Ascensor Saito-Kurokawa

En matemáticas, el levantamiento de Saito-Kurokawa (o levantamiento ) toma formas modulares elípticas hasta formas modulares de Siegel de grado 2. La existencia de este levantamiento fue conjeturada en 1977 de forma independiente por Hiroshi Saito y Nobushige Kurokawa  (1978). Su existencia fue casi demostrada por Maass  (1979a, 1979b, 1979c), y Andrianov (1979) y Zagier (1981) completaron la prueba.

Declaración

La elevación de Saito–Kurokawa σ _k toma formas modulares de nivel 1 f de peso 2 k  − 2 a formas modulares de Siegel de nivel 1 de grado 2 y peso k . Las funciones L (cuando f es una forma propia de Hecke) están relacionadas por L ( s , σ _k ( f )) = ζ( s  −  k  + 2)ζ( s  −  k  + 1) L ( s ,  f ).

El ascensor Saito-Kurokawa se puede construir como la composición de los tres mapeos siguientes:

1. La correspondencia de Shimura de formas modulares de nivel 1 de peso 2 k  − 2 a un espacio de formas modulares de nivel 4 de peso k  − 1/2 en el espacio positivo de Kohnen.
2. Una función del espacio plus de Kohnen al espacio de formas de Jacobi de índice 1 y peso  k , estudiada por Eichler y Zagier.
3. Una función del espacio de formas de Jacobi de índice 1 y peso k a las formas modulares de Siegel de grado 2, introducidas por Maass.

El levantamiento Saito-Kurokawa se puede generalizar a formas de nivel superior.

La imagen es la Spezialschar (banda especial), el espacio de formas modulares de Siegel cuyos coeficientes de Fourier satisfacen

${\displaystyle a{\begin{pmatrix}n&t/2\\t/2&m\end{pmatrix}}=\sum _{d\mid t,m,n}d^{k-1}a{\begin{pmatrix}1&t/2d\\t/2d&nm/d^{2}\end{pmatrix}}.}$

Véase también

• Elevación Doi-Naganuma , una elevación similar a las formas modulares de Hilbert.
• Ascensor de Ikeda , una generalización a las formas modulares de Siegel de grado superior.

Referencias

• Andrianov, Anatolii N. (1979), "Descendencia modular y la conjetura de Saito-Kurokawa", Invent. Math. , 53 (3): 267–280, doi :10.1007/BF01389767, MR  0549402
• Kurokawa, Nobushige (1978), "Ejemplos de valores propios de operadores de Hecke en formas de cúspide de Siegel de grado dos", Invent. Math. , 49 (2): 149–165, doi :10.1007/bf01403084, MR  0511188
• Maass, Hans (1979a), "Über eine Spezialschar von Modulformen zweiten Grades", Invent. Matemáticas. , 52 (1): 95–104, doi :10.1007/bf01389857, SEÑOR  0532746
• Maass, Hans (1979b), "Über eine Spezialschar von Modulformen zweiten Grades. II", Invent. Matemáticas. , 53 (3): 249–253, doi :10.1007/bf01389765, SEÑOR  0549400
• Maass, Hans (1979c), "Über eine Spezialschar von Modulformen zweiten Grades. III", Invent. Matemáticas. , 53 (3): 255–265, doi :10.1007/bf01389766, SEÑOR  0549401
• Zagier, D. (1981), "Sur la conjecture de Saito-Kurokawa (d'après H. Maass)", Seminario sobre teoría de números, París 1979–80 , Progr. Matemáticas, vol. 12, Boston, Mass.: Birkhäuser, págs. 371–394, SEÑOR  0633910