Barrio de la cúspide

Vecindario de una singularidad de tipo cúspide

En matemáticas , un vecindario de cúspide se define como un conjunto de puntos cerca de una singularidad de cúspide . ^[1]

Vecindario de cúspides para una superficie de Riemann

El vecindario de la cúspide de una superficie de Riemann hiperbólica se puede definir en términos de su modelo fuchsiano . ^[2]

Supongamos que el grupo fuchsiano G contiene un elemento parabólico g. Por ejemplo, el elemento t ∈ SL(2, Z ) donde

${\displaystyle t(z)={\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}}:z={\frac {1\cdot z+1}{0\cdot z+1}}=z+1}$

es un elemento parabólico. Nótese que todos los elementos parabólicos de SL(2, C ) son conjugados a este elemento. Es decir, si g ∈ SL(2, Z ) es parabólico, entonces para algún h ∈ SL(2, Z ). ${\displaystyle g=h^{-1}th}$

El conjunto

${\displaystyle U=\{z\in \mathbf {H} :\Im z>1\}}$

donde H es el semiplano superior tiene

${\displaystyle \gamma (U)\cap U=\emptyset }$

Para cualquier lugar se entiende el grupo generado por g . Es decir, γ actúa propiamente de manera discontinua sobre U . Por ello, se puede ver que la proyección de U sobre H / G es entonces ${\displaystyle \gamma \in G-\langle g\rangle }$ ${\displaystyle \langle g\rangle }$

${\displaystyle E=U/\langle g\rangle }$.

Aquí, E se denomina vecindad de la cúspide correspondiente a g .

Nótese que el área hiperbólica de E es exactamente 1, cuando se calcula utilizando la métrica canónica de Poincaré . Esto se ve más fácilmente con un ejemplo: considere la intersección de U definida anteriormente con el dominio fundamental

${\displaystyle \left\{z\in H:\left|z\right|>1,\,\left|\,{\mbox{Re}}(z)\,\right|<{\frac {1}{2}}\right\}}$

del grupo modular , como sería apropiado para la elección de T como elemento parabólico. Cuando se integra sobre el elemento de volumen

${\displaystyle d\mu ={\frac {dxdy}{y^{2}}}}$

El resultado es trivialmente 1. Las áreas de todos los vecindarios de las cúspides son iguales a esto, por la invariancia del área bajo conjugación.

Véase también

• Forma de cúspide

Referencias

1. Fujikawa, Ege; Shiga, Hiroshige; Taniguchi, Masahiko (2004). "Sobre la acción del grupo de clases de aplicación para superficies de Riemann de tipo infinito". Revista de la Sociedad Matemática de Japón . 56 (4): 1069–1086. doi :10.2969/jmsj/1190905449.
2. Basmajian, Ara (1992). "Generalización del lema del collar hiperbólico". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 27 (1): 154–158. arXiv : math/9207211 . doi :10.1090/S0273-0979-1992-00298-7. ISSN  0273-0979.