Representación semisimple

Una representación de un grupo o álgebra que es una suma directa de representaciones simples.

En matemáticas, específicamente en teoría de la representación , una representación semisimple (también llamada representación completamente reducible ) es una representación lineal de un grupo o un álgebra que es una suma directa de representaciones simples (también llamadas representaciones irreducibles ). ^[1] Es un ejemplo de la noción matemática general de semisimplicidad .

Muchas representaciones que aparecen en aplicaciones de la teoría de la representación son semisimples o pueden aproximarse mediante representaciones semisimples. Un módulo semisimple sobre un álgebra sobre un campo es un ejemplo de representación semisimple. Por el contrario, una representación semisimple de un grupo G sobre un campo k es un módulo semisimple sobre el anillo del grupo k [ G ].

Caracterizaciones equivalentes

Sea V una representación de un grupo G ; o más generalmente, sea V un espacio vectorial con un conjunto de endomorfismos lineales actuando sobre él. En general, se dice que un espacio vectorial sobre el que actúa un conjunto de endomorfismos lineales es simple (o irreducible) si los únicos subespacios invariantes para esos operadores son cero y el espacio vectorial mismo; una representación semisimple es entonces una suma directa de representaciones simples en ese sentido. ^[1]

Los siguientes son equivalentes: ^[2]

1. V es semisimple como representación.
2. V es una suma de subrepresentaciones simples .
3. Cada subrepresentación W de V admite una representación complementaria : una subrepresentación W ' tal que . ${\displaystyle V=W\oplus W'}$

Las equivalencias de las condiciones anteriores se pueden mostrar con base en el siguiente lema, que es de interés independiente:

Lema ^[3]  —  Sea p : V → W un mapa sobreyectivo equivariante entre representaciones. Si V es semisimple, entonces p se divide ; es decir, admite una sección .

Prueba del lema : Escribe dónde están las representaciones simples. Sin pérdida de generalidad, podemos asumir que son subrepresentaciones; es decir, podemos suponer que la suma directa es interna. Ahora, considere la familia de todas las sumas directas posibles con varios subconjuntos . Ordene parcialmente diciendo que la suma directa sobre K es menor que la suma directa sobre J si . Por el lema de Zorn , podemos encontrar un máximo tal que . Eso lo afirmamos . Por definición, solo necesitamos mostrar eso . Si es una subrepresentación adecuada de entonces existe tal que . Dado que es simple (irreducible), . Esto contradice la maximalidad de , tal como se afirma. Por tanto, es una sección de p . ${\displaystyle V=\bigoplus _{i\in I}V_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle V_{J}:=\bigoplus _{i\in J}V_{i}\subset V}$ ${\displaystyle J\subset I}$ ${\displaystyle K\subset J}$ ${\displaystyle J\subset I}$ ${\displaystyle \operatorname {ker} p\cap V_{J}=0}$ ${\displaystyle V=\operatorname {ker} p\oplus V_{J}}$ ${\displaystyle \operatorname {ker} p\cap V_{J}=0}$ ${\displaystyle V=\operatorname {ker} p+V_{J}}$ ${\displaystyle \operatorname {ker} p+V_{J}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle k\in I-J}$ ${\displaystyle V_{k}\not \subset \operatorname {ker} p+V_{J}}$ ${\displaystyle V_{k}}$ ${\displaystyle V_{k}\cap (\operatorname {ker} p+V_{J})=0}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle V=\operatorname {ker} p\oplus V_{J}}$ ${\displaystyle W\simeq V/\operatorname {ker} p\simeq V_{J}\to V}$ ${\displaystyle \square }$

Tenga en cuenta que no podemos llevar al conjunto de tales que . La razón es que puede suceder, y sucede con frecuencia, que sea un subespacio de y todavía . Por ejemplo, tome y sean tres líneas distintas que pasan por el origen en . Para un contraejemplo explícito, sea el álgebra de matrices y establezca , la representación regular de . Establecer y y establecer . Entonces , y son todos módulos irreducibles y . Sea la sobreyección natural. Entonces y . En este caso, pero porque esta suma no es directa. ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \ker(p)\cap V_{i}=0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y\oplus Z}$ ${\displaystyle X\cap Y=0=X\cap Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle A=\operatorname {Mat} _{2}(F)}$ ${\displaystyle 2\times 2}$ ${\displaystyle V=A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V_{1}={\Bigl \{}{\begin{pmatrix}a&0\\b&0\end{pmatrix}}{\Bigr \}}}$ ${\displaystyle V_{2}={\Bigl \{}{\begin{pmatrix}0&c\\0&d\end{pmatrix}}{\Bigr \}}}$ ${\displaystyle W={\Bigl \{}{\begin{pmatrix}c&c\\d&d\end{pmatrix}}{\Bigr \}}}$ ${\displaystyle V_{1}}$ ${\displaystyle V_{2}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle V=V_{1}\oplus V_{2}}$ ${\displaystyle p:V\to V/W}$ ${\displaystyle \operatorname {ker} p=W\neq 0}$ ${\displaystyle V_{1}\cap \operatorname {ker} p=0=V_{2}\cap \operatorname {ker} p}$ ${\displaystyle W\simeq V_{1}\simeq V_{2}}$ ${\displaystyle V\neq \operatorname {ker} p\oplus V_{1}\oplus V_{2}}$

Prueba de equivalencias ^[4] : ​​Tomar p como la sobreyección natural . Dado que V es semisimple, p se divide y, por lo tanto, a través de una sección, es isomorfo a una subrepresentación que es complementaria a W. ${\displaystyle 1.\Rightarrow 3.}$ ${\displaystyle V\to V/W}$ ${\displaystyle V/W}$

${\displaystyle 3.\Rightarrow 2.}$: Primero observaremos que cada subrepresentación W distinta de cero tiene una subrepresentación simple. Al reducir W a una subrepresentación cíclica (distinta de cero) , podemos suponer que se genera de forma finita. Entonces tiene una subrepresentación máxima U . Por la condición 3., para algunos . Por ley modular, implica . Entonces es una subrepresentación simple de W ("simple" debido a la maximalidad). Esto establece la observación. Ahora, tomemos como suma de todas las subrepresentaciones simples, que, por 3., admite una representación complementaria . Si , entonces, según la observación inicial, contiene una subrepresentación simple y por lo tanto , es un sinsentido. Por eso, . ${\displaystyle V=U\oplus U'}$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle W=U\oplus (W\cap U')}$ ${\displaystyle (W\cap U')\simeq W/U}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle W'}$ ${\displaystyle W'\neq 0}$ ${\displaystyle W'}$ ${\displaystyle W\cap W'\neq 0}$ ${\displaystyle W'=0}$

${\displaystyle 2.\Rightarrow 1.}$: ^[5] La implicación es una generalización directa de un hecho básico en álgebra lineal de que se puede extraer una base de un conjunto abarcador de un espacio vectorial. Es decir, podemos probar la siguiente afirmación un poco más precisa:

• Cuando es una suma de subrepresentaciones simples, se puede extraer de la suma una descomposición semisimple , algún subconjunto . ${\displaystyle V=\sum _{i\in I}V_{i}}$ ${\displaystyle V=\bigoplus _{i\in I'}V_{i}}$ ${\displaystyle I'\subset I}$

Como en la prueba del lema, podemos encontrar una suma directa máxima que consta de algunos . Ahora, para cada i en I , por simplicidad, o o . En el segundo caso, la suma directa es una contradicción con la maximalidad de W. Por eso, . ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}\subset W}$ ${\displaystyle V_{i}\cap W=0}$ ${\displaystyle W\oplus V_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}\subset W}$ ${\displaystyle \square }$

Ejemplos y no ejemplos

Representaciones unitarias

Una representación unitaria de dimensión finita (es decir, una representación factorizada a través de un grupo unitario ) es un ejemplo básico de una representación semisimple. Tal representación es semisimple ya que si W es una subrepresentación, entonces el complemento ortogonal de W es una representación complementaria ^[6] porque si y , entonces para cualquier w en W ya que W es G -invariante, y así . ${\displaystyle v\in W^{\bot }}$ ${\displaystyle g\in G}$ ${\displaystyle \langle \pi (g)v,w\rangle =\langle v,\pi (g^{-1})w\rangle =0}$ ${\displaystyle \pi (g)v\in W^{\bot }}$

Por ejemplo, dada una representación compleja continua de dimensión finita de un grupo finito o un grupo compacto G , mediante el argumento del promedio, se puede definir un producto interno en V que es G -invariante: es decir, , es decir, es un producto unitario. operador y por tanto es una representación unitaria. ^[6] Por lo tanto, toda representación compleja continua de dimensión finita de G es semisimple. ^[7] Para un grupo finito, este es un caso especial del teorema de Maschke , que dice que una representación de dimensión finita de un grupo finito G sobre un campo k con característica de no dividir el orden de G es semisimple. ^{[8] [9]} ${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$ ${\displaystyle \langle ,\rangle }$ ${\displaystyle \langle \pi (g)v,\pi (g)w\rangle =\langle v,w\rangle }$ ${\displaystyle \pi (g)}$ ${\displaystyle \pi }$

Representaciones de álgebras de Lie semisimples

Según el teorema de Weyl sobre reducibilidad total , toda representación de dimensión finita de un álgebra de Lie semisimple sobre un campo de característica cero es semisimple. ^[10]

Polinomios mínimos separables

Dado un endomorfismo lineal T de un espacio vectorial V , V es semisimple como representación de T (es decir, T es un operador semisimple ) si y sólo si el polinomio mínimo de T es separable; es decir, un producto de distintos polinomios irreducibles. ^[11]

Representación semisimple asociada

Dada una representación de dimensión finita V , el teorema de Jordan-Hölder dice que hay una filtración por subrepresentaciones: tal que cada cociente sucesivo es una representación simple. Entonces el espacio vectorial asociado es una representación semisimple llamada representación semisimple asociada , que, hasta un isomorfismo, está determinada de forma única por V. ^[12] ${\displaystyle V=V_{0}\supset V_{1}\supset \cdots \supset V_{n}=0}$ ${\displaystyle V_{i}/V_{i+1}}$ ${\displaystyle \operatorname {gr} V:=\bigoplus _{i=0}^{n-1}V_{i}/V_{i+1}}$

Grupo unipotente no ejemplo

Por lo general , la representación de un grupo unipotente no es semisimple. Considere el grupo formado por matrices reales ; actúa de forma natural y hace de V una representación de G . Si W es una subrepresentación de V que tiene dimensión 1, entonces un cálculo simple muestra que debe estar abarcada por el vector . Es decir, hay exactamente tres G -subrepresentaciones de V ; en particular, V no es semisimple (ya que una subrepresentación unidimensional única no admite una representación complementaria). ^[13] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$

Descomposición semisimple y multiplicidad.

La descomposición de una representación semisimple en otras simples, denominada descomposición semisimple, no tiene por qué ser única; por ejemplo, para una representación trivial, las representaciones simples son espacios vectoriales unidimensionales y, por tanto, una descomposición semisimple equivale a la elección de una base del espacio vectorial de representación. ^[14] La descomposición isotípica, por otro lado, es un ejemplo de descomposición única. ^[15]

Sin embargo, para una representación semisimple de dimensión finita V sobre un campo algebraicamente cerrado, los números de representaciones simples hasta isomorfismos que aparecen en la descomposición de V (1) son únicos y (2) determinan completamente la representación hasta isomorfismos; ^[16] esto es una consecuencia del lema de Schur de la siguiente manera. Supongamos que se da una representación semisimple de dimensión finita V sobre un campo algebraicamente cerrado: por definición, es una suma directa de representaciones simples. Al agrupar en la descomposición representaciones simples que son isomorfas entre sí, hasta un isomorfismo, se encuentra una descomposición (no necesariamente única): ^[16]

${\displaystyle V\simeq \bigoplus _{i}V_{i}^{\oplus m_{i}}}$

donde son representaciones simples, mutuamente no isomorfas entre sí y son números enteros positivos. Por el lema de Schur, ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$

${\displaystyle m_{i}=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V_{i},V)=\dim \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}(V,V_{i})}$,

donde se refiere a los mapas lineales equivariantes . Además, cada uno no cambia si se reemplaza por otra representación simple isomórfica . Por tanto, los números enteros son independientes de las descomposiciones elegidas; son las multiplicidades de representaciones simples , hasta isomorfismos, en V. ^[17] ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\text{equiv}}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle m_{i}}$ ${\displaystyle V_{i}}$

En general, dada una representación de dimensión finita de un grupo G sobre un campo k , la composición se denomina carácter de . ^[18] Cuando es semisimple con la descomposición anterior, la traza es la suma de las trazas de con multiplicidades y, por lo tanto, como funciones en G , ${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$ ${\displaystyle \chi _{V}:G{\overset {\pi }{\to }}GL(V){\overset {\text{tr}}{\to }}k}$ ${\displaystyle (\pi ,V)}$ ${\displaystyle (\pi ,V)}$ ${\displaystyle V\simeq \bigoplus _{i}V_{i}^{\oplus m_{i}}}$ ${\displaystyle \operatorname {tr} (\pi (g))}$ ${\displaystyle \pi (g):V_{i}\to V_{i}}$

${\displaystyle \chi _{V}=\sum _{i}m_{i}\chi _{V_{i}}}$

¿Dónde están los personajes de ? Cuando G es un grupo finito o, más generalmente, un grupo compacto y es una representación unitaria con el producto interno dado por el argumento promediador, las relaciones de ortogonalidad de Schur dicen: ^[19] los caracteres irreducibles (caracteres de representaciones simples) de G son ortonormales subconjunto del espacio de funciones de valores complejos en G y por lo tanto . ${\displaystyle \chi _{V_{i}}}$ ${\displaystyle V_{i}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle m_{i}=\langle \chi _{V},\chi _{V_{i}}\rangle }$

Descomposición isotípica

Existe una descomposición de una representación semisimple que es única, llamada descomposición isotípica de la representación. Por definición, dada una representación simple S , el componente isotípico de tipo S de una representación V es la suma de todas las subrepresentaciones de V que son isomorfas a S ; ^[15] tenga en cuenta que el componente también es isomorfo a la suma directa de alguna elección de subrepresentaciones isomorfas a S (por lo que el componente es único, mientras que los sumandos no son necesarios).

Entonces la descomposición isotípica de una representación semisimple V es la descomposición de suma directa (única): ^{[15] [20]}

${\displaystyle V=\bigoplus _{\lambda \in {\widehat {G}}}V^{\lambda }}$

donde es el conjunto de clases de isomorfismo de representaciones simples de G y es el componente isotípico de V de tipo S para algunos . ${\displaystyle {\widehat {G}}}$ ${\displaystyle V^{\lambda }}$ ${\displaystyle S\in \lambda }$

Ejemplo

Sea el espacio de polinomios homogéneos de grado tres sobre los números complejos en variables . Luego actúa por permutación de las tres variables. Esta es una representación compleja de dimensión finita de un grupo finito y, por tanto, es semisimple. Por lo tanto, esta representación de 10 dimensiones se puede dividir en tres componentes isotípicos, cada uno correspondiente a una de las tres representaciones irreductibles de . En particular, contiene tres copias de la representación trivial, una copia de la representación de signos y tres copias de la representación bidimensional irreducible de . Por ejemplo, el lapso de y es isomorfo a . Esto se puede ver más fácilmente escribiendo este subespacio bidimensional como ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle x_{1}^{2}x_{2}-x_{2}^{2}x_{1}+x_{1}^{2}x_{3}-x_{2}^{2}x_{3}}$ ${\displaystyle x_{2}^{2}x_{3}-x_{3}^{2}x_{2}+x_{2}^{2}x_{1}-x_{3}^{2}x_{1}}$ ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W_{1}=\{a(x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}^{2}x_{3})+b(x_{2}^{2}x_{1}+x_{2}^{2}x_{3})+c(x_{3}^{2}x_{1}+x_{3}^{2}x_{2})\mid a+b+c=0\}}$.

Otra copia de se puede escribir de forma similar: ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W_{2}=\{a(x_{2}^{2}x_{1}+x_{3}^{2}x_{1})+b(x_{1}^{2}x_{2}+x_{3}^{2}x_{2})+c(x_{1}^{2}x_{3}+x_{2}^{2}x_{3})\mid a+b+c=0\}}$.

También puede hacerlo el tercero:

${\displaystyle W_{3}=\{ax_{1}^{3}+bx_{2}^{3}+cx_{3}^{3}\mid a+b+c=0\}}$.

Entonces es el componente isotípico del tipo en . ${\displaystyle W_{1}\oplus W_{2}\oplus W_{3}}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle V}$

Terminación

En el análisis de Fourier , se descompone una función (bonita) como el límite de la serie de Fourier de la función. De la misma manera, una representación en sí misma puede no ser semisimple, pero puede ser la culminación (en un sentido adecuado) de una representación semisimple. El caso más básico de esto es el teorema de Peter-Weyl , que descompone la representación regular izquierda (o derecha) de un grupo compacto en la compleción en el espacio de Hilbert de la suma directa de todas las representaciones unitarias simples. Como corolario, ^[21] existe una descomposición natural para = el espacio de Hilbert de (clases de) funciones integrables al cuadrado en un grupo compacto G : ${\displaystyle W=L^{2}(G)}$

${\displaystyle W\simeq {\widehat {\bigoplus _{[(\pi ,V)]}}}V^{\oplus \dim V}}$

donde significa la finalización de la suma directa y la suma directa abarca todas las clases de isomorfismo de representaciones unitarias simples de dimensión finita de G . ^{[nota 1]} Tenga en cuenta aquí que cada representación unitaria simple (hasta un isomorfismo) aparece en la suma con la multiplicidad de la dimensión de la representación. ${\displaystyle {\widehat {\bigoplus }}}$ ${\displaystyle (\pi ,V)}$

Cuando el grupo G es un grupo finito, el espacio vectorial es simplemente el álgebra de grupo de G y además la terminación es vacía. Por lo tanto, el teorema simplemente dice que ${\displaystyle W=\mathbb {C} [G]}$

${\displaystyle \mathbb {C} [G]=\bigoplus _{[(\pi ,V)]}V^{\oplus \dim V}.}$

Es decir, cada representación simple de G aparece en la representación regular con multiplicidad la dimensión de la representación. ^[22] Este es uno de los hechos estándar en la teoría de la representación de un grupo finito (y es mucho más fácil de probar).

Cuando el grupo G es el grupo circular , el teorema equivale exactamente al análisis clásico de Fourier. ^[23] ${\displaystyle S^{1}}$

Aplicaciones a la física

En mecánica cuántica y física de partículas , el momento angular de un objeto puede describirse mediante representaciones complejas del grupo de rotación SO(3) , todas ellas semisimples. ^[24] Debido a la conexión entre SO(3) y SU(2) , el espín no relativista de una partícula elemental se describe mediante representaciones complejas de SU(2) y el espín relativista se describe mediante representaciones complejas de SL ₂ ( C ) , todos los cuales son semisimples. ^[24] En el acoplamiento de momento angular , los coeficientes de Clebsch-Gordan surgen de las multiplicidades de representaciones irreducibles que ocurren en la descomposición semisimple de un producto tensorial de representaciones irreducibles. ^[25]

Notas

1. Para ser precisos, el teorema se refiere a la representación regular de y la afirmación anterior es un corolario. ${\displaystyle G\times G}$

Referencias

Citas

1. Procesi 2007, cap. 6, § 1.1, Definición 1 (ii).
2. Proceso 2007, cap. 6, § 2.1.
3. Anderson y Fuller 1992, Proposición 9.4.
4. Anderson y Fuller 1992, teorema 9.6.
5. Anderson y Fuller 1992, Lema 9.2.
6. Fulton y Harris 1991, § 9.3. A
7. Salón 2015, Teorema 4.28
8. Fulton y Harris 1991, Corolario 1.6.
9. Serre 1977, Teorema 2.
10. Teorema 10.9 de Hall 2015
11. Jacobson 1989, § 3.5. Ejercicio 4.
12. Artin 1999, cap. V, § 14.
13. Fulton y Harris 1991, justo después del Corolario 1.6.
14. Serre 1977, § 1.4. observación
15. Procesi 2007, cap. 6, § 2.3.
16. Fulton y Harris 1991, Proposición 1.8.
17. Fulton y Harris 1991, § 2.3.
18. Fulton y Harris 1991, § 2.1. Definición
19. Serre 1977, § 2.3. Teorema 3 y § 4.3.
20. Serre 1977, § 2.6. Teorema 8 (i)
21. Proceso 2007, cap. 8, Teorema 3.2.
22. Serre 1977, § 2.4. Corolario 1 de la Proposición 5
23. Proceso 2007, cap. 8, § 3.3.
24. Hall, Brian C. (2013). "Momento angular y giro". Teoría cuántica para matemáticos . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 267. Saltador . págs. 367–392. ISBN 978-1461471158.
25. Klimyk, AU; Gavrilik, AM (1979). "Elementos de la matriz de representación y coeficientes de Clebsch-Gordan de los grupos de Lie semisimples". Revista de Física Matemática . 20 (1624): 1624-1642. Código bibliográfico : 1979JMP....20.1624K. doi : 10.1063/1.524268.

Fuentes

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Anillos y categorías de módulos , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 13 (2ª ed.), Nueva York, NY: Springer-Verlag, págs. x+376, doi :10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, señor  1245487; NB: esta referencia, nominalmente, considera un módulo semisimple sobre un anillo, no sobre un grupo, pero esto no es una diferencia material (la parte abstracta de la discusión también se aplica a los grupos).
• Artín, Michael (1999). "Anillos no conmutativos" (PDF) .
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. SEÑOR  1153249. OCLC  246650103.
• Salón, Brian C. (2015). Grupos de mentiras, álgebras de mentiras y representaciones: una introducción elemental . Textos de Posgrado en Matemáticas. vol. 222 (2ª ed.). Saltador. ISBN 978-3319134666.
• Jacobson, Nathan (1989), Álgebra básica II (2ª ed.), WH Freeman, ISBN 978-0-7167-1933-5
• Proceso, Claudio (2007). Grupos de mentiras: una aproximación a través de invariantes y representación . Saltador. ISBN 9780387260402..
• Serre, Jean-Pierre (1 de septiembre de 1977). Representaciones lineales de grupos finitos . Textos de Graduado en Matemáticas , 42 . Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90190-9. Señor  0450380. Zbl  0355.20006.