Glosario de teoría de la representación

Este es un glosario de la teoría de la representación en matemáticas .

El término "módulo" se utiliza a menudo como sinónimo de representación; para la terminología de teoría de módulos, véase también el glosario de teoría de módulos .

Véase también Glosario de grupos de Lie y álgebras de Lie , lista de temas de teoría de la representación y Categoría:Teoría de la representación .

Notaciones : Escribimos . Así, por ejemplo, una representación unívoca (es decir, un carácter) de un grupo G tiene la forma . ${\displaystyle \mathbb {G} _{m}=GL_{1}}$ ${\displaystyle \chi :G\to \mathbb {G} _{m}}$

A

Adán

Operaciones de Adams .

adjunto

La representación adjunta de un grupo de Lie G es la representación dada por la acción adjunta de G sobre el álgebra de Lie de G (una acción adjunta se obtiene, aproximadamente, diferenciando una acción de conjugación).

admisible

Una representación de un grupo reductivo real se denomina admisible si (1) un subgrupo compacto maximalista K actúa como operador unitario y (2) cada representación irreducible de K tiene multiplicidad finita.

alterno

El cuadrado alterno de una representación V es una subrepresentación de la segunda potencia tensorial . ${\displaystyle \operatorname {Alt} ^{2}(V)}$ ${\displaystyle V^{\otimes 2}=V\otimes V}$

Arte

1.   Emil Artin .

2.   El teorema de Artin sobre caracteres inducidos establece que un carácter de un grupo finito es una combinación lineal racional de caracteres inducidos a partir de subgrupos cíclicos.

3.   La representación de Artin se utiliza en la definición del conductor de Artin .

automórfico

representación automorfa

B

Teorema de Borel-Weil-Bott

Sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica cero, el teorema de Borel-Weil-Bott realiza una representación irreducible de un grupo algebraico reductivo como el espacio de las secciones globales de un fibrado lineal en una variedad bandera. (En el caso de característica positiva, la construcción solo produce módulos de Weyl , que pueden no ser irreducibles).

derivación

regla de ramificación

Brauer

El teorema de Brauer sobre caracteres inducidos establece que un carácter de un grupo finito es una combinación lineal con coeficientes enteros de caracteres inducidos a partir de subgrupos elementales.

do

Teoría de Cartan-Weyl

Otro nombre para la teoría de representación de las álgebras de Lie semisimples .

Elemento Casimir

Un elemento de Casimir es un elemento distinguido del centro del álgebra envolvente universal de un álgebra de Lie.

categoría de representaciones

Las representaciones y los mapas equivariantes entre ellas forman una categoría de representaciones .

personaje

1. Un carácter es una representación unidimensional.

2. El carácter de una representación de dimensión finita π es la función . En otras palabras, es la composición . ${\displaystyle g\mapsto \operatorname {tr} \pi (g)}$ ${\displaystyle G{\overset {\pi }{\to }}GL(V){\overset {\operatorname {tr} }{\to }}\mathbb {G} _{m}}$

3. Un carácter irreducible (resp. un carácter trivial ) es el carácter de una representación irreducible (resp. una representación trivial).

4. El grupo de caracteres de un grupo G es el grupo de todos los caracteres en G ; es decir, . ${\displaystyle \operatorname {Hom} (G,\mathbb {G} _{m})}$

5. El anillo de caracteres es el anillo de grupo (sobre los números enteros ) del grupo de caracteres de G.

6. Un personaje virtual es un elemento de un anillo de personajes.

7. Se puede definir un carácter distribucional para una representación de dimensión infinita.

8. Un carácter infinitesimal .

Valle de Chevalley

1. Valle de Chevalley

2.   Generadores Chevalley

3.   Grupo Chevalley .

4.   Teorema de restricción de Chevalley .

función de clase

Una función de clase f en un grupo G es una función tal que ; es una función en clases de conjugación. ${\displaystyle f(g)=f(hgh^{-1})}$

álgebra de grupos

Un álgebra de grupos es un dominio integral con cierta estructura combinatoria en los generadores, introducido en un intento de sistematizar la noción de una base canónica dual.

coadjunta

Una representación coadjunta es la representación dual de una representación adjunta.

completo

“Completamente reducible” es otro término para “semisimple”.

complejo

1. Una representación compleja es una representación de G en un espacio vectorial complejo. Muchos autores se refieren a las representaciones complejas simplemente como representaciones.

2. El complejo conjugado de una representación compleja V es la representación con el mismo grupo aditivo subyacente V con la acción lineal de G pero con la acción de un número complejo a través de la conjugación compleja. ${\displaystyle {\overline {V}}}$

3. Una representación compleja es autoconjugada si es isomorfa a su conjugado complejo.

complementario

Una representación complementaria a una subrepresentación W de una representación V es una representación W ' tal que V es la suma directa de W y W ' .

de cúspide

representación cuspidal

cristal

base de cristal

cíclico

Un módulo G cíclico es un módulo G generado por un único vector. Por ejemplo, una representación irreducible es necesariamente cíclica.

D

Dedekind

Teorema de Dedekind sobre la independencia lineal de los caracteres.

definido sobre

Dada una extensión de campo , se dice que una representación V de un grupo G sobre K está definida sobre F si para alguna representación sobre F tal que se induce por ; es decir, . Aquí, se llama una F -forma de V (y no es necesariamente única). ${\displaystyle K/F}$ ${\displaystyle V\simeq V_{0}\otimes _{F}K}$ ${\displaystyle V_{0}}$ ${\displaystyle g:V\to V}$ ${\displaystyle g:V_{0}\to V_{0}}$ ${\displaystyle g\cdot (v\otimes \lambda )=gv\otimes \lambda }$ ${\displaystyle V_{0}}$

Desmazure

La fórmula del personaje de Demazure

suma directa

La suma directa de las representaciones V , W es una representación que es la suma directa de los espacios vectoriales junto con la acción del grupo lineal . ${\displaystyle V\oplus W}$ ${\displaystyle \pi _{V\oplus W}(g)(v+w)=\pi _{V}(g)v+\pi _{W}(g)w}$

discreto

Se dice que una representación irreducible de un grupo de Lie G está en la serie discreta si todos sus coeficientes matriciales son integrables al cuadrado. Por ejemplo, si G es compacto, entonces toda representación irreducible de él está en la serie discreta.

dominante

Las representaciones irreducibles de un grupo de Lie compacto simplemente conexo se indexan según su peso más alto. Estos pesos dominantes forman los puntos reticulares de un ortante en la red de pesos del grupo de Lie.

dual

1. La representación dual (o representación contragrediente) de una representación V es una representación que es el espacio vectorial dual junto con la acción de grupo lineal que preserva el emparejamiento natural. ${\displaystyle V^{*}=\operatorname {Hom} (V,k)}$ ${\displaystyle V^{*}\times V\to k}$

2. Una base canónica dual es un dual de la base canónica de Lusztig.

mi

Eisenstein

Serie de Eisenstein

equivariante

El término “ G -equivariante” es otro término para “ G -lineal”.

exterior

Una potencia exterior de una representación V es una representación con la acción de grupo inducida por . ${\displaystyle \wedge ^{n}(V)}$ ${\displaystyle V^{\otimes n}\to \wedge ^{n}(V)}$

F

fiel

Una representación fiel es una representación tal que es inyectiva como función. ${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$ ${\displaystyle \pi }$

functor de fibra

funtor de fibra

Reciprocidad de Frobenius

La reciprocidad de Frobenius establece que para cada representación de H y representación de G existe una biyección. ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \pi }$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{G}(\pi ,\operatorname {Ind} _{H}^{G}\sigma )=\operatorname {Hom} _{H}(\pi |_{H},\sigma )}$

Esto es natural en el sentido de que es el funtor adjunto derecho del funtor de restricción . ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}}$ ${\displaystyle \pi \mapsto \pi |_{H}}$

fundamental

Representación fundamental : Para las representaciones irreducibles de un grupo de Lie compacto simplemente conexo existe un conjunto de pesos fundamentales , indexados por los vértices del diagrama de Dynkin de G, de modo que los pesos dominantes son simplemente combinaciones lineales enteras no negativas de los pesos fundamentales. Las representaciones irreducibles correspondientes son las representaciones fundamentales del grupo de Lie. En particular, a partir de la expansión de un peso dominante en términos de los pesos fundamentales, se puede tomar un producto tensorial correspondiente de las representaciones fundamentales y extraer una copia de la representación irreducible correspondiente a ese peso dominante. En el caso del grupo unitario especial SU ( n ), las n − 1 representaciones fundamentales son los productos de cuña

${\displaystyle Alt^{k}\ {\mathbb {C} }^{n}}$

que consiste en tensores alternados , para k=1,2,...,n-1.

GRAMO

G -lineal

Un mapa G -lineal entre representaciones es una transformación lineal que conmuta con las G -acciones ; es decir, para cada g en G. ${\displaystyle f:V\to W}$ ${\displaystyle f\circ \pi _{V}(g)=\pi _{W}(g)\circ f}$

Módulo G

Otro nombre para una representación. Permite la terminología de la teoría de módulos: por ejemplo, G -módulo trivial, G -submódulos, etc.

Fibrado vectorial G -equivariante

Un fibrado vectorial G -equivariante es un fibrado vectorial en un G -espacio X junto con una G -acción en E (digamos a la derecha) tal que es una función lineal bien definida. ${\displaystyle p:E\to X}$ ${\displaystyle g:p^{-1}(x)\to p^{-1}(xg)}$

Galois

Representación de Galois .

bien

Una buena filtración de una representación de un grupo reductivo G es una filtración tal que los cocientes sean isomorfos a donde están los fibrados de líneas en la variedad bandera . ${\displaystyle H^{0}(\lambda )=\Gamma (G/B,L_{\lambda })}$ ${\displaystyle L_{\lambda }}$ ${\displaystyle G/B}$

yo

Harish Chandra

1.   Harish-Chandra (11 de octubre de 1923 – 16 de octubre de 1983), matemático indio-estadounidense.

2. El teorema de Harish-Chandra Plancherel.

peso más alto

1. Dada un álgebra de Lie semisimple compleja , una subálgebra de Cartan y una elección de una cámara de Weyl positiva , el mayor peso de una representación de es el peso de un vector de peso v tal que para cada raíz positiva ( v se llama el vector de peso más alto). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle E_{\alpha }v=0}$ ${\displaystyle \alpha }$

2. El teorema del peso más alto establece que (1) dos representaciones irreducibles de dimensión finita de son isomorfas si y solo si tienen el mismo peso más alto y (2) para cada integral dominante , hay una representación irreducible de dimensión finita que tiene como su peso más alto. ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle \lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle \lambda }$

Hogar

La representación Hom de las representaciones V , W es una representación con la acción de grupo obtenida por la identificación del espacio vectorial . ${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)}$ ${\displaystyle \operatorname {Hom} (V,W)=V^{*}\otimes W}$

I

indescomponible

Una representación indescomponible es una representación que no es una suma directa de al menos dos subrepresentaciones propias.

inducción

1. Dada una representación de un subgrupo H de un grupo G , la representación inducida ${\displaystyle (\sigma ,W)}$

${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}(\sigma )=\{f:G\to W|f(hg)=\sigma (h)f(g)\}}$

es una representación de G que se induce en las funciones H -lineales ; cf. #Reciprocidad de Frobenius. ${\displaystyle f:G\to W}$

2. Dependiendo de las aplicaciones, es común imponer condiciones adicionales a las funciones ; por ejemplo, si se requiere que las funciones estén soportadas de forma compacta, entonces la inducción resultante se denomina inducción compacta. ${\displaystyle f:G\to W}$

Infinitesimalmente

Se dice que dos representaciones admisibles de un grupo reductivo real son infinitesimalmente equivalentes si sus representaciones del álgebra de Lie asociadas en el espacio de vectores K -finitos son isomorfas.

integrable

Se dice que una representación de un álgebra de Kac-Moody es integrable si (1) es una suma de espacios de pesos y (2) los generadores de Chevalley son localmente nilpotentes. ${\displaystyle e_{i},f_{i}}$

entrelazando

El término " operador de entrelazamiento " es un nombre antiguo para un mapa G -lineal entre representaciones.

involución

Una representación de involución es una representación de un álgebra C* en un espacio de Hilbert que preserva la involución.

irreducible

Una representación irreducible es una representación cuyas únicas subrepresentaciones son cero y ella misma. El término "irreducible" es sinónimo de "simple".

isomorfismo

Un isomorfismo entre representaciones de un grupo G es una función G -lineal invertible entre las representaciones.

isotípico

1. Dada una representación V y una representación simple W (subrepresentación o no), el componente isotípico de V de tipo W es la suma directa de todas las subrepresentaciones de V que son isomorfas a W. Por ejemplo, sea A un anillo y G un grupo que actúa sobre él como automorfismos. Si A es semisimple como un G -módulo, entonces el anillo de invariantes es el componente isotípico de A de tipo trivial. ${\displaystyle A^{G}}$

2. La descomposición isotípica de una representación semisimple es la descomposición en los componentes isotípicos.

Yo

Chaqueta

Función de la chaqueta

K

Caca

La fórmula del personaje Kac

K-finito

Se dice que un vector v en un espacio de representación de un grupo K es K -finito si abarca un espacio vectorial de dimensión finita. ${\displaystyle K\cdot v}$

Kirillov

La fórmula del carácter de Kirillov

yo

enrejado

1. La red de raíces es el grupo abeliano libre generado por las raíces.

2. La red de pesos es el grupo de todos los funcionales lineales en un subálgebra de Cartan que son integrales: es un entero para cada raíz . ${\displaystyle \chi \in {\mathfrak {h}}^{*}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \chi (H_{\alpha })}$ ${\displaystyle \alpha }$

Pequeño hombre

Modelo de trayectoria de Littelmann

METRO

Teorema de Maschke

El teorema de Maschke establece que una representación de dimensión finita sobre un campo F de un grupo finito G es una representación semisimple si la característica de F no divide el orden de G.

Teoría de Mackey

La teoría de Mackey puede considerarse una herramienta para responder a la pregunta: dada una representación W de un subgrupo H de un grupo G , ¿cuándo la representación inducida es una representación irreducible de G ? ^[1] ${\displaystyle \operatorname {Ind} _{H}^{G}W}$

Maass–Selberg

Relaciones Maass-Selberg .

coeficiente de matriz

Un coeficiente matricial de una representación es una combinación lineal de funciones en G de la forma para v en V y en el espacio dual . Nótese que la noción tiene sentido para cualquier grupo: si G es un grupo topológico y es continuo, entonces un coeficiente matricial sería una función continua en G . Si G y son algebraicos, sería una función regular en G . ${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$ ${\displaystyle g\mapsto \langle \pi (g)v,\alpha \rangle }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle V^{*}}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

modular

La teoría de la representación modular .

Molino

Dada una representación compleja de dimensión finita V de un grupo finito G , el teorema de Molien dice que la serie , donde denota el espacio de polinomios homogéneos -invariantes en V de grado n , coincide con . El teorema también es válido para un grupo reductivo mediante sustitución por integración sobre un subgrupo compacto maximalista. ${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\dim(\mathbb {C} [V]^{G})_{n}t^{n}}$ ${\displaystyle (\mathbb {C} [V]^{G})_{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (\#G)^{-1}\sum _{g\in G}\det(1-tg|V)^{-1}}$ ${\displaystyle (\#G)^{-1}\sum _{g\in G}}$

Oh

Oscilador

Representación del oscilador

órbita

Método de la órbita , un enfoque de la teoría de la representación que utiliza herramientas de la geometría simpléctica.

PAG

Peter–Weyl

El teorema de Peter-Weyl establece que el espacio lineal de los coeficientes de la matriz en un grupo compacto G es denso en . ${\displaystyle L^{2}(G)}$

permutación

Dado un grupo G , un G -conjunto X y V el espacio vectorial de funciones de X a un cuerpo fijo, una representación de permutación de G sobre V es una representación dada por la acción inducida de G sobre V ; es decir, . Por ejemplo, si X es un conjunto finito y V se considera un espacio vectorial con una base parametrizada por X , entonces el grupo simétrico permuta los elementos de la base y su extensión lineal es precisamente la representación de permutación. ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle (\pi (g)v)(x)=v(g^{-1}x)}$ ${\displaystyle G=\operatorname {Sym} (X)}$

Plancherel

Fórmula de Plancherel

representación de energía positiva

representación de energía positiva.

primitivo

El término "elemento primitivo" (o vector) es un término antiguo para un vector de peso de Borel.

descriptivo

Una representación proyectiva de un grupo G es un homomorfismo de grupo . Como , una representación proyectiva es precisamente una acción de grupo de G sobre automorfismos como . ${\displaystyle \pi :G\to PGL(V)=GL(V)/\mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle PGL(V)=\operatorname {Aut} (\mathbb {P} (V))}$ ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$

adecuado

Una subrepresentación adecuada de una representación V es una subrepresentación que no es V.

Q

cociente

Dada una representación V y una subrepresentación , la representación cociente es la representación dada por . ${\displaystyle W\subset V}$ ${\displaystyle (\pi _{V/W},V/W)}$ ${\displaystyle \pi _{V/W}(g):V/W\to V/W,\,v+W\mapsto gv+W}$

cuaterniónico

Una representación cuaterniónica de un grupo G es una representación compleja equipada con una estructura cuaterniónica G -invariante .

carcaj

Un carcaj , por definición, es un gráfico dirigido. Pero normalmente se estudian representaciones de un carcaj.

R

racional

Una representación V es racional si cada vector v en V está contenido en alguna subrepresentación de dimensión finita (dependiendo de v ).

real

1. Una representación real de un espacio vectorial es una representación en un espacio vectorial real.

2. Un carácter real es un carácter de un grupo G tal que para todo g en G . ^[2] ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \chi (g)\in \mathbb {R} }$

regular

1. Una representación regular de un grupo finito G es la representación inducida de G en el álgebra de grupo sobre un cuerpo de G .

2. Una representación regular de un grupo algebraico lineal G es la representación inducida en el anillo de coordenadas de G . Véase también: representación en anillos de coordenadas .

representación

1.  

La teoría de la representación es sencilla de definir: es el estudio de las formas en que un grupo determinado puede actuar sobre espacios vectoriales. Sin embargo, es casi seguro que es única entre estos temas claramente delineados, en cuanto a la amplitud de su interés para los matemáticos. Esto no es sorprendente: las acciones grupales son omnipresentes en las matemáticas del siglo XX, y cuando el objeto sobre el que actúa un grupo no es un espacio vectorial, hemos aprendido a reemplazarlo por uno que sí lo es (por ejemplo, un grupo de cohomología, un espacio tangente, etc.). Como consecuencia, muchos matemáticos que no son especialistas en el campo (o incluso aquellos que creen que podrían querer serlo) entran en contacto con el tema de diversas maneras.

Fulton, William; Harris, Joe, Teoría de la representación: un primer curso

Una representación lineal de un grupo G es un homomorfismo de grupo de G al grupo lineal general . Dependiendo del grupo G , a menudo se requiere implícitamente que el homomorfismo sea un morfismo en una categoría a la que pertenece G ; por ejemplo, si G es un grupo topológico , entonces debe ser continuo. El adjetivo "lineal" a menudo se omite. ${\displaystyle \pi :G\to GL(V)}$ ${\displaystyle GL(V)}$ ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle \pi }$

2. De manera equivalente, una representación lineal es una acción de grupo de G sobre un espacio vectorial V que es lineal: la acción tal que para cada g en G , es una transformación lineal. ${\displaystyle \sigma :G\times V\to V}$ ${\displaystyle \sigma _{g}:V\to V,v\mapsto \sigma (g,v)}$

3. Una representación virtual es un elemento del anillo de Grothendieck de la categoría de representaciones.

representante

El término " función representativa " es otro término para un coeficiente de matriz .

S

Schur

1.  

Issai Schur

Issai Schur

2.   El lema de Schur establece que una función G -lineal entre representaciones irreducibles debe ser biyectiva o cero.

3. Las relaciones de ortogonalidad de Schur en un grupo compacto dicen que los caracteres de las representaciones irreducibles no isomorfas son ortogonales entre sí.

4. El funtor de Schur construye representaciones como potencias simétricas o potencias exteriores según una partición . Los caracteres de son polinomios de Schur . ${\displaystyle V\mapsto S^{\lambda }(V)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle S^{\lambda }(V)}$

5. La dualidad Schur-Weyl calcula las representaciones irreducibles que ocurren en potencias tensoriales de -módulos. ${\displaystyle GL(V)}$

6. Un polinomio de Schur es una función simétrica , de un tipo que aparece en la fórmula del carácter de Weyl aplicada a grupos unitarios.

7.   Índice de Schur .

8. Un complejo de Schur.

semisimple

Una representación semisimple (también llamada representación completamente reducible) es una suma directa de representaciones simples.

simple

Otro término para "irreducible".

liso

1. Una representación suave de un grupo localmente profinito G es una representación compleja tal que, para cada v en V , existe algún subgrupo abierto compacto K de G que fija v ; es decir, para cada g en K . ${\displaystyle g\cdot v=v}$

2. Un vector suave en un espacio de representación de un grupo de Lie es un vector v tal que es una función suave. ${\displaystyle g\mapsto g\cdot v}$

Espectro

Módulo Specht

Steinberg

Representación de Steinberg .

subrepresentación

Una subrepresentación de una representación de G es un subespacio vectorial W de V tal que está bien definido para cada g en G. ${\displaystyle (\pi ,V)}$ ${\displaystyle \pi (g):W\to W}$

Cisne

La representación Swan se utiliza para definir el conductor Swan .

simétrico

1. Una potencia simétrica de una representación V es una representación con la acción de grupo inducida por . ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{n}(V)}$ ${\displaystyle V^{\otimes n}\to \operatorname {Sym} ^{n}(V)}$

2. En particular, el cuadrado simétrico de una representación V es una representación con la acción de grupo inducida por . ${\displaystyle \operatorname {Sym} ^{2}(V)}$ ${\displaystyle V^{\otimes 2}\to \operatorname {Sym} ^{2}(V)}$

sistema de imprimitividad

Un concepto de la teoría de Mackey . Véase sistema de imprimitividad .

yo

La dualidad tannakiana

La dualidad tannakiana es, en términos generales, la idea de que un grupo puede recuperarse a partir de todas sus representaciones.

templado

representación templada

tensor

Una representación tensorial es, aproximadamente, una representación obtenida a partir de productos tensoriales (de ciertas representaciones).

producto tensorial

El producto tensorial de las representaciones V , W es la representación que es el producto tensorial de los espacios vectoriales junto con la acción del grupo lineal . ${\displaystyle V\otimes W}$ ${\displaystyle \pi _{V\otimes W}(g)(v\otimes w)=\pi _{V}(g)v\otimes \pi _{W}(g)w}$

trivial

1. Una representación trivial de un grupo G es una representación π tal que π( g ) es la identidad para cada g en G .

2. Un carácter trivial de un grupo G es un carácter que es trivial como representación.

tú

uniformemente delimitado

Una representación uniformemente acotada de un grupo localmente compacto es una representación en el álgebra de operadores acotados que es continua en la topología de operadores fuerte y que es tal que la norma del operador dada por cada elemento del grupo está uniformemente acotada.

unitario

1. Una representación unitaria de un grupo G es una representación π tal que π( g ) es un operador unitario para cada g en G .

2. Una representación unitarizable es una representación equivalente a una representación unitaria.

V

Módulo Verma

Dada un álgebra de Lie semisimple compleja , un subálgebra de Cartan y una elección de una cámara de Weyl positiva , el módulo de Verma asociado a un funcional lineal es el cociente del álgebra envolvente por el ideal izquierdo generado por para todas las raíces positivas así como para todos los . ^[3] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle M_{\chi }}$ ${\displaystyle \chi :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$ ${\displaystyle E_{\alpha }}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle H-\chi (H)1}$ ${\displaystyle H\in {\mathfrak {h}}}$

Yo

peso

1. El término "peso" es otro nombre para un carácter.

2. El subespacio de peso de una representación V de un peso es el subespacio que tiene dimensión positiva. ${\displaystyle \chi :G\to \mathbb {G} _{m}}$ ${\displaystyle V_{\chi }=\{v\in V|g\cdot v=\chi (g)v\}}$

3. De manera similar, para una funcional lineal de un álgebra de Lie compleja , es un peso de un módulo V si tiene dimensión positiva; cf. #peso más alto. ${\displaystyle \chi :{\mathfrak {h}}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$ ${\displaystyle V_{\chi }=\{v\in V|H\cdot v=\chi (H)v\}}$

4. red de peso

5. peso dominante: un peso \lambda es dominante si para algún ${\displaystyle <\lambda ,\alpha >\in \mathbb {Z} ^{+}}$ ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$

6. peso dominante fundamental: : Dado un conjunto de raíces simples , es una base de . es una base de también; la base dual definida por , se llama pesos dominantes fundamentales. ${\displaystyle \Delta =\{\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}\}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \alpha _{1}^{v},\alpha _{2}^{v},...,\alpha _{n}^{v}\in \Phi ^{v}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}}$ ${\displaystyle (\lambda _{i},\alpha _{j}^{v})=\delta _{ij}}$

7. peso más alto

Weyl

1.   Hermann Weyl

2. La fórmula del carácter de Weyl expresa el carácter de una representación irreducible de un álgebra de Lie semisimple compleja en términos de los pesos más altos.

3. La fórmula de integración de Weyl dice: dado un grupo de Lie compacto y conexo G con un toro máximo T , existe una función continua real u en T tal que para cada función continua f en G ,

${\displaystyle \int _{G}f(g)dg=\int _{T}f(t)u(t)dt.}$

(Explícitamente, es 1 sobre la cardinalidad del grupo de Weyl por el producto de sobre las raíces ). ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle |e^{\alpha (t)}-e^{-\alpha (t)}|^{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$

4.   Módulo de Weyl .

5. Una filtración de Weyl es una filtración de una representación de un grupo reductivo tal que los cocientes son isomorfos a los módulos de Weyl .

Y

Joven

1.   Alfred Young

2. El simetrizador de Young es el endomorfismo G -lineal de una potencia tensorial de un G -módulo V definido en función de una partición dada . Por definición, el funtor de Schur de una representación V asigna a V la imagen de . ${\displaystyle c_{\lambda }:V^{\otimes n}\to V^{\otimes n}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle c_{\lambda }}$

O

cero

Una representación cero es una representación de dimensión cero. Nota: si bien una representación cero es una representación trivial, no necesariamente debe ser cero (ya que “trivial” significa que G actúa trivialmente).

Notas

1. "Inducción y teoría de Mackey" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 2017-12-01 . Consultado el 2017-11-23 .
2. James, Gordon Douglas (2001). Representaciones y caracteres de los grupos . Liebeck, Martin W. 1954- (2.ª ed.). Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 978-0521003926.OCLC 52220683  .
3. Nota editorial : esta es la definición en (Humphreys 1972, § 20.3.) así como en (Gaitsgory 2005, § 1.2.) y difiere del original en la mitad de la suma de las raíces positivas. ${\displaystyle \rho =}$

Referencias

• Adams, JF (1969), Conferencias sobre grupos de Lie , University of Chicago Press
• Theodor Bröcker y Tammo tom Dieck, Representaciones de grupos de Lie compactos , Textos de posgrado en matemáticas 98 , Springer-Verlag, Berlín, 1995.
• Bushnell, Colin J.; Henniart, Guy (2006), La conjetura local de Langlands para GL(2) , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Principios fundamentales de las ciencias matemáticas], vol. 335, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi :10.1007/3-540-31511-X, ISBN 978-3-540-31486-8, Sr.  2234120
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de posgrado en matemáticas , Lecturas en matemáticas. Vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. Sr.  1153249. OCLC  246650103.
• Gaitsgory, D. (otoño de 2005). «Teoría de la representación geométrica, Matemáticas 267y». Archivado desde el original el 23 de noviembre de 2014.
• Humphreys, James E. (1972). Introducción a las álgebras de Lie y la teoría de la representación . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 9. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90053-7.
• Knapp, Anthony W. (2001), Teoría de la representación de grupos semisimples. Una visión general basada en ejemplos. , Princeton Landmarks in Mathematics, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-09089-4
• Claudio Procesi (2007) Grupos de Lie: una aproximación a través de invariantes y representación , Springer, ISBN 9780387260402 . 
• Serre, Jean-Pierre (1977-09-01). Representaciones lineales de grupos finitos . Textos de posgrado en matemáticas , 42. Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN. 978-0-387-90190-9.MR  0450380.Zbl 0355.20006  .​
• N. Wallach , Grupos reductivos reales, 2 vols., Academic Press 1988,

Lectura adicional

• M. Duflo et M. Vergne, La formule de Plancherel des groupes de Lie semi-simples réels, en “Representaciones de grupos de Lie”; Kyoto, Hiroshima (1986), Estudios Avanzados en Matemática Pura 14, 1988.
• Lusztig, G. (agosto de 1988), "Deformaciones cuánticas de ciertos módulos simples sobre álgebras envolventes", Advances in Mathematics , 70 (2): 237–249, doi : 10.1016/0001-8708(88)90056-4

Enlaces externos

• https://math.stanford.edu/~bump/