Geodésica cerrada

En geometría diferencial y sistemas dinámicos , una geodésica cerrada sobre una variedad de Riemann es una geodésica que retorna a su punto de partida con la misma dirección tangente. Puede formalizarse como la proyección de una órbita cerrada del flujo geodésico sobre el espacio tangente de la variedad.

Definición

En una variedad de Riemann ( M , g ), una geodésica cerrada es una curva que es una geodésica para la métrica g y es periódica. ${\displaystyle \gamma :\mathbb {R} \rightarrow M}$

Las geodésicas cerradas se pueden caracterizar mediante un principio variacional. Denotando por el espacio de curvas suaves 1-periódicas en M , las geodésicas cerradas de período 1 son precisamente los puntos críticos de la función de energía , definida por ${\displaystyle \Lambda M}$ ${\displaystyle E:\Lambda M\rightarrow \mathbb {R} }$

${\displaystyle E(\gamma )=\int _{0}^{1}g_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,\mathrm {d} t.}$

Si es una geodésica cerrada de periodo p , la curva reparametrizada es una geodésica cerrada de periodo 1, y por tanto es un punto crítico de E . Si es un punto crítico de E , entonces las curvas reparametrizadas , para cada , son definidas por . Por tanto, toda geodésica cerrada sobre M da lugar a una sucesión infinita de puntos críticos de la energía E . ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle t\mapsto \gamma (pt)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \gamma ^{m}}$ ${\displaystyle m\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \gamma ^{m}(t):=\gamma (mt)}$

Ejemplos

En la esfera unitaria ⁠ ⁠ ${\displaystyle n}$ -dimensional con la métrica estándar, cada geodésica – un círculo máximo – es cerrada. En una superficie lisa topológicamente equivalente a la esfera, esto puede no ser cierto, pero siempre hay al menos tres geodésicas cerradas simples; este es el teorema de las tres geodésicas . Las variedades cuyas geodésicas son todas cerradas han sido investigadas exhaustivamente en la literatura matemática. En una superficie hiperbólica compacta , cuyo grupo fundamental no tiene torsión, las geodésicas cerradas están en correspondencia biunívoca con clases de conjugación no triviales de elementos en el grupo fuchsiano de la superficie.

Véase también

• Teorema de Lyusternik-Fet
• Teorema de las tres geodésicas
• Flujo que acorta la curva
• Fórmula de trazas de Selberg
• Función zeta de Selberg
• Superficie de Zoll

Referencias

• Besse, A. : "Variedades cuyas geodésicas son todas cerradas", Ergebisse Grenzgeb. Math. , n.º 93, Springer, Berlín, 1978.