402 . ISBN 978-0-226-53984-3. SEÑOR  2158954.
• Einsiedler, Manfred (2009). "¿Qué es... medir la rigidez?" (PDF) . Avisos de la AMS . 56 (5): 600–601.

Artículos originales seleccionados

• Ratner, Marina (1990). "Rigidez de medida estricta para subgrupos unipotentes de grupos solubles". Inventar. Matemáticas. 101 (2): 449–482. doi :10.1007/BF01231511. SEÑOR  1062971.
• Ratner, Marina (1990). "Sobre la medida de rigidez de subgrupos unipotentes de grupos semisimples". Acta Matemáticas. 165 (1): 229–309. doi : 10.1007/BF02391906 . SEÑOR  1075042.
• Ratner, Marina (1991). "Sobre la conjetura de la medida de Raghunathan". Ana. de Matemáticas. 134 (3): 545–607. doi :10.2307/2944357. JSTOR  2944357. SEÑOR  1135878.
• Ratner, Marina (1991). "Conjetura topológica de Raghunathan y distribuciones de flujos unipotentes". Duque Matemáticas. J. 63 (1): 235–280. doi :10.1215/S0012-7094-91-06311-8. SEÑOR  1106945.
• Ratner, Marina (1993). "Conjeturas de Raghunathan para grupos p-adic Lie". Avisos internacionales de investigación en matemáticas . 1993 (5): 141-146. doi : 10.1155/S1073792893000145 . SEÑOR  1219864.
• Ratner, Marina (1995). "Conjeturas de Raghunathan para productos cartesianos de grupos de Lie reales y p-ádicos". Duque Matemáticas. J. 77 (2): 275–382. doi :10.1215/S0012-7094-95-07710-2. SEÑOR  1321062.
• Margulis, Grigory A .; Tomanov, Georges M. (1994). "Medidas invariantes para acciones de grupos unipotentes sobre campos locales en espacios homogéneos". Inventar. Matemáticas. 116 (1): 347–392. doi :10.1007/BF01231565. SEÑOR  1253197.