módulo cíclico

En matemáticas , más específicamente en teoría de anillos , un módulo cíclico o módulo monógeno ^[1] es un módulo sobre un anillo que es generado por un elemento. El concepto es una generalización de la noción de grupo cíclico , es decir, un grupo abeliano (es decir, módulo Z ) generado por un elemento.

Definición

Un módulo R izquierdo M se denomina cíclico si M puede generarse mediante un solo elemento, es decir, M = ( x ) = Rx = { rx | r ∈ R } para algunos x en M . De manera similar, un módulo R derecho N es cíclico si N = yR para algún y ∈ N .

Ejemplos

• 2 Z como módulo Z es un módulo cíclico.
• De hecho, todo grupo cíclico es un módulo Z cíclico .
• Cada R -módulo M simple es un módulo cíclico ya que el submódulo generado por cualquier elemento x distinto de cero de M es necesariamente el módulo completo M. En general, un módulo es simple si y sólo si es distinto de cero y es generado por cada uno de sus elementos distintos de cero. ^[2]
• Si el anillo R se considera como un módulo izquierdo sobre sí mismo, entonces sus submódulos cíclicos son exactamente sus ideales principales izquierdos como anillo. Lo mismo se aplica a R como módulo R derecho , mutatis mutandis .
• Si R es F [ x ], el anillo de polinomios sobre un campo F , y V es un módulo R que también es un espacio vectorial de dimensión finita sobre F , entonces los bloques de Jordan de x que actúan sobre V son submódulos cíclicos. (Todos los bloques de Jordan son isomorfos a F [ x ] / ( x − λ ) ⁿ ; también puede haber otros submódulos cíclicos con diferentes aniquiladores ; ver más abajo).

Propiedades

• Dado un módulo R cíclico M generado por x , existe un isomorfismo canónico entre M y R / Ann _R x , donde Ann _R x denota el aniquilador de x en R.

• Cada módulo es una suma de submódulos cíclicos. ^[3]

Ver también

• Módulo generado finitamente

Referencias

1. Bourbaki, Álgebra I: Capítulos 1 a 3, p. 220
2. Anderson y Fuller 1992, justo después de la Proposición 2.7.
3. Anderson y Fuller 1992, Proposición 2.7.

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Anillos y categorías de módulos , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 13 (2 ed.), Nueva York: Springer-Verlag, págs. x+376, doi :10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, SEÑOR  1245487
• B. Hartley ; A Hawkes (1970). Anillos, módulos y álgebra lineal . Chapman y Hall. págs.77, 152. ISBN 0-412-09810-5.
• Lang, Serge (1993), Álgebra (tercera ed.), Reading, Mass.: Addison-Wesley, págs. 147-149, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001