Función zeta de Selberg

La función zeta de Selberg fue introducida por Atle Selberg  (1956). Es análoga a la famosa función zeta de Riemann.

${\displaystyle \zeta (s)=\prod _{p\in \mathbb {P} }{\frac {1}{1-p^{-s}}}}$

¿Dónde está el conjunto de los números primos? La función zeta de Selberg utiliza longitudes de geodésicas cerradas simples en lugar de números primos. Si es un subgrupo de SL(2, R ) , la función zeta de Selberg asociada se define de la siguiente manera, ${\displaystyle \mathbb {P} }$ ${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \zeta _{\Gamma }(s)=\prod _{p}(1-N(p)^{-s})^{-1},}$

o

${\displaystyle Z_{\Gamma }(s)=\prod _{p}\prod _{n=0}^{\infty }(1-N(p)^{-s-n}),}$

donde p recorre clases de conjugación de geodésicas primarias (equivalentemente, clases de conjugación de elementos hiperbólicos primitivos de ), y N ( p ) denota la longitud de p (equivalentemente, el cuadrado del valor propio mayor de p ). ${\displaystyle \Gamma }$

Para cualquier superficie hiperbólica de área finita hay una función zeta de Selberg asociada ; esta función es una función meromórfica definida en el plano complejo . La función zeta se define en términos de geodésicas cerradas de la superficie.

Los ceros y polos de la función zeta de Selberg, Z ( s ), pueden describirse en términos de datos espectrales de la superficie.

Los ceros están en los siguientes puntos:

1. Para cada forma de cúspide con valor propio existe un cero en el punto . El orden del cero es igual a la dimensión del espacio propio correspondiente. (Una forma de cúspide es una función propia del operador de Laplace-Beltrami que tiene una expansión de Fourier con un término constante cero). ${\displaystyle s_{0}(1-s_{0})}$ ${\displaystyle s_{0}}$
2. La función zeta también tiene un cero en cada polo del determinante de la matriz de dispersión . El orden del cero es igual al orden del polo correspondiente de la matriz de dispersión. ${\displaystyle \phi (s)}$

La función zeta también tiene polos en y puede tener ceros o polos en los puntos . ${\displaystyle 1/2-\mathbb {N} }$ ${\displaystyle -\mathbb {N} }$

La función Ihara zeta se considera un análogo p-ádico (y teórico de grafos) de la función zeta de Selberg.

Función zeta de Selberg para el grupo modular

Para el caso en el que la superficie es , donde está el grupo modular , la función zeta de Selberg es de especial interés. Para este caso especial, la función zeta de Selberg está íntimamente relacionada con la función zeta de Riemann . ${\displaystyle \Gamma \backslash \mathbb {H} ^{2}}$ ${\displaystyle \Gamma }$

En este caso el determinante de la matriz de dispersión viene dado por:

${\displaystyle \varphi (s)=\pi ^{1/2}{\frac {\Gamma (s-1/2)\zeta (2s-1)}{\Gamma (s)\zeta (2s)}}.}$^{[ cita necesaria ]}

En particular, vemos que si la función zeta de Riemann tiene un cero en , entonces el determinante de la matriz de dispersión tiene un polo en y , por tanto, la función zeta de Selberg tiene un cero en . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle s_{0}}$ ${\displaystyle s_{0}/2}$ ${\displaystyle s_{0}/2}$

Ver también

• Selberg trace fromula

Referencias

• Fischer, Jürgen (1987), Una aproximación a la fórmula de trazas de Selberg a través de la función zeta de Selberg , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1253, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0077696, ISBN 978-3-540-15208-8, señor  0892317
• Hejhal, Dennis A. (1976), La fórmula de traza de Selberg para PSL (2, R). vol. I , Apuntes de conferencias de matemáticas, vol. 548, vol. 548, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0079608, MR  0439755
• Hejhal, Dennis A. (1983), La fórmula de traza de Selberg para PSL (2, R). vol. 2 , Apuntes de conferencias de matemáticas, vol. 1001, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0061302, ISBN 978-3-540-12323-1, señor  0711197
• Iwaniec, H. Métodos espectrales de formas automórficas, Sociedad Matemática Estadounidense, segunda edición, 2002.
• Selberg, Atle (1956), "Análisis armónico y grupos discontinuos en espacios de Riemann débilmente simétricos con aplicaciones a series de Dirichlet", J. Indian Math. Soc. , Nueva serie, 20 : 47–87, SEÑOR  0088511
• Venkov, AB Teoría espectral de funciones automórficas. Proc. Steklov. Inst. Matemáticas, 1982.
• Sunada, T. , Funciones L en geometría y algunas aplicaciones, Proc. Síntoma de Taniguchi. 1985, "Curvatura y topología de variedades de Riemann", Springer Lect. Nota en Matemáticas. 1201(1986), 266-284.