Norma de Thurston

En matemáticas, la norma de Thurston es una función sobre el segundo grupo de homología de una 3-variedad orientada introducida por William Thurston , que mide de forma natural la complejidad topológica de las clases de homología representadas por superficies.

Definición

Sea una variedad diferenciable y . Entonces puede representarse mediante una incrustación suave , donde es una superficie (no necesariamente conexa) que es compacta y sin borde. La norma de Thurston de se define entonces como ^[1] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle c\in H_{2}(M)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle S\to M}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle c}$

${\displaystyle \|c\|_{T}=\min _{S}\sum _{i=1}^{n}\chi _{-}(S_{i})}$,

donde el mínimo se toma sobre todas las superficies integradas ( siendo los componentes conectados) que representan lo anterior, y es el valor absoluto de la característica de Euler para superficies que no son esferas (y 0 para esferas). ${\displaystyle S=\bigcup _{i}S_{i}}$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \chi _{-}(F)=\max(0,-\chi (F))}$

Esta función satisface las siguientes propiedades:

• ${\displaystyle \|kc\|_{T}=|k|\cdot \|c\|_{T}}$para ; ${\displaystyle c\in H_{2}(M),k\in \mathbb {Z} }$
• ${\displaystyle \|c_{1}+c_{2}\|_{T}\leq \|c_{1}\|_{T}+\|c_{2}\|_{T}}$para . ${\displaystyle c_{1},c_{2}\in H_{2}(M)}$

Estas propiedades implican que se extiende a una función en que luego puede extenderse por continuidad a una seminorma en . ^[2] Por la dualidad de Poincaré , se puede definir la norma de Thurston en . ${\displaystyle \|\cdot \|}$ ${\displaystyle H_{2}(M,\mathbb {Q} )}$ ${\displaystyle \|\cdot \|_{T}}$ ${\displaystyle H_{2}(M,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {R} )}$

Cuando es compacto con límite, la norma de Thurston se define de manera similar en el grupo de homología relativa y su dual de Poincaré . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H_{2}(M,\partial M,\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle H^{1}(M,\mathbb {R} )}$

De trabajos posteriores de David Gabai ^[3] se desprende que también se puede definir la norma de Thurston utilizando únicamente superficies sumergidas . Esto implica que la norma de Thurston también es igual a la mitad de la norma de Gromov sobre homología.

Aplicaciones topológicas

La norma de Thurston se introdujo en vista de sus aplicaciones a fibraciones y foliaciones de 3-variedades.

La bola unidad de la norma de Thurston de una variedad tridimensional es un politopo con vértices enteros. Puede utilizarse para describir la estructura del conjunto de fibraciones de sobre el círculo: si puede escribirse como el toro de aplicación de un difeomorfismo de una superficie, entonces la incrustación representa una clase en una cara de dimensión superior (o abierta) de : además, todos los demás puntos enteros en la misma cara también son fibras en dicha fibración. ^[4] ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S\hookrightarrow M}$ ${\displaystyle B}$

Las superficies incrustadas que minimizan la norma de Thurston en su clase de homología son exactamente las hojas cerradas de las foliaciones de . ^[3] ${\displaystyle M}$

Notas

1. Thurston 1986.
2. Thurston 1986, Teorema 1.
3. Gabai 1983.
4. Thurston 1986, Teorema 5.

Referencias

• Gabai, David (1983). "Foliaciones y la topología de 3-variedades". Journal of Differential Geometry . 18 (3): 445–503. doi : 10.4310/jdg/1214437784 . MR  0723813.
• Thurston, William (1986). "Una norma para la homología de 3-variedades". Memorias de la American Mathematical Society . 59 (33): i–vi y 99–130. MR  0823443.