En matemáticas , una representación unitaria de un grupo G es una representación lineal π de G en un espacio de Hilbert complejo V tal que π( g ) es un operador unitario para cada g ∈ G . La teoría general está bien desarrollada en el caso de que G sea un grupo topológico localmente compacto ( Hausdorff ) y las representaciones sean fuertemente continuas .
La teoría se ha aplicado ampliamente en la mecánica cuántica desde la década de 1920, particularmente influenciada por el libro Gruppentheorie und Quantenmechanik de Hermann Weyl de 1928. Uno de los pioneros en construir una teoría general de representaciones unitarias, para cualquier grupo G en lugar de solo para grupos particulares útiles en aplicaciones, fue George Mackey .
La teoría de las representaciones unitarias de los grupos topológicos está estrechamente relacionada con el análisis armónico . En el caso de un grupo abeliano G , la dualidad de Pontryagin proporciona una imagen bastante completa de la teoría de la representación de G. En general, las clases de equivalencia unitaria (véase más abajo) de las representaciones unitarias irreducibles de G forman su dual unitario . Este conjunto se puede identificar con el espectro del C*-álgebra asociado a G mediante la construcción del C*-álgebra del grupo . Este es un espacio topológico .
La forma general del teorema de Plancherel intenta describir la representación regular de G en L 2 ( G ) usando una medida en el dual unitario. Para G abeliano esto viene dado por la teoría de dualidad de Pontryagin. Para G compacto , esto se hace mediante el teorema de Peter-Weyl ; en ese caso, el dual unitario es un espacio discreto , y la medida une un átomo a cada punto de masa igual a su grado.
Sea G un grupo topológico. Una representación unitaria fuertemente continua de G en un espacio de Hilbert H es un homomorfismo de grupo de G en el grupo unitario de H ,
tal que g → π( g ) ξ es una función norma continua para cada ξ ∈ H .
Nótese que si G es un grupo de Lie , el espacio de Hilbert también admite estructuras analíticas y suaves subyacentes. Se dice que un vector ξ en H es suave o analítico si la función g → π( g ) ξ es suave o analítica (en las topologías norma o débil en H ). [1] Los vectores suaves son densos en H por un argumento clásico de Lars Gårding , ya que la convolución por funciones suaves de soporte compacto produce vectores suaves. Los vectores analíticos son densos por un argumento clásico de Edward Nelson , amplificado por Roe Goodman, ya que los vectores en la imagen de un operador de calor e –tD , correspondiente a un operador diferencial elíptico D en el álgebra envolvente universal de G , son analíticos. Los vectores suaves o analíticos no solo forman subespacios densos; sino que también forman núcleos comunes para los operadores adjuntos-escalonados no acotados correspondientes a los elementos del álgebra de Lie , en el sentido de la teoría espectral . [2]
Se dice que dos representaciones unitarias π 1 : G → U( H 1 ), π 2 : G → U( H 2 ) son unitariamente equivalentes si existe una transformación unitaria A : H 1 → H 2 tal que π 1 ( g ) = A * ∘ π 2 ( g ) ∘ A para todo g en G . Cuando esto se cumple, se dice que A es un operador de entrelazamiento para las representaciones . [3]
Si es una representación de un grupo de Lie conexo en un espacio de Hilbert de dimensión finita , entonces es unitario si y solo si la representación del álgebra de Lie asociada se asigna al espacio de operadores autoadjuntos sesgados en . [4]
Una representación unitaria es completamente reducible , en el sentido de que para cualquier subespacio invariante cerrado , el complemento ortogonal es nuevamente un subespacio invariante cerrado. Esto se encuentra en el nivel de una observación, pero es una propiedad fundamental. Por ejemplo, implica que las representaciones unitarias de dimensión finita son siempre una suma directa de representaciones irreducibles, en el sentido algebraico.
Dado que las representaciones unitarias son mucho más fáciles de manejar que el caso general, es natural considerar representaciones unitarizables , aquellas que se vuelven unitarias al introducir una estructura adecuada de espacio de Hilbert complejo. Esto funciona muy bien para grupos finitos y, de manera más general, para grupos compactos , mediante un argumento de promediado aplicado a una estructura hermítica arbitraria. [5] Por ejemplo, una prueba natural del teorema de Maschke es por esta vía.
En general, para los grupos no compactos, es una cuestión más seria qué representaciones son unitarizables. Uno de los problemas importantes sin resolver en matemáticas es la descripción del dual unitario , la clasificación efectiva de las representaciones unitarias irreducibles de todos los grupos de Lie reductivos reales . Todas las representaciones unitarias irreducibles son admisibles (o más bien sus módulos de Harish-Chandra lo son), y las representaciones admisibles están dadas por la clasificación de Langlands , y es fácil decir cuáles de ellas tienen una forma sesquilineal invariante no trivial . El problema es que en general es difícil decir cuándo la forma cuadrática es definida positiva . Para muchos grupos de Lie reductivos esto se ha resuelto; véase la teoría de la representación de SL2(R) y la teoría de la representación del grupo de Lorentz para ejemplos.
