Forma modular de Siegel

Tipo principal de forma automorfa en matemáticas

En matemáticas , las formas modulares de Siegel son un tipo importante de forma automórfica . Estas generalizan las formas modulares elípticas convencionales que están estrechamente relacionadas con las curvas elípticas . Las variedades complejas construidas en la teoría de las formas modulares de Siegel son variedades modulares de Siegel , que son modelos básicos de lo que debería ser un espacio de módulos para variedades abelianas (con alguna estructura de nivel adicional ) y se construyen como cocientes del semiespacio superior de Siegel en lugar del semiplano superior mediante grupos discretos .

Las formas modulares de Siegel son funciones holomorfas en el conjunto de matrices simétricas n × n con parte imaginaria definida positiva ; las formas deben satisfacer una condición de automorfía. Las formas modulares de Siegel pueden considerarse como formas modulares multivariables, es decir, como funciones especiales de varias variables complejas .

Las formas modulares de Siegel fueron investigadas por primera vez por Carl Ludwig Siegel  (1939) con el propósito de estudiar analíticamente las formas cuadráticas . Estas surgen principalmente en varias ramas de la teoría de números , como la geometría aritmética y la cohomología elíptica . Las formas modulares de Siegel también se han utilizado en algunas áreas de la física , como la teoría de campos conformes y la termodinámica de agujeros negros en la teoría de cuerdas .

Definición

Preliminares

Dejar y definir ${\displaystyle g,N\in \mathbb {N} }$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}=\left\{\tau \in M_{g\times g}(\mathbb {C} )\ {\big |}\ \tau ^{\mathrm {T} }=\tau ,{\textrm {Im}}(\tau ){\text{ positive definite}}\right\},}$

el semiespacio superior de Siegel . Defina el grupo simpléctico de nivel , denotado por como ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \Gamma _{g}(N),}$

${\displaystyle \Gamma _{g}(N)=\left\{\gamma \in GL_{2g}(\mathbb {Z} )\ {\big |}\ \gamma ^{\mathrm {T} }{\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\gamma ={\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}},\ \gamma \equiv I_{2g}\mod N\right\},}$

donde es la matriz identidad . Finalmente, sea ${\displaystyle I_{g}}$ ${\displaystyle g\times g}$

${\displaystyle \rho :{\textrm {GL}}_{g}(\mathbb {C} )\rightarrow {\textrm {GL}}(V)}$

sea ​​una representación racional , donde es un espacio vectorial complejo de dimensión finita . ${\displaystyle V}$

Forma modular de Siegel

Dado

${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

y

${\displaystyle \gamma \in \Gamma _{g}(N),}$

definir la notación

${\displaystyle (f{\big |}\gamma )(\tau )=(\rho (C\tau +D))^{-1}f(\gamma \tau ).}$

Entonces una función holomorfa

${\displaystyle f:{\mathcal {H}}_{g}\rightarrow V}$

es una forma modular de Siegel de grado (a veces llamado género), peso y nivel si ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle (f{\big |}\gamma )=f}$

para todos . En el caso de que , requerimos además que sea holomorfo 'en el infinito'. Esta suposición no es necesaria para debido al principio de Koecher, explicado a continuación. Denotemos el espacio de peso , grado y nivel como formas modulares de Siegel por ${\displaystyle \gamma \in \Gamma _{g}(N)}$ ${\displaystyle g=1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g>1}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle M_{\rho }(\Gamma _{g}(N)).}$

Ejemplos

Algunos métodos para construir formas modulares de Siegel incluyen:

• Serie de Eisenstein
• Funciones theta de redes y series theta de Siegel
• Saito–Kurokawa asciende al nivel 2
• Ascensor Ikeda
• Ascensor Miyawaki
• Productos de formas modulares Siegel.

Nivel 1, grado pequeño

Para el grado 1, las formas modulares de Siegel de nivel 1 son las mismas que las formas modulares de nivel 1. El anillo de dichas formas es un anillo polinomial C [ E ₄ , E ₆ ] en la serie de Eisenstein (de grado 1) E ₄ y E ₆ .

Para el grado 2, (Igusa 1962, 1967) demostró que el anillo de formas modulares de Siegel de nivel 1 es generado por las series de Eisenstein (grado 2) E ₄ y E ₆ y 3 formas más de pesos 10, 12 y 35. El ideal de relaciones entre ellas es generado por el cuadrado de la forma de peso 35 menos un cierto polinomio en las otras.

Para el grado 3, Tsuyumine (1986) describió el anillo de formas modulares de Siegel de nivel 1, dando un conjunto de 34 generadores.

Para el grado 4, se han encontrado las formas modulares de Siegel de nivel 1 de pesos pequeños. No hay formas de cúspide de pesos 2, 4 o 6. El espacio de formas de cúspide de peso 8 es unidimensional, abarcado por la forma Schottky . El espacio de formas de cúspide de peso 10 tiene dimensión 1, el espacio de formas de cúspide de peso 12 tiene dimensión 2, el espacio de formas de cúspide de peso 14 tiene dimensión 3 y el espacio de formas de cúspide de peso 16 tiene dimensión 7 (Poor & Yuen 2007) .Error de harv: no hay destino: CITEREFPoorYuen2007 ( ayuda )

Para el grado 5, el espacio de formas de cúspide tiene dimensión 0 para peso 10, dimensión 2 para peso 12. El espacio de formas de peso 12 tiene dimensión 5.

Para el grado 6, no hay formas de cúspide de pesos 0, 2, 4, 6, 8. El espacio de formas modulares de Siegel de peso 2 tiene dimensión 0, y las de pesos 4 o 6 tienen ambas dimensión 1.

Nivel 1, peso pequeño

Para pesos pequeños y nivel 1, Duke e Imamoḡlu (1998) dan los siguientes resultados (para cualquier grado positivo):

• Peso 0: El espacio de formas es unidimensional, abarcado por 1.
• Peso 1: La única forma modular de Siegel es 0.
• Peso 2: La única forma modular de Siegel es 0.
• Peso 3: La única forma modular de Siegel es 0.
• Peso 4: Para cualquier grado, el espacio de formas de peso 4 es unidimensional, abarcado por la función theta de la red E ₈ (de grado apropiado). La única forma de cúspide es 0.
• Peso 5: La única forma modular de Siegel es 0.
• Peso 6: El espacio de formas de peso 6 tiene dimensión 1 si el grado es como máximo 8, y dimensión 0 si el grado es como mínimo 9. La única forma cúspide es 0.
• Peso 7: El espacio de formas de cúspide desaparece si el grado es 4 o 7.
• Peso 8: En el género 4, el espacio de formas de cúspide es unidimensional, abarcado por la forma Schottky y el espacio de formas es bidimensional. No hay formas de cúspide si el género es 8.
• No hay formas de cúspide si el género es mayor que el doble del peso.

Tabla de dimensiones de espacios de formas modulares Siegel de nivel 1

La siguiente tabla combina los resultados anteriores con información de Poor y Yuen (2006) , Chenevier y Lannes (2014) y Taïbi (2014).Error de harvtxt: no hay destino: CITEREFPoorYuen2006 ( ayuda )

Principio de Koecher

El teorema conocido como principio de Koecher establece que si es una forma modular de Siegel de peso , nivel 1 y grado , entonces está acotado en subconjuntos de de la forma ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g>1}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$

${\displaystyle \left\{\tau \in {\mathcal {H}}_{g}\ |{\textrm {Im}}(\tau )>\epsilon I_{g}\right\},}$

donde . El corolario de este teorema es el hecho de que las formas modulares de Siegel de grado tienen expansiones de Fourier y, por lo tanto, son holomorfas en el infinito. ^[1] ${\displaystyle \epsilon >0}$ ${\displaystyle g>1}$

Aplicaciones a la física

En el sistema D1D5P de agujeros negros supersimétricos en la teoría de cuerdas, la función que captura naturalmente los microestados de la entropía del agujero negro es una forma modular de Siegel. ^[2] En general, se ha descrito que las formas modulares de Siegel tienen el potencial de describir agujeros negros u otros sistemas gravitacionales. ^[2]

Las formas modulares de Siegel también tienen usos como funciones generadoras para familias de CFT2 con carga central creciente en la teoría de campos conforme , particularmente la correspondencia hipotética AdS/CFT . ^[3]

Referencias

1. Esto fue demostrado por Max Koecher , Zur Theorie der Modulformen n-ten Grades I , Mathematische. Zeitschrift 59 (1954), 455–466. Un principio correspondiente para las formas modulares de Hilbert aparentemente se conocía antes, después de Fritz Gotzky, Uber eine zahlentheoretische Anwendung von Modulfunktionen zweier Veranderlicher , Math. Ana. 100 (1928), págs.411-37
2. Belin, Alexandre; Castro, Alejandra; Gomes, João; Keller, Christoph A. (11 de abril de 2017). "Formas modulares de Siegel y entropía de agujeros negros". Journal of High Energy Physics . 2017 (4): 57. arXiv : 1611.04588 . Bibcode :2017JHEP...04..057B. doi :10.1007/JHEP04(2017)057. S2CID  256037311.
3. Belin, Alexandre; Castro, Alejandra; Gomes, João; Keller, Christoph A. (7 de noviembre de 2018). "Formas paramodulares de Siegel y escasez en AdS3/CFT2". Journal of High Energy Physics . 2018 (11): 37. arXiv : 1805.09336 . Código Bibliográfico :2018JHEP...11..037B. doi :10.1007/JHEP11(2018)037. S2CID  256040660.

• Chenevier, Gaëtan; Lannes, Jean (2014), Formes automorphes et voisins de Kneser des réseaux de Niemeier , arXiv : 1409.7616 , Bibcode :2014arXiv1409.7616C
• Duke, W.; Imamoḡlu, Ö. (1998), "Formas modulares de Siegel de peso reducido", Math. Ann. , 310 (1): 73–82, doi :10.1007/s002080050137, MR  1600030, S2CID  122219495
• Freitag, E. (1983), Siegelsche Modulfunktionen , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, vol. 254. Springer-Verlag, Berlín, doi :10.1007/978-3-642-68649-8, ISBN 978-3-540-11661-5, Sr.  0871067{{citation}}: Mantenimiento de CS1: falta la ubicación del editor ( enlace )
• van der Geer, Gerard (2008), "Las formas modulares de Siegel y sus aplicaciones", The 1-2-3 of modular forms, 181–245 , Universitext, Berlín: Springer, págs. 181–245, arXiv : math/0605346 , doi :10.1007/978-3-540-74119-0_3, ISBN 978-3-540-74117-6, Sr.  2409679
• Igusa, Jun-ichi (1962), "Sobre las formas modulares de género dos de Siegel", Amer. J. Math. , 84 (1): 175–200, doi :10.2307/2372812, JSTOR  2372812, MR  0141643
• Klingen, Helmut (2003), Conferencias introductorias sobre formas modulares de Siegel , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35052-5
• Siegel, Carl Ludwig (1939), "Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades", Matemáticas. Ana. , 116 : 617–657, doi : 10.1007/bf01597381, SEÑOR  0001251, S2CID  124337559
• Taïbi, Olivier (2014), Dimensiones de espacios de formas automórficas de nivel uno para grupos clásicos divididos utilizando la fórmula de traza , arXiv : 1406.4247 , Bibcode :2014arXiv1406.4247T
• Tsuyumine, Shigeaki (1986), "Sobre las formas modulares de Siegel de grado tres", Amer. J. Math. , 108 (4): 755–862, doi :10.2307/2374517, JSTOR  2374517, MR  0853217