Fórmula de traza de Arthur-Selberg

En matemáticas , la fórmula de traza de Arthur-Selberg es una generalización de la fórmula de traza de Selberg del grupo SL ₂ a grupos reductores arbitrarios sobre campos globales , desarrollada por James Arthur en una larga serie de artículos de 1974 a 2003. Describe el carácter de la representación de G ( A ) en la parte discreta L²
₀( G ( F )\ G ( A )) de L ² ( G ( F )\ G ( A )) en términos de datos geométricos, donde G es un grupo algebraico reductivo definido sobre un campo global F y A es el anillo de adelas de F .

Existen varias versiones diferentes de la fórmula de seguimiento. La primera versión fue la fórmula de traza sin refinar , cuyos términos dependen de operadores de truncamiento y tienen la desventaja de que no son invariantes. Más tarde, Arthur encontró la fórmula de traza invariante y la fórmula de traza estable que son más adecuadas para las aplicaciones. La fórmula de traza simple (Flicker y Kazhdan 1988) es menos general pero más fácil de probar. La fórmula de seguimiento local es análoga a los campos locales. La fórmula de traza relativa de Jacquet es una generalización en la que se integra la función del núcleo en subgrupos no diagonales.

Notación

• F es un campo global , como el campo de los números racionales.
• A es el anillo de adeles de F .
• G es un grupo algebraico reductivo definido sobre F .

El estuche compacto

En el caso en que G ( F )\ G ( A ) es compacto, la representación se divide como una suma directa de representaciones irreducibles, y la fórmula de traza es similar a la fórmula de Frobenius para el carácter de la representación inducida a partir de la representación trivial de un subgrupo. de índice finito .

En el caso compacto, que se debe esencialmente a Selberg, los grupos G ( F ) y G ( A ) pueden reemplazarse por cualquier subgrupo discreto Γ de un grupo G localmente compacto con Γ\ G compacto. El grupo G actúa sobre el espacio de funciones sobre Γ\ G por la representación regular derecha R , y esto se extiende a una acción del anillo del grupo de G , considerado como el anillo de funciones f sobre G . El carácter de esta representación viene dado por una generalización de la fórmula de Frobenius como sigue. La acción de una función f sobre una función φ sobre Γ\ G viene dada por

${\displaystyle \displaystyle R(f)(\phi )(x)=\int _{G}f(y)\phi (xy)\,dy=\int _{\Gamma \backslash G}\sum _{\gamma \in \Gamma }f(x^{-1}\gamma y)\phi (y)\,dy.}$

En otras palabras, R ( f ) es un operador integral en L ² (Γ\ G ) (el espacio de funciones en Γ\ G ) con kernel

${\displaystyle \displaystyle K_{f}(x,y)=\sum _{\gamma \in \Gamma }f(x^{-1}\gamma y).}$

Por lo tanto, la traza de R ( f ) viene dada por

${\displaystyle \displaystyle \operatorname {Tr} (R(f))=\int _{\Gamma \backslash G}K_{f}(x,x)\,dx.}$

El núcleo K se puede escribir como

${\displaystyle K_{f}(x,y)=\sum _{o\in O}K_{o}(x,y)}$

donde O es el conjunto de clases de conjugación en Γ , y

${\displaystyle K_{o}(x,y)=\sum _{\gamma \in o}f(x^{-1}\gamma y)=\sum _{\delta \in \Gamma _{\gamma }\backslash \Gamma }f(x^{-1}\delta ^{-1}\gamma \delta y)}$

donde γ es un elemento de la clase de conjugación o , y Γ _γ es su centralizador en Γ .

Por otro lado, la traza también viene dada por

${\displaystyle \displaystyle \operatorname {Tr} (R(f))=\sum _{\pi }m(\pi )\operatorname {Tr} (R(f)|\pi )}$

donde m (π) es la multiplicidad de la representación unitaria irreducible π de G en L ² (Γ\ G ).

Ejemplos

• Si Γ y G son ambos finitos, la fórmula de traza es equivalente a la fórmula de Frobenius para el carácter de una representación inducida.
• Si G es el grupo R de números reales y Γ el subgrupo Z de números enteros, entonces la fórmula de traza se convierte en la fórmula de suma de Poisson .

Dificultades en el caso no compacto.

En la mayoría de los casos de la fórmula de traza de Arthur-Selberg, el cociente G ( F )\ G ( A ) no es compacto, lo que provoca los siguientes problemas (estrechamente relacionados):

• La representación en L ² ( G ( F )\ G ( A )) contiene no solo componentes discretos, sino también componentes continuos.
• El núcleo ya no es integrable a lo largo de la diagonal y los operadores R ( f ) ya no son de clase traza.

Arthur resolvió estos problemas truncando el núcleo en las cúspides de tal manera que el núcleo truncado sea integrable en la diagonal. Este proceso de truncamiento causa muchos problemas; por ejemplo, los términos truncados ya no son invariantes bajo conjugación. Al manipular más los términos, Arthur pudo producir una fórmula de traza invariante cuyos términos son invariantes.

La fórmula de traza de Selberg original estudió un subgrupo discreto Γ de un grupo de Lie real G ( R ) (generalmente SL ₂ ( R ) ). En rangos superiores es más conveniente sustituir el grupo de Lie por un grupo adélico G ( A ) . Una razón para esto es que el grupo discreto puede tomarse como el grupo de puntos G ( F ) para F un campo (global), con el que es más fácil trabajar que los subgrupos discretos de grupos de Lie. También facilita el trabajo con los operadores de Hecke .

La fórmula de traza en el caso no compacto.

Una versión de la fórmula de traza (Arthur 1983) afirma la igualdad de dos distribuciones en G ( A ) :

${\displaystyle \sum _{o\in O}J_{o}^{T}=\sum _{\chi \in X}J_{\chi }^{T}.}$

El lado izquierdo es el lado geométrico de la fórmula de traza y es una suma de las clases de equivalencia en el grupo de puntos racionales G ( F ) de G , mientras que el lado derecho es el lado espectral de la fórmula de traza y es una suma sobre ciertas representaciones de subgrupos de G ( A ) .

Distribuciones

Términos geométricos

Términos espectrales

La fórmula de la traza invariante

La versión de la fórmula de traza anterior no es particularmente fácil de usar en la práctica, uno de los problemas es que los términos que contiene no son invariantes bajo la conjugación. Arthur (1981) encontró una modificación en la que los términos son invariantes.

La fórmula de traza invariante establece

${\displaystyle \sum _{M}{\frac {|W_{0}^{M}|}{|W_{0}^{G}|}}\sum _{\gamma \in (M(Q))}a^{M}(\gamma )I_{M}(\gamma ,f)=\sum _{M}{\frac {|W_{0}^{M}|}{|W_{0}^{G}|}}\int _{\Pi (M)}a^{M}(\pi )I_{M}(\pi ,f)\,d\pi }$

dónde

• f es una función de prueba en G ( A )
• M abarca un conjunto finito de subgrupos racionales de Levi de G
• ( M ( Q )) es el conjunto de clases de conjugación de M ( Q )
• Π( M ) es el conjunto de representaciones unitarias irreducibles de M ( A )
• a ^M (γ) está relacionada con el volumen de M ( Q ,γ)\ M ( A ,γ)
• a ^M (π) está relacionada con la multiplicidad de la representación irreducible π en L ² ( M ( Q )\ M ( A ))
• ${\displaystyle \displaystyle I_{M}(\gamma ,f)}$ está relacionado con ${\displaystyle \displaystyle \int _{M(A,\gamma )\backslash M(A)}f(x^{-1}\gamma x)\,dx}$
• ${\displaystyle \displaystyle I_{M}(\pi ,f)}$está relacionado con el rastro ${\displaystyle \displaystyle \int _{M(A)}f(x)\pi (x)\,dx}$
• W ₀ ( M ) es el grupo Weyl de M .

Fórmula de traza estable

Langlands (1983) sugirió la posibilidad de un refinamiento estable de la fórmula de trazas que pueda usarse para comparar la fórmula de trazas para dos grupos diferentes. Arthur (2002) encontró y demostró una fórmula de trazas tan estable.

Dos elementos de un grupo G ( F ) se llaman establemente conjugados si son conjugados sobre la clausura algebraica del campo F . La cuestión es que cuando se comparan elementos de dos grupos diferentes, relacionados, por ejemplo, mediante torsión interna, normalmente no se obtiene una buena correspondencia entre clases de conjugación, sino sólo entre clases de conjugación estables. Entonces, para comparar los términos geométricos en las fórmulas de traza para dos grupos diferentes, uno quisiera que los términos no solo fueran invariantes bajo conjugación, sino que también se comportaran bien en clases de conjugación estables; éstas se denominan distribuciones estables .

La fórmula de traza estable escribe los términos de la fórmula de traza de un grupo G en términos de distribuciones estables. Sin embargo , estas distribuciones estables no son distribuciones en el grupo G , sino distribuciones en una familia de grupos cuasi divididos llamados grupos endoscópicos de G. Las integrales orbitales inestables en el grupo G corresponden a integrales orbitales estables en sus grupos endoscópicos H.

Fórmula de seguimiento simple

Hay varias formas simples de la fórmula de traza, que restringen de alguna manera las funciones de prueba f soportadas de forma compacta (Flicker y Kazhdan 1988). La ventaja de esto es que la fórmula traza y su prueba se vuelven mucho más fáciles, y la desventaja es que la fórmula resultante es menos poderosa.

Por ejemplo, si las funciones f son cúspides, lo que significa que

${\displaystyle \int _{n\in N(A)}f(xny)\,dn=0}$

para cualquier radical unipotente N de un subgrupo parabólico adecuado (definido sobre F ) y cualquier x , y en G ( A ) , entonces el operador R ( f ) tiene imagen en el espacio de las formas de cúspide, por lo que es compacto.

Aplicaciones

Jacquet y Langlands (1970) utilizaron la fórmula de trazas de Selberg para demostrar la correspondencia Jacquet-Langlands entre las formas automórficas en GL ₂ y sus formas retorcidas. La fórmula de seguimiento de Arthur-Selberg se puede utilizar para estudiar correspondencias similares en grupos de rango superior. También se puede utilizar para probar otros casos especiales de funcionalidad de Langlands, como el cambio de base, para algunos grupos.

Kottwitz (1988) utilizó la fórmula de trazas de Arthur-Selberg para demostrar la conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa .

Lafforgue (2002) describió cómo se utiliza la fórmula de la traza en su prueba de la conjetura de Langlands para grupos lineales generales sobre campos funcionales.

Ver también

• Forma de onda de masa
• Forma armónica de Maass
• las conjeturas de arturo

Referencias

• Arthur, James (1981), "La fórmula de traza en forma invariante", Annals of Mathematics , Segunda Serie, 114 (1): 1–74, doi :10.2307/1971376, JSTOR  1971376, MR  0625344
• Arthur, James (1983), "La fórmula de trazas para grupos reductivos" (PDF) , Conferencia sobre teoría automórfica (Dijon, 1981) , Publ. Matemáticas. Univ. París VII, vol. 15, París: Univ. París VII, págs. 1–41, CiteSeerX  10.1.1.207.4897 , doi :10.1007/978-1-4684-6730-7_1, ISBN 978-0-8176-3135-2, señor  0723181
• Arthur, James (2002), "Una fórmula de traza estable. I. Expansiones generales" (PDF) , Revista del Instituto de Matemáticas de Jussieu , 1 (2): 175–277, doi :10.1017/S1474-748002000051, MR  1954821 , archivado desde el original (PDF) el 9 de mayo de 2008.
• Arthur, James (2005), "Una introducción a la fórmula de traza" (PDF) , Análisis armónico, fórmula de traza y variedades de Shimura , Clay Math. Proc., vol. 4, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 1–263, MR  2192011, archivado desde el original (PDF) el 9 de mayo de 2008.
• Parpadeo, Yuval Z.; Kazhdan, David A. (1988), "Una fórmula de traza simple", Journal d'Analyse Mathématique , 50 : 189–200, doi : 10.1007/BF02796122
• Gelbart, Stephen (1996), Conferencias sobre la fórmula de trazas de Arthur-Selberg , Serie de conferencias universitarias, vol. 9, Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense , arXiv : math.RT/9505206 , doi : 10.1090/ulect/009, ISBN 978-0-8218-0571-8, SEÑOR  1410260, S2CID  118372096
• Jacquet, H.; Langlands, Robert P. (1970), Formas automórficas en GL (2), Lecture Notes in Mathematics, vol. 114, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0058988, ISBN 978-3-540-04903-6, SEÑOR  0401654, S2CID  122773458
• Konno, Takuya (2000), "Un estudio sobre la fórmula de trazas de Arthur-Selberg" (PDF) , Surikaisekikenkyusho Kõkyuroku (1173): 243–288, SEÑOR  1840082
• Kottwitz, Robert E. (1988), "Números de Tamagawa", Ann. de Matemáticas. , 2, 127 (3): 629–646, doi :10.2307/2007007, JSTOR  2007007, SEÑOR  0942522
• Labesse, Jean-Pierre (1986), "La formule des traces d'Arthur-Selberg", Astérisque (133): 73–88, SEÑOR  0837215
• Langlands, Robert P. (2001), "La fórmula de traza y sus aplicaciones: una introducción al trabajo de James Arthur", Canadian Mathematical Bulletin , 44 (2): 160–209, doi : 10.4153/CMB-2001-020- 8 , ISSN  0008-4395, SEÑOR  1827854
• Lafforgue, Laurent (2002), "Chtoucas de Drinfeld, formule des traces d'Arthur-Selberg et correspondencia de Langlands", Actas del Congreso Internacional de Matemáticos, vol. I (Beijing, 2002) , Beijing: Ed. Superior. Prensa, págs. 383–400, SEÑOR  1989194
• Langlands, Robert P. (1983), Les débuts d'une formule des traces stable, Publications Mathématiques de l'Université Paris VII [Publicaciones matemáticas de la Universidad de París VII], vol. 13, París: Université de Paris VII UER de Mathématiques, MR  0697567
• Shokranian, Salahoddin (1992), La fórmula de traza de Selberg-Arthur , Lecture Notes in Mathematics, vol. 1503, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/BFb0092305, ISBN 978-3-540-55021-1, señor  1176101

enlaces externos

• Obras de James Arthur Archivadas el 16 de mayo de 2021 en Wayback Machine en el instituto Clay.
• Archivo de obras completas de James Arthur en el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Toronto