William Paul Thurston (30 de octubre de 1946 – 21 de agosto de 2012) fue un matemático estadounidense . Fue pionero en el campo de la topología de baja dimensión y recibió la Medalla Fields en 1982 por sus contribuciones al estudio de las 3-variedades .
Thurston fue profesor de matemáticas en la Universidad de Princeton , la Universidad de California en Davis y la Universidad de Cornell . También fue director del Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas .
William Thurston nació en Washington, DC , hijo de Margaret Thurston ( de soltera Martt ), costurera, y Paul Thurston, ingeniero aeronáutico. [1] William Thurston sufrió estrabismo congénito cuando era niño, lo que le causó problemas con la percepción de profundidad. [1] Su madre trabajó con él cuando era un niño pequeño para reconstruir imágenes tridimensionales a partir de imágenes bidimensionales. [1]
Recibió su licenciatura en el New College en 1967 como parte de su clase inaugural. [1] [2] Para su tesis de licenciatura, desarrolló una base intuicionista para la topología. [3] Después de esto, recibió un doctorado en matemáticas de la Universidad de California, Berkeley con Morris Hirsch , con su tesis Foliaciones de tres variedades que son haces circulares en 1972. [1] [4]
Después de completar su doctorado, Thurston pasó un año en el Instituto de Estudios Avanzados , [1] [5] y luego otro año en el Instituto Tecnológico de Massachusetts como profesor asistente. [1]
En 1974, Thurston fue nombrado profesor titular en la Universidad de Princeton . [1] [6] Regresó a Berkeley en 1991 para ser profesor (1991-1996) y también fue director del Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas (MSRI) de 1992 a 1997. [1] [7] Fue miembro del cuerpo docente de la UC Davis desde 1996 hasta 2003, cuando se trasladó a la Universidad de Cornell . [1]
Thurston fue uno de los primeros en adoptar la informática en la investigación de las matemáticas puras. [1] Inspiró a Jeffrey Weeks a desarrollar el programa informático SnapPea . [1]
Durante la dirección de Thurston en el MSRI, el instituto introdujo varios programas educativos innovadores que desde entonces se han convertido en estándar para los institutos de investigación. [1]
Entre sus estudiantes de doctorado se incluyen Danny Calegari , Richard Canary , David Gabai , William Goldman , Benson Farb , Richard Kenyon , Steven Kerckhoff , Yair Minsky , Igor Rivin , Oded Schramm , Richard Schwartz , William Floyd y Jeffrey Weeks. [8]
Sus primeros trabajos, a principios de los años 1970, se centraron principalmente en la teoría de la foliación . Entre sus resultados más significativos se incluyen:
De hecho, Thurston resolvió tantos problemas pendientes en la teoría de la foliación en un período de tiempo tan corto que provocó un éxodo del campo, donde los asesores aconsejaron a los estudiantes no dedicarse a la teoría de la foliación, [9] porque Thurston estaba "limpiando el tema" (ver "Sobre la prueba y el progreso en las matemáticas", especialmente la sección 6 [10] ).
Su trabajo posterior, que comenzó alrededor de mediados de la década de 1970, reveló que la geometría hiperbólica desempeñaba un papel mucho más importante en la teoría general de las 3-variedades de lo que se creía anteriormente. Antes de Thurston, solo había un puñado de ejemplos conocidos de 3-variedades hiperbólicas de volumen finito, como el espacio de Seifert-Weber . Los enfoques independientes y distintos de Robert Riley y Troels Jørgensen a mediados y fines de la década de 1970 mostraron que tales ejemplos eran menos atípicos de lo que se creía anteriormente; en particular, su trabajo mostró que el complemento del nudo en forma de ocho era hiperbólico . Este fue el primer ejemplo de un nudo hiperbólico .
Inspirado por su trabajo, Thurston adoptó un método diferente y más explícito para mostrar la estructura hiperbólica del complemento del nudo en forma de ocho . Demostró que el complemento del nudo en forma de ocho podía descomponerse como la unión de dos tetraedros hiperbólicos ideales regulares cuyas estructuras hiperbólicas coincidían correctamente y daban la estructura hiperbólica en el complemento del nudo en forma de ocho. Utilizando las técnicas de superficie normal de Haken , clasificó las superficies incompresibles en el complemento del nudo. Junto con su análisis de las deformaciones de las estructuras hiperbólicas, concluyó que todas las cirugías de Dehn en el nudo en forma de ocho, excepto 10, dieron como resultado variedades 3- irreducibles , no Haken ni fibras de Seifert . Estos fueron los primeros ejemplos de este tipo; anteriormente se había creído que, a excepción de ciertos espacios de fibras de Seifert, todas las variedades 3-irreducibles eran Haken. Estos ejemplos eran en realidad hiperbólicos y motivaron su siguiente teorema.
Thurston demostró que, de hecho, la mayoría de las obturaciones de Dehn en una variedad 3-hiperbólica con cúspide dieron como resultado variedades 3-hiperbólicas. Este es su célebre teorema de la cirugía hiperbólica de Dehn .
Para completar el cuadro, Thurston demostró un teorema de hiperbolización para las variedades de Haken . Un corolario particularmente importante es que muchos nudos y enlaces son, de hecho, hiperbólicos. Junto con su teorema de cirugía hiperbólica de Dehn, esto demostró que las 3-variedades hiperbólicas cerradas existían en gran abundancia.
El teorema de hiperbolización para las variedades de Haken se ha denominado el teorema del monstruo de Thurston, debido a la extensión y dificultad de la prueba. Las pruebas completas no se escribieron hasta casi 20 años después. La prueba implica una serie de ideas profundas y originales que han vinculado muchos campos aparentemente dispares a las 3-variedades .
Thurston fue luego llevado a formular su conjetura de geometrización . Esto dio una imagen conjetural de las 3-variedades que indicaba que todas las 3-variedades admitían un cierto tipo de descomposición geométrica que involucraba ocho geometrías, ahora llamadas geometrías del modelo de Thurston. La geometría hiperbólica es la geometría más frecuente en esta imagen y también la más complicada. La conjetura fue demostrada por Grigori Perelman en 2002-2003. [11] [12]
Thurston y Dennis Sullivan generalizaron la conjetura de densidad de Lipman-Bers desde grupos de superficies kleinianas degeneradas simples a todos los grupos kleinianos finitamente generados a fines de la década de 1970 y principios de la de 1980. [13] [14] La conjetura establece que cada grupo kleiniano finitamente generado es un límite algebraico de grupos kleinianos geométricamente finitos , y fue probada independientemente por Ohshika y Namazi–Souto en 2011 y 2012 respectivamente. [13] [14]
En su trabajo sobre la cirugía hiperbólica de Dehn, Thurston se dio cuenta de que las estructuras orbifold surgían de forma natural. Tales estructuras habían sido estudiadas antes de Thurston, pero su trabajo, en particular el siguiente teorema, las haría destacar. En 1981, anunció el teorema orbifold , una extensión de su teorema de geometrización al contexto de 3-orbifolds. [15] Dos equipos de matemáticos alrededor del año 2000 finalmente terminaron sus esfuerzos para escribir una prueba completa, basada principalmente en las conferencias de Thurston dadas a principios de la década de 1980 en Princeton. Su prueba original se basó en parte en el trabajo de Richard S. Hamilton sobre el flujo de Ricci .
En 1976, Thurston y James Harris Simons compartieron el Premio Oswald Veblen de Geometría . [1]
Thurston recibió la Medalla Fields en 1982 por "revolucionar el estudio de la topología en 2 y 3 dimensiones, mostrando la interacción entre el análisis, la topología y la geometría" y "contribuir con la idea de que una clase muy grande de 3-variedades cerradas tienen una estructura hiperbólica". [16] [17]
En 2005, Thurston ganó el primer Premio del Libro de la Sociedad Matemática Estadounidense por Geometría y Topología Tridimensional . El premio "reconoce un libro de investigación sobresaliente que hace una contribución seminal a la literatura de investigación". [18] Recibió el Premio Leroy P. Steele 2012 de la Sociedad Matemática Estadounidense por su contribución seminal a la investigación. La cita describe su trabajo como "habiendo revolucionado la teoría de 3 variedades". [19]
Thurston y su primera esposa, Rachel Findley, tuvieron tres hijos: Dylan, Nathaniel y Emily. [6] Dylan fue participante del MOSP (1988-1990) [20] y es matemático en la Universidad de Indiana en Bloomington . [21] Thurston tuvo dos hijos con su segunda esposa, Julian Muriel Thurston: Hannah Jade y Liam. [6]
Thurston murió el 21 de agosto de 2012, en Rochester, Nueva York , de un melanoma de la mucosa sinusal que le fue diagnosticado en 2011. [6] [22] [7]
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