En matemáticas , una geodésica primaria sobre una superficie hiperbólica es una geodésica cerrada primitiva , es decir, una geodésica que es una curva cerrada que traza su imagen exactamente una vez. Estas geodésicas se denominan geodésicas primas porque, entre otras cosas, obedecen a una ley de distribución asintótica similar al teorema de los números primos .
Presentamos brevemente algunos datos de la geometría hiperbólica que son útiles para comprender las geodésicas primarias.
Considere el modelo de semiplano H de Poincaré de geometría hiperbólica bidimensional . Dado un grupo fucsiano , es decir, un subgrupo discreto Γ de PSL(2, R ) , Γ actúa sobre H mediante una transformación fraccionaria lineal . Cada elemento de PSL(2, R ) de hecho define una isometría de H , por lo que Γ es un grupo de isometrías de H .
Existen entonces 3 tipos de transformación: hiperbólica, elíptica y parabólica. (Las transformaciones loxodrómicas no están presentes porque estamos trabajando con números reales ). Entonces un elemento γ de Γ tiene 2 puntos fijos reales distintos si y sólo si γ es hiperbólico. Consulte Clasificación de isometrías y Puntos fijos de isometrías para más detalles.
Consideremos ahora la superficie cociente M =Γ\ H . La siguiente descripción se refiere al modelo de semiplano superior del plano hiperbólico . Esta es una superficie hiperbólica, de hecho, una superficie de Riemann . Cada elemento hiperbólico h de Γ determina una geodésica cerrada de Γ\ H : primero, conectando el semicírculo geodésico que une los puntos fijos de h , obtenemos una geodésica en H llamada eje de h , y proyectando esta geodésica a M , obtenemos obtener una geodésica en Γ\ H .
Esta geodésica es cerrada porque 2 puntos que están en la misma órbita bajo la acción de Γ se proyectan al mismo punto del cociente, por definición.
Se puede demostrar que esto da una correspondencia 1-1 entre geodésicas cerradas en Γ\ H y clases de conjugación hiperbólica en Γ. Las geodésicas primarias son entonces aquellas geodésicas que trazan su imagen exactamente una vez; algebraicamente, corresponden a clases de conjugación hiperbólicas primitivas, es decir, clases de conjugación {γ} tales que γ no puede escribirse como una potencia no trivial de otro elemento de Γ.
La importancia de las geodésicas primarias proviene de su relación con otras ramas de las matemáticas, especialmente los sistemas dinámicos , la teoría ergódica y la teoría de números , así como con las propias superficies de Riemann . Estas aplicaciones a menudo se superponen entre varios campos de investigación diferentes.
En los sistemas dinámicos, las geodésicas cerradas representan las órbitas periódicas del flujo geodésico .
En teoría de números se han demostrado varios "teoremas geodésicos primos" que son muy similares en espíritu al teorema de los números primos . Para ser específicos, denotamos por π( x ) el número de geodésicas cerradas cuya norma (una función relacionada con la longitud) es menor o igual a x ; entonces π( x ) ~ x /ln( x ). Este resultado suele atribuirse a Atle Selberg . En su doctorado de 1970. En su tesis, Grigory Margulis demostró un resultado similar para superficies de curvatura negativa variable, mientras que en su doctorado de 1980. En su tesis, Peter Sarnak demostró un análogo del teorema de densidad de Chebotarev .
Hay otras similitudes con la teoría de números: se mejoran las estimaciones de error, de forma muy parecida a como se mejoran las estimaciones de error del teorema de los números primos. Además, existe una función zeta de Selberg que es formalmente similar a la función zeta de Riemann habitual y comparte muchas de sus propiedades.
Algebraicamente, las geodésicas primarias se pueden elevar a superficies superiores de la misma manera que los ideales primos en el anillo de números enteros de un campo numérico se pueden dividir (factorizar) en una extensión de Galois . Consulte Mapa de cobertura y División de ideales principales en extensiones de Galois para obtener más detalles.
Se han utilizado geodésicas cerradas para estudiar las superficies de Riemann; de hecho, una de las definiciones originales de Riemann del género de una superficie fue en términos de curvas cerradas simples. Las geodésicas cerradas han sido fundamentales para estudiar los valores propios de los operadores laplacianos , los grupos aritméticos fucsianos y los espacios de Teichmüller .