En la aproximación diofántica , la conjetura de Oppenheim se refiere a representaciones de números mediante formas cuadráticas reales en varias variables. Fue formulada en 1929 por Alexander Oppenheim y posteriormente Harold Davenport y Oppenheim reforzaron aún más la propiedad conjeturada . La investigación inicial sobre este problema consideró que el número n de variables era grande y aplicó una versión del método del círculo de Hardy-Littlewood . El trabajo definitivo de Margulis , zanjando afirmativamente la conjetura, utilizó métodos surgidos de la teoría ergódica y del estudio de subgrupos discretos de grupos de Lie semisimples .
El teorema de Meyer establece que una forma cuadrática integral indefinida Q en n variables, n ≥ 5, representa de manera no trivial cero, es decir, existe un vector x distinto de cero con componentes enteros tales que Q ( x ) = 0. La conjetura de Oppenheim puede verse como un análogo de esta afirmación para las formas Q que no son múltiplos de una forma racional. Afirma que en este caso, el conjunto de valores de Q en vectores enteros es un subconjunto denso de la recta real .
Oppenheim y Harold Davenport formularon varias versiones de la conjetura .
Para n ≥ 5 esto fue conjeturado por Oppenheim en 1929; la versión más fuerte se debe a Davenport en 1946.
Esto fue conjeturado por Oppenheim en 1953 y demostrado por Birch, Davenport y Ridout para n al menos 21, y por Davenport y Heilbronn para formas diagonales en cinco variables. Otros resultados parciales se deben a Oppenheim (para formas en cuatro variables, pero bajo la fuerte restricción de que la forma representa cero sobre Z ), Watson, Iwaniec, Baker–Schlickewey. Trabajos iniciales de teoría analítica de números y teoría de reducción de formas cuadráticas.
La conjetura fue demostrada en 1987 por Margulis con total generalidad utilizando métodos de la teoría ergódica. En este enfoque juega un papel decisivo la geometría de las acciones de ciertos subgrupos unipotentes del grupo ortogonal sobre el espacio homogéneo de las redes en R 3 . Es suficiente establecer el caso n = 3. La idea de derivar la conjetura de Oppenheim a partir de una afirmación sobre acciones grupales homogéneas suele atribuirse a MS Raghunathan , quien observó en la década de 1970 que la conjetura para n = 3 es equivalente a la siguiente propiedad del espacio de celosías:
Sin embargo, Margulis comentó más tarde que, de forma implícita, esta equivalencia ya se producía en un artículo de 1955 de Cassels y HPF Swinnerton-Dyer , aunque en un idioma diferente.
Poco después del avance de Margulis, Dani y Margulis simplificaron y generalizaron la prueba. Eskin-Margulis-Mozes demostró posteriormente versiones cualitativas de la conjetura de Oppenheim. Borel y Prasad establecieron algunos S -análogos aritméticos. El estudio de las propiedades de los flujos unipotentes y cuasiunipotentes en espacios homogéneos sigue siendo un área de investigación activa, con aplicaciones a otras cuestiones de la teoría de la aproximación diofántica .