Suma directa

Operación en álgebra abstracta componiendo objetos en objetos "más complicados"

La suma directa es una operación entre estructuras en álgebra abstracta , una rama de las matemáticas . Se define de manera diferente, pero análoga, para diferentes tipos de estructuras. Como ejemplo, la suma directa de dos grupos abelianos y es otro grupo abeliano que consta de pares ordenados donde y . Para sumar pares ordenados, definimos la suma como ; en otras palabras, la suma se define en forma de coordenadas. Por ejemplo, la suma directa , donde es el espacio de coordenadas real , es el plano cartesiano ,. Se puede utilizar un proceso similar para formar la suma directa de dos espacios vectoriales o dos módulos . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\oplus B}$ ${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle a\in A}$ ${\displaystyle b\in B}$ ${\displaystyle (a,b)+(c,d)}$ ${\displaystyle (a+c,b+d)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

También podemos formar sumas directas con cualquier número finito de sumandos, por ejemplo , siempre que y sean los mismos tipos de estructuras algebraicas (por ejemplo, todos los grupos abelianos o todos los espacios vectoriales). Esto se basa en el hecho de que la suma directa es asociativa hasta el isomorfismo . Es decir, para cualquier estructura algebraica , y del mismo tipo. La suma directa también es conmutativa hasta el isomorfismo, es decir, para cualesquiera estructuras algebraicas y del mismo tipo. ${\displaystyle A\oplus B\oplus C}$ ${\displaystyle A,B,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle (A\oplus B)\oplus C\cong A\oplus (B\oplus C)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A\oplus B\cong B\oplus A}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

La suma directa de un número finito de grupos, espacios vectoriales o módulos abelianos es canónicamente isomorfa al producto directo correspondiente . Sin embargo, esto es falso para algunos objetos algebraicos, como los grupos nobelianos.

En el caso de que se combinen infinitos objetos, la suma directa y el producto directo no son isomorfos, ni siquiera para grupos abelianos, espacios vectoriales o módulos. Como ejemplo, considere la suma directa y el producto directo de (contablemente) infinitas copias de números enteros. Un elemento en el producto directo es una secuencia infinita, como (1,2,3,...) pero en la suma directa, existe el requisito de que todas las coordenadas, excepto un número finito, sean cero, por lo que la secuencia (1,2 ,3,...) sería un elemento del producto directo pero no de la suma directa, mientras que (1,2,0,0,0,...) sería un elemento de ambos. A menudo, si se usa un signo +, todas las coordenadas excepto un número finito deben ser cero, mientras que si se usa alguna forma de multiplicación, todas las coordenadas menos un número finito deben ser 1. En un lenguaje más técnico, si los sumandos son , la suma directa ${\displaystyle (A_{i})_{i\in I}}$

$${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$$

de iproducto directoconjunto de índices^[1] ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle a_{i}\in A_{i}}$ ${\displaystyle a_{i}=0}$ ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle I}$

Ejemplos

El plano xy , un espacio vectorial bidimensional , puede considerarse como la suma directa de dos espacios vectoriales unidimensionales, es decir, los ejes xey . En esta suma directa, los ejes xey se cruzan sólo en el origen (el vector cero). La suma se define en forma de coordenadas, es decir , que es lo mismo que la suma de vectores. ${\displaystyle (x_{1},y_{1})+(x_{2},y_{2})=(x_{1}+x_{2},y_{1}+y_{2})}$

Dadas dos estructuras y , su suma directa se escribe como . Dada una familia indexada de estructuras , indexadas con , se puede escribir la suma directa . Cada Ai _se llama suma directa de A. Si el conjunto de índices es finito, la suma directa es igual que el producto directo. En el caso de grupos, si la operación grupal se escribe como se usa la frase “suma directa”, mientras que si la operación grupal se escribe se usa la frase “producto directo”. Cuando el conjunto de índices es infinito, la suma directa no es lo mismo que el producto directo, ya que la suma directa tiene el requisito adicional de que todas las coordenadas, excepto un número finito, deben ser cero. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\oplus B}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\textstyle A=\bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle *}$

Sumas directas internas y externas

Se hace una distinción entre sumas directas internas y externas, aunque las dos son isomorfas. Si los sumandos se definen primero y luego la suma directa se define en términos de los sumandos, tenemos una suma directa externa. Por ejemplo, si definimos los números reales y luego definimos la suma directa se dice que es externa. ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \mathbb {R} \oplus \mathbb {R} }$

Si, por otro lado, primero definimos alguna estructura algebraica y luego escribimos como suma directa de dos subestructuras y , entonces se dice que la suma directa es interna. En este caso, cada elemento de es expresable de forma única como una combinación algebraica de un elemento de y un elemento de . Para ver un ejemplo de suma directa interna, considere (los números enteros módulo seis), cuyos elementos son . Esto se puede expresar como una suma directa interna . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}}$ ${\displaystyle \{0,1,2,3,4,5\}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{6}=\{0,2,4\}\oplus \{0,3\}}$

Tipos de suma directa

Suma directa de grupos abelianos

La suma directa de grupos abelianos es un ejemplo prototípico de suma directa. Dados dos de estos grupos y su suma directa es igual a su producto directo . Es decir, el conjunto subyacente es el producto cartesiano y la operación del grupo se define por componentes: ${\displaystyle (A,\circ )}$ ${\displaystyle (B,\bullet ),}$ ${\displaystyle A\oplus B}$ ${\displaystyle A\times B}$ ${\displaystyle \,\cdot \,}$

$${\displaystyle \left(a_{1},b_{1}\right)\cdot \left(a_{2},b_{2}\right)=\left(a_{1}\circ a_{2},b_{1}\bullet b_{2}\right).}$$

Para una familia arbitraria de grupos indexados por su suma directa ^[2] ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i\in I,}$

$${\displaystyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$$

subgruposoportesoporte finito^[3]subgrupo propio ${\textstyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}\in \prod _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle \left(a_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle i.}$ ${\displaystyle \left(A_{i}\right)_{i\in I}}$ ${\textstyle \prod _{i\in I}A_{i}.}$

Suma directa de módulos

La suma directa de módulos es una construcción que combina varios módulos en un nuevo módulo.

Los ejemplos más familiares de esta construcción ocurren cuando se consideran espacios vectoriales , que son módulos sobre un campo . La construcción también puede extenderse a espacios de Banach y espacios de Hilbert .

Suma directa en categorías

Una categoría aditiva es una abstracción de las propiedades de la categoría de módulos. ^{[4] [5]} En tal categoría, los productos finitos y los coproductos concuerdan y la suma directa es cualquiera de ellos, cf. biproducto .

Caso general: ^[2] En la teoría de categorías, laLa suma directa es a menudo, pero no siempre, el coproducto en la categoría de los objetos matemáticos en cuestión. Por ejemplo, en la categoría de grupos abelianos, la suma directa es un coproducto. Esto también es válido en la categoría de módulos.

Sumas directas versus coproductos en categoría de grupos

Sin embargo, la suma directa (definida de manera idéntica a la suma directa de grupos abelianos) no es un coproducto de los grupos y en la categoría de grupos . Entonces, para esta categoría, una suma directa categórica a menudo se denomina simplemente coproducto para evitar cualquier posible confusión. ${\displaystyle S_{3}\oplus \mathbb {Z} _{2}}$ ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$

Suma directa de representaciones de grupo

La suma directa de representaciones de grupo generaliza la suma directa de los módulos subyacentes , añadiéndole una acción de grupo . Específicamente, dado un grupo y dos representaciones y de (o, más generalmente, dos módulos ), la suma directa de las representaciones es con la acción de componentes dados, es decir, ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle V\oplus W}$ ${\displaystyle g\in G}$

$${\displaystyle g\cdot (v,w)=(g\cdot v,g\cdot w).}$$

Dadas dos representaciones y el espacio vectorial de la suma directa es y el homomorfismo está dado por dónde está el mapa natural obtenido mediante acción de coordenadas como se indicó anteriormente. ${\displaystyle (V,\rho _{V})}$ ${\displaystyle (W,\rho _{W})}$ ${\displaystyle V\oplus W}$ ${\displaystyle \rho _{V\oplus W}}$ ${\displaystyle \alpha \circ (\rho _{V}\times \rho _{W}),}$ ${\displaystyle \alpha :GL(V)\times GL(W)\to GL(V\oplus W)}$

Además, si son de dimensión finita, entonces, dada una base de , y tienen valores matriciales. En este caso, se da como ${\displaystyle V,\,W}$ ${\displaystyle V,\,W}$ ${\displaystyle \rho _{V}}$ ${\displaystyle \rho _{W}}$ ${\displaystyle \rho _{V\oplus W}}$

$${\displaystyle g\mapsto {\begin{pmatrix}\rho _{V}(g)&0\\0&\rho _{W}(g)\end{pmatrix}}.}$$

Además, si tratamos a y como módulos sobre el anillo de grupo , donde está el campo, entonces la suma directa de las representaciones y es igual a su suma directa como módulos. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle kG}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle kG}$

Suma directa de anillos

Algunos autores hablarán de suma directa de dos anillos cuando se refieren al producto directo , pero esto debe evitarse ^[6] ya que no recibe homomorfismos de anillo naturales de y : en particular, el mapa que envía a no es un homomorfismo de anillo ya que no puede enviar 1 a (suponiendo que en ). Por tanto , no es un coproducto en la categoría de anillos y no debe escribirse como una suma directa. (El coproducto en la categoría de anillos conmutativos es el producto tensor de anillos . ^[7] En la categoría de anillos, el coproducto viene dado por una construcción similar al producto libre de grupos). ${\displaystyle R\oplus S}$ ${\displaystyle R\times S}$ ${\displaystyle R\times S}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R\to R\times S}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle (r,0)}$ ${\displaystyle (1,1)}$ ${\displaystyle 0\neq 1}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle R\times S}$

El uso de terminología y notación de suma directa es especialmente problemático cuando se trata de familias infinitas de anillos: si es una colección infinita de anillos no triviales, entonces la suma directa de los grupos aditivos subyacentes se puede equipar con una multiplicación por términos, pero esto produce un rng , que es decir, un anillo sin identidad multiplicativa. ${\displaystyle (R_{i})_{i\in I}}$

Suma directa de matrices

Para cualquier matriz arbitraria y , la suma directa se define como la matriz diagonal de bloque de y si ambas son matrices cuadradas (y a una matriz de bloque análoga , si no). ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} }$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$ ${\displaystyle \mathbf {B} }$

$${\displaystyle \mathbf {A} \oplus \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &0\\0&\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}$$

Suma directa de espacios vectoriales topológicos

Se dice que un espacio vectorial topológico (TVS) , como un espacio de Banach , es una suma directa topológica de dos subespacios vectoriales y si el mapa de suma ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\ \;&&M\times N&&\;\to \;&X\\[0.3ex]&&(m,n)&&\;\mapsto \;&m+n\\\end{alignedat}}}$$

isomorfismo de espacios vectoriales topológicosmapa linealhomeomorfismo biyectivocomplementos topológicosgrupos topológicos aditivossuma topológica directa de los subgrupos topológicosHausdorffcerrados de ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X.}$

Si es un subespacio vectorial de un espacio vectorial real o complejo , entonces siempre existe otro subespacio vectorial de llamado complemento algebraico de tal que sea la suma directa algebraica de y (lo que sucede si y solo si el mapa de suma es un isomorfismo del espacio vectorial ). A diferencia de las sumas directas algebraicas, la existencia de dicho complemento ya no está garantizada para las sumas directas topológicas. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M\times N\to X}$

Un subespacio vectorial de se dice que es un subespacio complementado ( topológicamente ) de si existe algún subespacio vectorial de tal que sea la suma directa topológica de y Un subespacio vectorial se llama no complementado si no es un subespacio complementado. Por ejemplo, todo subespacio vectorial de un TVS de Hausdorff que no sea un subconjunto cerrado está necesariamente descomplementado. Todo subespacio vectorial cerrado de un espacio de Hilbert es complementado. Pero todo espacio de Banach que no sea un espacio de Hilbert necesariamente posee algún subespacio vectorial cerrado no complementado. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N.}$

Homomorfismos

^{[ se necesita aclaración ]}

La suma directa viene equipada con un homomorfismo de proyección para cada j en I y una coproyección para cada j en I. ^[8] Dada otra estructura algebraica (con la misma estructura adicional) y homomorfismos para cada j en I , existe un homomorfismo único , llamado suma de g _j , tal que para todo j . Por tanto, la suma directa es el coproducto en la categoría apropiada . ${\textstyle \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ ${\textstyle \pi _{j}\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to A_{j}}$ ${\textstyle \alpha _{j}\colon \,A_{j}\to \bigoplus _{i\in I}A_{i}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle g_{j}\colon A_{j}\to B}$ ${\textstyle g\colon \,\bigoplus _{i\in I}A_{i}\to B}$ ${\displaystyle g\alpha _{j}=g_{j}}$

Ver también

• Suma directa de grupos
• Suma directa de permutaciones
• Suma directa de grupos topológicos.
• Producto restringido
• suma de whitney
• Teorema de Feferman-Vaught

Notas

1. Thomas W. Hungerford , Álgebra , p.60, Springer, 1974, ISBN  0387905189
2. Suma directa en el n Lab
3. Joseph J. Rotman, La teoría de los grupos: una introducción , p. 177, Allyn y Bacon, 1965
4. ""p.45"" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 22 de mayo de 2013 . Consultado el 14 de enero de 2014 .
5. "Apéndice" (PDF) . Archivado desde el original (PDF) el 17 de septiembre de 2006 . Consultado el 14 de enero de 2014 .
6. Math StackExchange sobre suma directa de anillos frente a producto directo de anillos.
7. Lang 2002, sección I.11
8. Heunen, Chris (2009). Lógicas y modelos cuánticos categóricos . Palas Proefschriften. Prensa de la Universidad de Ámsterdam. pag. 26.ISBN​ 978-9085550242.

Referencias

• Lang, Serge (2002), Álgebra , Textos de Graduado en Matemáticas , vol. 211 (tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, SEÑOR  1878556, Zbl  0984.00001