Fórmula de traza de Selberg

Teorema matemático

En matemáticas , la fórmula de la traza de Selberg , introducida por Selberg (1956), es una expresión para el carácter de la representación unitaria de un grupo de Lie G en el espacio L ² (Γ\ G ) de funciones integrables al cuadrado , donde Γ es una grupo discreto cofinito . El carácter viene dado por la traza de determinadas funciones en G .

El caso más simple es cuando Γ es cocompacto , cuando la representación se divide en sumandos discretos. Aquí la fórmula de la traza es una extensión de la fórmula de Frobenius para el carácter de una representación inducida de grupos finitos. Cuando Γ es el subgrupo cocompacto Z de los números reales G = R , la fórmula de traza de Selberg es esencialmente la fórmula de suma de Poisson .

El caso en el que Γ\ G no es compacto es más difícil, porque hay un espectro continuo , descrito mediante la serie de Eisenstein . Selberg resolvió el caso no compacto cuando G es el grupo SL(2, R ) ; la extensión a grupos de rango superior es la fórmula de seguimiento de Arthur-Selberg .

Cuando Γ es el grupo fundamental de una superficie de Riemann , la fórmula de la traza de Selberg describe el espectro de operadores diferenciales como el laplaciano en términos de datos geométricos que involucran las longitudes de las geodésicas en la superficie de Riemann. En este caso, la fórmula de la traza de Selberg es formalmente similar a las fórmulas explícitas que relacionan los ceros de la función zeta de Riemann con los números primos, correspondiendo los ceros zeta a los valores propios del laplaciano y los primos a las geodésicas. Motivado por la analogía, Selberg introdujo la función zeta de Selberg de una superficie de Riemann, cuyas propiedades analíticas están codificadas por la fórmula de traza de Selberg.

Historia temprana

Los casos de particular interés incluyen aquellos para los cuales el espacio es una superficie compacta de Riemann S. La publicación inicial en 1956 de Atle Selberg trató este caso, su operador diferencial laplaciano y sus poderes. Las trazas de poderes de un laplaciano pueden utilizarse para definir la función zeta de Selberg . El interés de este caso fue la analogía entre la fórmula obtenida y las fórmulas explícitas de la teoría de números primos . Aquí las geodésicas cerradas de S desempeñan el papel de números primos.

Al mismo tiempo, el interés por las trazas de los operadores de Hecke estaba vinculado a la fórmula de trazas de Eichler-Selberg , de Selberg y Martin Eichler , para un operador de Hecke que actúa sobre un espacio vectorial de formas cúspides de un peso determinado, para un subgrupo de congruencia determinado. del grupo modular . Aquí la huella del operador identidad es la dimensión del espacio vectorial, es decir, la dimensión del espacio de formas modulares de un tipo determinado: una cantidad tradicionalmente calculada mediante el teorema de Riemann-Roch .

Aplicaciones

La fórmula de traza tiene aplicaciones en geometría aritmética y teoría de números . Por ejemplo, utilizando el teorema de la traza, Eichler y Shimura calcularon las funciones L de Hasse-Weil asociadas a curvas modulares ; Los métodos de Goro Shimura eludieron el análisis involucrado en la fórmula de trazas. El desarrollo de la cohomología parabólica (de la cohomología de Eichler ) proporcionó un entorno puramente algebraico basado en la cohomología de grupo , teniendo en cuenta las cúspides características de las superficies de Riemann no compactas y las curvas modulares.

La fórmula de la traza también tiene aplicaciones puramente geométricas diferenciales . Por ejemplo, según un resultado de Buser, el espectro de longitudes de una superficie de Riemann es una invariante isoespectral, esencialmente según la fórmula de la traza.

Fórmula de traza de Selberg para superficies hiperbólicas compactas

Una superficie hiperbólica compacta X se puede escribir como el espacio de órbitas.

$${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbf {H} ,}$$

ΓPSL(2, R )Hsemiplano superiorΓHtransformaciones fraccionarias lineales

La fórmula de la traza de Selberg para este caso es más fácil que el caso general porque la superficie es compacta, por lo que no hay un espectro continuo y el grupo Γ no tiene elementos parabólicos o elípticos (aparte de la identidad).

Entonces, el espectro del operador de Laplace-Beltrami en X es discreto y real, ya que el operador de Laplace es autoadjunto al resolutivo compacto ; eso es

$${\displaystyle 0=\mu _{0}<\mu _{1}\leq \mu _{2}\leq \cdots }$$

μ _nΓuC ^∞ ( H )

$${\displaystyle {\begin{cases}u(\gamma z)=u(z),\qquad \forall \gamma \in \Gamma \\y^{2}\left(u_{xx}+u_{yy}\right)+\mu _{n}u=0.\end{cases}}}$$

Usando la sustitución de variables

$${\displaystyle \mu =s(1-s),\qquad s={\tfrac {1}{2}}+ir}$$

$${\displaystyle r_{n},n\geq 0.}$$

Entonces la fórmula de la traza de Selberg viene dada por

$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }h(r_{n})={\frac {\mu (X)}{4\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }r\,h(r)\tanh(\pi r)\,dr+\sum _{\{T\}}{\frac {\log N(T_{0})}{N(T)^{\frac {1}{2}}-N(T)^{-{\frac {1}{2}}}}}g(\log N(T)).}$$

El lado derecho es una suma de las clases de conjugación del grupo Γ , donde el primer término corresponde al elemento de identidad y los términos restantes forman una suma de las otras clases de conjugación { T  } (que son todas hiperbólicas en este caso). La función h debe satisfacer lo siguiente:

• sea ​​analítico en |Im( r )| ≤1/2+ δ ;
• h (- r ) = h ( r ) ;
• existen constantes positivas δ y M tales que:
  $${\displaystyle \vert h(r)\vert \leq M\left(1+\left|\operatorname {Re} (r)\right|\right)^{-2-\delta }.}$$

La función g es la transformada de Fourier de h , es decir,

$${\displaystyle h(r)=\int _{-\infty }^{\infty }g(u)e^{iru}\,du.}$$

La fórmula general de trazas de Selberg para cocientes cocompactos

Declaración general

Sea G un grupo localmente compacto unimodular y un subgrupo cocompacto discreto de G y una función continua soportada de forma compacta en G. La fórmula de seguimiento en esta configuración es la siguiente igualdad: ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \phi }$

$${\displaystyle \sum _{\gamma \in \{\Gamma \}}a_{\Gamma }^{G}(\gamma )\int _{G^{\gamma }\setminus G}\phi (x^{-1}\gamma x)\,dx=\sum _{\pi \in {\widehat {G}}}a_{\Gamma }^{G}(\pi )\operatorname {tr} \pi (\phi )}$$

dual unitarioG ${\displaystyle \{\Gamma \}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle {\widehat {G}}}$

• para un elemento , con los centralizadores de in respectivamente; ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ ${\displaystyle a_{\Gamma }^{G}(\gamma )={\text{volume}}(\Gamma ^{\gamma }\setminus G^{\gamma }).}$ ${\displaystyle G_{\gamma },\Gamma _{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle G,\Gamma }$
• para una representación unitaria irreducible de , es la multiplicidad de en la representación de derecho en ) , y es el operador ; ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a_{\Gamma }^{G}(\pi )}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \Gamma \backslash G}$ ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \backslash G}$ ${\displaystyle \pi (\phi )}$ ${\displaystyle \int _{G}\phi (g)\pi (g)dg}$
• todas las integrales y volúmenes se toman con respecto a la medida de Haar o sus cocientes. ${\displaystyle G}$

El lado izquierdo de la fórmula se llama lado geométrico y el lado derecho lado espectral . Los términos son integrales orbitales . ${\displaystyle \int _{G^{\gamma }\setminus G}\phi (x^{-1}\gamma x)\,dx}$

Prueba

Defina el siguiente operador en funciones compatibles de forma compacta en : ${\displaystyle \Gamma \backslash G}$

$${\displaystyle R(\phi )=\int _{G}\phi (x)R(x)\,dx,}$$

${\displaystyle L^{2}(\Gamma \setminus G)}$ ${\displaystyle f\in L^{2}(\Gamma \setminus G)}$

$${\displaystyle (R(\phi )f)(x)=\int _{G}\phi (y)f(xy)\,dy=\int _{\Gamma \setminus G}\left(\sum _{\gamma \in \Gamma }\phi (x^{-1}\gamma y)\right)f(y)\,dy}$$

clase de seguimiento^[1] ${\displaystyle \Gamma \setminus G}$ ${\displaystyle R(\phi )}$

La traza de se puede expresar como la integral del núcleo a lo largo de la diagonal, es decir: ${\displaystyle R(\phi )}$ ${\displaystyle K(x,y)=\sum _{\gamma \in \Gamma }\phi (x^{-1}\gamma y)}$

$${\displaystyle \operatorname {tr} R(\phi )=\int _{\Gamma \setminus G}\sum _{\gamma \in \Gamma }\phi (x^{-1}\gamma x)\,dx.}$$

${\displaystyle \{\Gamma \}}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma ^{\gamma }}$ ${\displaystyle G^{\gamma }}$ ${\displaystyle \gamma }$

$${\displaystyle \operatorname {tr} R(\phi )=\sum _{\gamma \in \{\Gamma \}}a_{\Gamma }^{G}(\gamma )\int _{G^{\gamma }\setminus G}\phi (x^{-1}\gamma x)\,dx.}$$

lado geométrico

El lado espectral de la fórmula de la traza proviene de calcular la traza mediante la descomposición de la representación regular en sus componentes irreducibles. De este modo ${\displaystyle R(\phi )}$ ${\displaystyle G}$

$${\displaystyle \operatorname {tr} R(\phi )=\sum _{\pi \in {\hat {G}}}a_{\Gamma }^{G}(\pi )\operatorname {tr} \pi (\phi )}$$

${\displaystyle {\hat {G}}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle a_{\Gamma }^{G}(\pi )}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L^{2}(\Gamma \setminus G)}$

El caso de grupos de Lie semisimples y espacios simétricos.

Cuando es un grupo de Lie semisimple con un subgrupo compacto máximo y es el espacio simétrico asociado , las clases de conjugación se pueden describir en términos geométricos utilizando la variedad compacta de Riemann (más generalmente orbifold) . Las integrales orbitales y las trazas en sumandos irreducibles se pueden calcular más adelante y, en particular, se puede recuperar de esta manera el caso de la fórmula de trazas para superficies hiperbólicas. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle X=G/K}$ ${\displaystyle \Gamma }$ ${\displaystyle \Gamma \backslash X}$

Trabajo posterior

La teoría general de las series de Eisenstein estuvo motivada en gran medida por la necesidad de separar el espectro continuo , que es característico del caso no compacto. ^[2]

La fórmula de traza a menudo se da para grupos algebraicos sobre adeles en lugar de para grupos de Lie, porque esto convierte al correspondiente subgrupo discreto Γ en un grupo algebraico sobre un campo con el que técnicamente es más fácil trabajar. El caso de SL ₂ ( C ) se analiza en Gel'fand, Graev & Pyatetskii-Shapiro (1990) y Elstrodt, Grunewald & Mennicke (1998). Gel'fand et al también tratan SL ₂ ( F ) donde F es un campo topológico localmente compacto con norma ultramétrica , por lo que una extensión finita de los números p-ádicos Q _p o de la serie formal de Laurent F _q (( T )); también manejan el caso adélico en la característica 0, combinando todas las terminaciones R y Q _p de los números racionales Q.

Los sucesores contemporáneos de la teoría son la fórmula de traza de Arthur-Selberg que se aplica al caso de G semisimple general , y los numerosos estudios de la fórmula de traza en la filosofía de Langlands (que se ocupan de cuestiones técnicas como la endoscopia ). La fórmula de trazas de Selberg se puede derivar de la fórmula de trazas de Arthur-Selberg con cierto esfuerzo.

Notas

1. Esta presentación es de Arthur (1989). "La fórmula de traza y los operadores de Hecke". Teoría de números, fórmulas de trazas y grupos discretos . Prensa académica.
2. Laxo y Phillips 1980

Referencias

• Borel, Armand (1997). Formas automórficas en SL2(R). Tratados de Cambridge en Matemáticas. vol. 130. Prensa de la Universidad de Cambridge . ISBN 0-521-58049-8. SEÑOR  1482800.
• Chavel, Isaac; Randol, Burton (1984). "XI. La fórmula de seguimiento de Selberg". Valores propios en geometría de Riemann . Matemática Pura y Aplicada. vol. 115. Prensa académica. ISBN 0-12-170640-0. SEÑOR  0768584.
• Elstrodt, Jürgen (1981). "Die Selbergsche Spurformel für kompakte Riemannsche Flächen" (PDF) . Jahresber. Alemán. Matemáticas.-Verein. (en alemán). 83 . Bielefeld: Deutsche Mathematiker-Vereinigung : 45–77. SEÑOR  0612411.
• Elstrodt, J.; Grunewald, F.; Mennicke, J. (1998). Grupos que actúan sobre el espacio hiperbólico: análisis armónico y teoría de números . Monografías de Springer en Matemáticas. Springer-Verlag . ISBN 3-540-62745-6. SEÑOR  1483315.
• Fischer, Jürgen (1987), Una aproximación a la fórmula de trazas de Selberg a través de la función zeta de Selberg , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1253, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0077696, ISBN 978-3-540-15208-8, señor  0892317
• Gel'fand, IM ; Graev, MI; Pyatetskii-Shapiro, II (1990), Teoría de la representación y funciones automórficas , Funciones generalizadas, vol. 6, Boston, MA: Prensa académica , ISBN 978-0-12-279506-0, señor  1071179
• Godement, Roger (1966). "La descomposición de L ² (G/Γ) para Γ=SL(2,Z)". Grupos Algebraicos y Subgrupos Discontinuos . Proc. Simposios. Matemática pura. Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense . págs. 211–224. SEÑOR  0210827.
• Hejhal, Dennis A. (1976), "La fórmula de la traza de Selberg y la función zeta de Riemann", Duke Mathematical Journal , 43 (3): 441–482, doi :10.1215/S0012-7094-76-04338-6, ISSN  0012 -7094, SEÑOR  0414490
• Hejhal, Dennis A. (1976), La fórmula de traza de Selberg para PSL (2, R). vol. I , Apuntes de conferencias de matemáticas, vol. 548, vol. 548, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, doi :10.1007/BFb0079608, ISBN 978-3-540-07988-0, señor  0439755
• Hejhal, Dennis A. (1983), La fórmula de traza de Selberg para PSL (2, R). vol. 2 , Apuntes de conferencias de matemáticas, vol. 1001, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, doi :10.1007/BFb0061302, ISBN 978-3-540-12323-1, señor  0711197
• Iwaniec, Henryk (2002). Métodos espectrales de formas automorfas . Estudios de Posgrado en Matemáticas. vol. 53 (Segunda ed.). Sociedad Matemática Estadounidense . ISBN 0-8218-3160-7. SEÑOR  1942691.
• Lax, Peter D .; Phillips, Ralph S. (1980). "Teoría de la dispersión de funciones automórficas" (PDF) . Toro. América. Matemáticas. Soc. 2 : 261–295. SEÑOR  0555264.
• McKean, HP (1972), "Fórmula de trazas de Selberg aplicada a una superficie compacta de Riemann", Communications on Pure and Applied Mathematics , 25 (3): 225–246, doi :10.1002/cpa.3160250302, ISSN  0010-3640, SEÑOR  0473166
• Selberg, Atle (1956), "Análisis armónico y grupos discontinuos en espacios de Riemann débilmente simétricos con aplicaciones a series de Dirichlet", J. Indian Math. Soc. , Nueva serie, 20 : 47–87, SEÑOR  0088511
• Sunada, Toshikazu (1991), Fórmulas de traza en geometría espectral , Proc. ICM-90 Kioto, Springer-Verlag, págs. 577–585

enlaces externos

• Página de recursos de la fórmula de seguimiento de Selberg