3 colectores hiperbólicos aritméticos

En matemáticas , más precisamente en teoría de grupos y geometría hiperbólica , los grupos aritméticos kleinianos son una clase especial de grupos kleinianos construidos utilizando órdenes en álgebras de cuaterniones . Son casos particulares de grupos aritméticos . Una triple variedad hiperbólica aritmética es el cociente del espacio hiperbólico por un grupo kleiniano aritmético. ${\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}$

Definición y ejemplos

Álgebras de cuaterniones

Un álgebra de cuaterniones sobre un campo es un álgebra central simple de cuatro dimensiones . Un álgebra de cuaterniones tiene una base donde y . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle 1,i,j,ij}$ ${\displaystyle i^{2},j^{2}\in F^{\times }}$ ${\displaystyle ij=-ji}$

Se dice que un álgebra de cuaterniones está dividido si es isomorfo como un álgebra del álgebra de matrices ; un álgebra de cuaterniones sobre un campo algebraicamente cerrado siempre está dividido. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle M_{2}(F)}$

Si es una incrustación de en un campo, lo denotaremos mediante el álgebra obtenida extendiendo escalares desde hasta donde lo vemos como un subcampo de vía . ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle A\otimes _{\sigma }E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \sigma }$

Grupos aritméticos kleinianos

Se dice que un subgrupo de se deriva de un álgebra de cuaterniones si se puede obtener mediante la siguiente construcción. Sea un campo numérico que tiene exactamente dos incrustaciones en cuya imagen no está contenida (una conjugada con la otra). Sea un álgebra de cuaterniones tal que para cualquier incrustación el álgebra sea isomorfa a los cuaterniones de Hamilton . A continuación necesitamos un pedido en . Sea el grupo de elementos en de norma reducida 1 y sea su imagen en vía . Luego consideramos el grupo kleiniano obtenido como la imagen en de . ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \tau :F\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle A\otimes _{\tau }\mathbb {R} }$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}^{1}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle M_{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \phi ({\mathcal {O}}^{1})}$

El hecho principal acerca de estos grupos es que son subgrupos discretos y tienen un covolumen finito para la medida de Haar . Además, la construcción anterior produce un subgrupo cocompacto si y sólo si el álgebra no se divide . La discreción es una consecuencia bastante inmediata del hecho de que sólo se divide en sus complejas incrustaciones. La finitud del covolumen es más difícil de demostrar. ^[1] ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$

Un grupo aritmético kleiniano es cualquier subgrupo que sea conmensurable a un grupo derivado de un álgebra de cuaterniones. De esta definición se deduce inmediatamente que los grupos aritméticos kleinianos son discretos y de covolumen finito (esto significa que son retículos en ). ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {C} )}$

Ejemplos

Se proporcionan ejemplos tomando como campo cuadrático imaginario y donde está el anillo de números enteros de ( por ejemplo y ). Los grupos así obtenidos son los grupos Bianchi . No son cocompactos, y cualquier grupo aritmético kleiniano que no sea conmensurable a un conjugado de un grupo de Bianchi es cocompacto. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A=M_{2}(F)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}=M_{2}(O_{F})}$ ${\displaystyle O_{F}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F=\mathbb {Q} (i)}$ ${\displaystyle O_{F}=\mathbb {Z} [i]}$

Si hay algún álgebra de cuaterniones sobre un campo numérico cuadrático imaginario que no es isomorfo a un álgebra matricial, entonces los grupos unitarios de órdenes son cocompactos. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle A}$

Campo de seguimiento de variedades aritméticas.

El campo de trazas invariante de un grupo kleiniano (o, a través de la imagen monodromía del grupo fundamental, de una variedad hiperbólica) es el campo generado por las trazas de los cuadrados de sus elementos. En el caso de una variedad aritmética cuyos grupos fundamentales son conmensurables con los de una variedad derivada de un álgebra de cuaterniones sobre un campo numérico, el campo de traza invariante es igual a . ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F}$

De hecho, se pueden caracterizar variedades aritméticas a través de las huellas de los elementos de su grupo fundamental. Un grupo kleiniano es un grupo aritmético si y sólo si se cumplen las tres condiciones siguientes:

• Su campo de traza invariante es un campo numérico con exactamente un lugar complejo; ${\displaystyle F}$
• Las trazas de sus elementos son números enteros algebraicos ;
• Para cualquier miembro del grupo y cualquier incorporación que tengamos . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t=\mathrm {Trace} (\gamma ^{2})}$ ${\displaystyle \sigma :F\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle |\sigma (t)|\leq 2}$

Geometría y espectro de tres variedades hiperbólicas aritméticas.

Fórmula de volumen

Para el volumen de una variedad aritmética triple derivada de un orden máximo en un álgebra de cuaterniones sobre un campo numérico tenemos la expresión: ^[2] ${\displaystyle M=\Gamma _{\mathcal {O}}\backslash \mathbb {H} ^{3}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle f}$

$${\displaystyle \mathrm {vol} (M)={\frac {2|D_{F}|^{\frac {3}{2}}\cdot \zeta _{F}(2)}{2^{2r+1}\cdot \pi ^{2r}}}\cdot \prod _{{\mathfrak {p}}|D_{A}}(N({\mathfrak {p}})-1).}$$

discriminantesfunción zeta de Dedekind ${\displaystyle D_{A},D_{F}}$ ${\displaystyle A,F}$ ${\displaystyle \zeta _{F}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle r=[F:\mathbb {Q} ]}$

Resultados de finitud

Una consecuencia de la fórmula del volumen del párrafo anterior es que

Dado que hay, como máximo, un número finito de 3 variedades hiperbólicas aritméticas con un volumen inferior a . ${\displaystyle v>0}$ ${\displaystyle v}$

Esto contrasta con el hecho de que la cirugía hiperbólica de Dehn se puede utilizar para producir infinitas variedades 3 hiperbólicas no isométricas con volumen acotado. En particular, un corolario es que, dada una variedad hiperbólica en cúspide, como mucho un número finito de cirugías de Dehn pueden producir una variedad hiperbólica aritmética.

Notable triple variedad aritmética hiperbólica

La variedad de Weeks es la variedad triple hiperbólica de menor volumen ^[3] y la variedad de Meyerhoff es la de siguiente volumen más pequeño.

El complemento en las tres esferas del nudo en forma de ocho es una triple variedad hiperbólica aritmética ^[4] y alcanza el volumen más pequeño entre todas las tres variedades hiperbólicas en cúspide. ^[5]

Conjeturas de espectro y Ramanujan

La conjetura de Ramanujan para formas automórficas en un campo numérico implicaría que para cualquier cobertura de congruencia de una variedad aritmética triple (derivada de un álgebra de cuaterniones), el espectro del operador de Laplace está contenido en . ${\displaystyle \mathrm {GL} (2)}$ ${\displaystyle [1,+\infty )}$

Variedades aritméticas en topología tridimensional.

Muchas de las conjeturas de Thurston (por ejemplo, la conjetura virtual de Haken ), ahora todas conocidas como verdaderas tras el trabajo de Ian Agol , ^[6] fueron verificadas primero para variedades aritméticas mediante el uso de métodos específicos. ^[7] En algunos casos aritméticos, la conjetura virtual de Haken se conoce por medios generales, pero no se sabe si se puede llegar a su solución por medios puramente aritméticos (por ejemplo, encontrando un subgrupo de congruencia con un primer número de Betti positivo).

Las variedades aritméticas se pueden utilizar para dar ejemplos de variedades con un gran radio de inyectividad cuyo primer número de Betti desaparece. ^{[8] [9]}

Una observación de William Thurston es que las variedades aritméticas "...a menudo parecen tener una belleza especial". ^[10] Esto puede corroborarse con resultados que muestran que la relación entre topología y geometría para estas variedades es mucho más predecible que en general. Por ejemplo:

• Para un género dado g hay, como máximo, un número finito de 3 variedades hiperbólicas aritméticas (congruencia) que se forman sobre el círculo con una fibra de género g . ^[11]
• Hay, como máximo, un número finito de 3 variedades hiperbólicas aritméticas (congruencia) con un género Heegaard determinado. ^[12]

Notas

1. Maclachlan y Reid 2003, Teorema 8.1.2.
2. Maclachlan y Reid 2003, Teorema 11.1.3.
3. Milley, Peter (2009). "3 colectores hiperbólicos de volumen mínimo". Revista de topología . 2 : 181-192. arXiv : 0809.0346 . doi :10.1112/jtopol/jtp006. SEÑOR  2499442. S2CID  3095292.
4. Riley, Robert (1975). "Un grupo parabólico cuadrático". Matemáticas. Proc. Filosofía de Cambridge. Soc . 77 (2): 281–288. Código Bib : 1975MPCPS..77..281R. doi :10.1017/s0305004100051094. SEÑOR  0412416.
5. Cao, Chun; Meyerhoff, G. Robert (2001). "Las 3 variedades hiperbólicas cúspides orientables de volumen mínimo". Inventar. Matemáticas . 146 (3): 451–478. Código Bib : 2001 InMat.146..451C. doi :10.1007/s002220100167. SEÑOR  1869847. S2CID  123298695.
6. Agol, Ian (2013). "La conjetura virtual de Haken". Documenta Matemática . 18 . Con un apéndice de Ian Agol, Daniel Groves y Jason Manning: 1045–1087. SEÑOR  3104553.
7. Lackenby, Marc; Largo, Darren D.; Reid, Alan W. (2008). "Cubriendo espacios de 3 órbitas aritméticas". Avisos internacionales de investigación en matemáticas . 2008 . arXiv : matemáticas/0601677 . doi : 10.1093/imrn/rnn036. SEÑOR  2426753.
8. Calegari, Frank; Dunfield, Nathan (2006). "Formas automórficas y homología racional 3 esferas". Geometría y topología . 10 : 295–329. arXiv : matemáticas/0508271 . doi :10.2140/gt.2006.10.295. SEÑOR  2224458. S2CID  5506430.
9. Boston, Nigel; Ellenberg, Jordania (2006). "Grupos pro-p y torres de esferas de homología racional". Geometría y topología . 10 : 331–334. arXiv : 0902.4567 . doi :10.2140/gt.2006.10.331. SEÑOR  2224459. S2CID  14889934.
10. Thurston, William (1982). "Variedades tridimensionales, grupos kleinianos y geometría hiperbólica". Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense . 6 (3): 357–381. doi : 10.1090/s0273-0979-1982-15003-0 .
11. Biringer, Ian; Souto, Juan (2011). "Un teorema de finitud para 3 variedades hiperbólicas". J. Matemáticas de Londres. Soc . Segunda Serie. 84 : 227–242. arXiv : 0901.0300 . doi :10.1112/jlms/jdq106. S2CID  11488751.
12. Grómov, Misha ; Guth, Larry (2012). "Generalizaciones de las estimaciones de incorporación de Kolmogorov-Barzdin". Duque Matemáticas. J.​ 161 (13): 2549–2603. arXiv : 1103.3423 . doi :10.1215/00127094-1812840. S2CID  7295856.

Referencias

• Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (2003), La aritmética de 3 variedades hiperbólicas, Textos de Posgrado en Matemáticas, vol. 219, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-98386-8, señor  1937957