teorema de maschke

Se refiere a la descomposición de representaciones de un grupo finito en piezas irreductibles.

En matemáticas , el teorema de Maschke , ^{[1] [2]} que lleva el nombre de Heinrich Maschke , ^[3] es un teorema de la teoría de la representación de grupos que se refiere a la descomposición de representaciones de un grupo finito en piezas irreductibles . El teorema de Maschke permite sacar conclusiones generales sobre las representaciones de un grupo finito G sin tener que calcularlas. Reduce la tarea de clasificar todas las representaciones a una tarea más manejable de clasificar representaciones irreducibles , ya que cuando se aplica el teorema, cualquier representación es una suma directa de piezas irreductibles (constituyentes). Además, del teorema de Jordan-Hölder se deduce que, si bien la descomposición en una suma directa de subrepresentaciones irreducibles puede no ser única, las piezas irreducibles tienen multiplicidades bien definidas . En particular, una representación de un grupo finito sobre un campo de característica cero está determinada hasta el isomorfismo por su carácter .

Formulaciones

El teorema de Maschke aborda la pregunta: ¿cuándo se construye una representación general (de dimensión finita) a partir de subrepresentaciones irreducibles utilizando la operación de suma directa ? Esta pregunta (y su respuesta) se formulan de manera diferente para diferentes perspectivas de la teoría de la representación de grupos.

Teoría de grupos

El teorema de Maschke se formula comúnmente como corolario del siguiente resultado:

Teorema  :  es una representación de un grupo finito sobre un campo con características que no dividen el orden de . Si tiene una subrepresentación , entonces tiene otra subrepresentación tal que . ^{[4] [5]} ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V=W\oplus U}$

Entonces el corolario es

Corolario (teorema de Maschke)  :  toda representación de un grupo finito sobre un campo con característica que no divide el orden de es una suma directa de representaciones irreducibles. ^{[6] [7]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$ ${\displaystyle G}$

El espacio vectorial de funciones de clase de valores complejos de un grupo tiene una estructura de producto interno invariante natural , descrita en el artículo Relaciones de ortogonalidad de Schur . El teorema de Maschke se demostró originalmente para el caso de representaciones sobre construyendo como complemento ortogonal de bajo este producto interno. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle W}$

Teórico del módulo

Una de las aproximaciones a las representaciones de grupos finitos es a través de la teoría de módulos . Las representaciones de un grupo se reemplazan por módulos sobre su álgebra de grupo (para ser precisos, existe un isomorfismo de categorías entre y , la categoría de representaciones de ). Las representaciones irreductibles corresponden a módulos simples . En el lenguaje de la teoría de módulos, el teorema de Maschke pregunta: ¿es un módulo arbitrario semisimple ? En este contexto, el teorema se puede reformular de la siguiente manera: ${\displaystyle G}$  ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle K[G]{\text{-Mod}}}$ ${\displaystyle \operatorname {Rep} _{G}}$ ${\displaystyle G}$

Teorema de Maschke  :  sean un grupo finito y un cuerpo cuya característica no divide el orden de . Entonces , el álgebra de grupos de , es semisimple . ^{[8] [9]} ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle G}$

La importancia de este resultado surge de la teoría bien desarrollada de los anillos semisimples, en particular, de su clasificación dada por el teorema de Wedderburn-Artin . Cuando es el cuerpo de números complejos, esto demuestra que el álgebra es producto de varias copias de álgebras matriciales complejas , una para cada representación irreducible. ^[10] Si el campo tiene característica cero, pero no es algebraicamente cerrado , por ejemplo si es el campo de números reales o racionales , entonces se cumple una afirmación algo más complicada: el álgebra de grupos es un producto de álgebras matriciales sobre anillos de división sobre . Los sumandos corresponden a representaciones irreductibles de más de . ^[11] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K[G]}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K}$

Teórico de categorías

Reformulado en el lenguaje de las categorías semisimples , el teorema de Maschke afirma

Teorema de Maschke  :  si G es un grupo y F es un campo con una característica que no divide el orden de G , entonces la categoría de representaciones de G sobre F es semisimple.

Pruebas

Teoría de grupos

Sea U un subespacio de complemento V de W . Sea la función de proyección, es decir, para cualquiera . ${\displaystyle p_{0}:V\to W}$ ${\displaystyle p_{0}(w+u)=w}$ ${\displaystyle u\in U,w\in W}$

Defina , donde es una abreviatura de , siendo la representación de G en W y V . Entonces, G lo conserva bajo representación : para cualquiera , ${\textstyle p(x)={\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}(x)}$ ${\displaystyle g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}}$ ${\displaystyle \rho _{W}{g}\cdot p_{0}\cdot \rho _{V}{g^{-1}}}$ ${\displaystyle \rho _{W}{g},\rho _{V}{g^{-1}}}$ ${\displaystyle \ker p}$ ${\displaystyle \rho _{V}}$ ${\displaystyle w'\in \ker p,h\in G}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(hw')&=h\cdot h^{-1}{\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}(hw')\\&=h\cdot {\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}(h^{-1}\cdot g)\cdot p_{0}\cdot (g^{-1}h)w'\\&=h\cdot {\frac {1}{\#G}}\sum _{g\in G}g\cdot p_{0}\cdot g^{-1}w'\\&=h\cdot p(w')\\&=0\end{aligned}}}$$

entonces implica eso . Entonces la restricción de on también es una representación. ${\displaystyle w'\in \ker p}$ ${\displaystyle hw'\in \ker p}$ ${\displaystyle \rho _{V}}$ ${\displaystyle \ker p}$

Por la definición de , para cualquiera , , entonces , y para cualquiera , . Así, , y . Por lo tanto, . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle w\in W}$ ${\displaystyle p(w)=w}$ ${\displaystyle W\cap \ker \ p=\{0\}}$ ${\displaystyle v\in V}$ ${\displaystyle p(p(v))=p(v)}$ ${\displaystyle p(v-p(v))=0}$ ${\displaystyle v-p(v)\in \ker p}$ ${\displaystyle V=W\oplus \ker p}$

Teórico del módulo

Sea V un submódulo K [ G ]. Demostraremos que V es una suma directa. Sea π cualquier K -proyección lineal de K [ G ] sobre V . Considere el mapa

$${\displaystyle {\begin{cases}\varphi :K[G]\to V\\\varphi :x\mapsto {\frac {1}{\#G}}\sum _{s\in G}s\cdot \pi (s^{-1}\cdot x)\end{cases}}}$$

Entonces φ es nuevamente una proyección: es claramente K -lineal, asigna K [ G ] a V e induce la identidad en V (por lo tanto, asigna K [ G ] a V ). Además tenemos

$${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t\cdot x)&={\frac {1}{\#G}}\sum _{s\in G}s\cdot \pi (s^{-1}\cdot t\cdot x)\\&={\frac {1}{\#G}}\sum _{u\in G}t\cdot u\cdot \pi (u^{-1}\cdot x)\\&=t\cdot \varphi (x),\end{aligned}}}$$

entonces φ es de hecho K [ G ] -lineal. Por el lema de división ,. Esto prueba que cada submódulo es un sumando directo, es decir, K [ G ] es semisimple. ${\displaystyle K[G]=V\oplus \ker \varphi }$

declaración inversa

La prueba anterior depende del hecho de que # G es invertible en K . Esto podría llevar a uno a preguntarse si lo inverso del teorema de Maschke también se cumple: si la característica de K divide el orden de G , ¿se sigue que K [ G ] no es semisimple? La respuesta es sí . ^[12]

Prueba. Para definir . Dejar . Entonces I es un submódulo K [ G ]. Probaremos que para cada submódulo no trivial V de K [ G ], . Sea V y sea cualquier elemento distinto de cero de V. Si , el reclamo es inmediato. De lo contrario, dejemos . Entonces así y ${\textstyle x=\sum \lambda _{g}g\in K[G]}$ ${\textstyle \epsilon (x)=\sum \lambda _{g}}$ ${\displaystyle I=\ker \epsilon }$ ${\displaystyle I\cap V\neq 0}$ ${\textstyle v=\sum \mu _{g}g}$ ${\displaystyle \epsilon (v)=0}$ ${\textstyle s=\sum 1g}$ ${\displaystyle \epsilon (s)=\#G\cdot 1=0}$ ${\displaystyle s\in I}$

$${\displaystyle sv=\left(\sum 1g\right)\!\left(\sum \mu _{g}g\right)=\sum \epsilon (v)g=\epsilon (v)s}$$

entonces ese es un elemento distinto de cero tanto de I como de V. Esto prueba que V no es un complemento directo de I para todo V , por lo que K [ G ] no es semisimple. ${\displaystyle sv}$

No ejemplos

El teorema no puede aplicarse al caso donde G es infinito, o cuando el campo K tiene características que dividen a #G . Por ejemplo,

• Considere el grupo infinito y la representación definida por . Sea , un subespacio unidimensional de abarcado por . Entonces la restricción de sobre W es una subrepresentación trivial de . Sin embargo, no existe una U tal que tanto W como U sean subrepresentaciones de y : cualquier U debe ser unidimensional, pero cualquier subespacio unidimensional conservado por debe estar abarcado por un vector propio for , y el único vector propio para eso es . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \rho :\mathbb {Z} \to \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {C} )}$ ${\displaystyle \rho (n)={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}1&n\\0&1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle W=\mathbb {C} \cdot {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}=W\oplus U}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}$
• Considere un primo p , y el grupo , el campo y la representación definidos por . Los cálculos simples muestran que solo hay un vector propio para aquí, por lo que, según el mismo argumento, la subrepresentación unidimensional de es única y no se puede descomponer en la suma directa de dos subrepresentaciones unidimensionales. ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle K=\mathbb {F} _{p}}$ ${\displaystyle \rho :\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} \to \mathrm {GL} _{2}(\mathbb {F} _{p})}$ ${\displaystyle \rho (n)={\begin{bmatrix}1&n\\0&1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$

Notas

1. Maschke, Heinrich (22 de julio de 1898). "Ueber den arithmetischen Charakter der Coficienten der Substitutionen endlicher linearer Substitutionsgruppen" [Sobre el carácter aritmético de los coeficientes de las sustituciones de grupos de sustitución lineal finitos]. Matemáticas. Ana. (en alemán). 50 (4): 492–498. doi :10.1007/BF01444297. JFM  29.0114.03. SEÑOR  1511011.
2. Maschke, Heinrich (27 de julio de 1899). "Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionsgruppen, in welchen einige durchgehends verschwindende Coficienten auftreten, intransitiv sind" [Prueba del teorema de que aquellos grupos de sustitución lineal finitos, en los que aparecen algunos coeficientes que desaparecen por todas partes, son intransitivos]. Matemáticas. Ana. (en alemán). 52 (2–3): 363–368. doi :10.1007/BF01476165. JFM  30.0131.01. SEÑOR  1511061.
3. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. , "Heinrich Maschke", Archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
4. Fulton y Harris 1991, Proposición 1.5.
5. Serre 1977, Teorema 1.
6. Fulton y Harris 1991, Corolario 1.6.
7. Serre 1977, Teorema 2.
8. De ello se deduce que cada módulo anterior es un módulo semisimple. ${\displaystyle K[G]}$
9. La afirmación inversa también es válida: si la característica del campo divide el orden del grupo (el caso modular ), entonces el álgebra de grupos no es semisimple.
10. El número de sumandos se puede calcular y resulta ser igual al número de clases de conjugación del grupo.
11. Hay que tener cuidado, ya que una representación puede descomponerse de manera diferente en diferentes campos: una representación puede ser irreducible en números reales pero no en números complejos.
12. Serre 1977, Ejercicio 6.1.

Referencias

• Lang, Serge (8 de enero de 2002). Álgebra . Textos de Graduado en Matemáticas , 211 (3ª ed. revisada). Nueva York: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-95385-4. SEÑOR  1878556. Zbl  0984.00001.
• Serre, Jean-Pierre (1 de septiembre de 1977). Representaciones lineales de grupos finitos . Textos de Graduado en Matemáticas , 42 . Nueva York-Heidelberg: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90190-9. Señor  0450380. Zbl  0355.20006.
• Fulton, William ; Harris, Joe (1991). Teoría de la representación. Un primer curso . Textos de Posgrado en Matemáticas , Lecturas en Matemáticas. vol. 129. Nueva York: Springer-Verlag. doi :10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-0-387-97495-8. SEÑOR  1153249. OCLC  246650103.