grupo matematico
En matemáticas , un grupo de Bianchi es un grupo de la forma
![{\displaystyle PSL_{2}({\mathcal {O}}_{d})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde d es un entero positivo sin cuadrados . Aquí, PSL denota el grupo lineal especial proyectivo y es el anillo de números enteros del campo cuadrático imaginario .
![{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Los grupos fueron estudiados por primera vez por Bianchi (1892) como una clase natural de subgrupos discretos de , ahora denominados grupos kleinianos .![{\displaystyle PSL_{2}(\mathbb {C} )}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Como subgrupo de , un grupo de Bianchi actúa como isometrías que preservan la orientación del espacio hiperbólico tridimensional . El espacio cociente es un triple hiperbólico no compacto con volumen finito, que también se llama Bianchi orbifold . Humbert calculó una fórmula exacta para el volumen, en términos de la función zeta de Dedekind del campo base , de la siguiente manera. Sea el discriminante de , y , la acción discontinua sobre , entonces
![{\displaystyle \mathbb {H} ^{3}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle M_{d}=PSL_{2}({\mathcal {O}}_{d})\barra invertida \mathbb {H} ^{3}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle D}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \Gamma =SL_{2}({\mathcal {O}}_{d})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle {\mathcal {H}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {vol} (\Gamma \backslash \mathbb {H} )={\frac {|D|^{3/2}}{4\pi ^{2}}}\zeta _ {\mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}(2)\ .}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El conjunto de cúspides de está en biyección con el grupo de clases de . Es bien sabido que todo grupo kleiniano aritmético no cocompacto es débilmente conmensurable con un grupo de Bianchi. [1]![{\ Displaystyle M_ {d}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-d}})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Referencias
- ^ Maclachlan y Reid (2003) pág. 58
- Bianchi, Luigi (1892). "Sui gruppi di sostituzioni lineari con coeficientes appartenenti a corpi quadratici immaginarî". Annalen Matemáticas . 40 (3). Springer Berlín / Heidelberg: 332–412. doi :10.1007/BF01443558. ISSN 0025-5831. JFM 24.0188.02. S2CID 120341527.
- Elstrodt, Jürgen; Grunewald, Fritz; Mennicke, Jens (1998). Grupos que actúan sobre espacios hiperbólicos . Monografías de Springer en Matemáticas. Springer Verlag . ISBN 3-540-62745-6. Zbl 0888.11001.
- Bien, Benjamín (1989). Teoría algebraica de los grupos de Bianchi. Monografías y Libros de Texto en Matemática Pura y Aplicada. vol. 129. Nueva York: Marcel Dekker Inc. ISBN 978-0-8247-8192-7. SEÑOR 1010229. Zbl 0760.20014.
- Fine, B. (2001) [1994], "Grupo Bianchi", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Maclachlan, Colin; Reid, Alan W. (2003). La aritmética de las 3 variedades hiperbólicas . Textos de Posgrado en Matemáticas . vol. 219. Springer-Verlag . ISBN 0-387-98386-4. Zbl 1025.57001.
enlaces externos
- Allen Hatcher y Bianchi Orbifolds