Subespacio complementado

En la rama de las matemáticas llamada análisis funcional , un subespacio complementado de un espacio vectorial topológico es un subespacio vectorial para el cual existe algún otro subespacio vectorial de llamado su complemento ( topológico ) en , tal que es la suma directa en la categoría de espacios vectoriales topológicos . Formalmente, las sumas directas topológicas fortalecen la suma directa algebraica al requerir que ciertas aplicaciones sean continuas; el resultado conserva muchas propiedades interesantes de la operación de suma directa en espacios vectoriales de dimensión finita. ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\oplus N}$

Todo subespacio de dimensión finita de un espacio de Banach es complementario, pero otros subespacios pueden no serlo. En general, clasificar todos los subespacios complementarios es un problema difícil, que se ha resuelto solo para algunos espacios de Banach bien conocidos .

El concepto de subespacio complementado es análogo al de complemento de conjunto , pero distinto . El complemento teórico de un subespacio vectorial nunca es un subespacio complementario.

Preliminares: definiciones y notación

Si es un espacio vectorial y y son subespacios vectoriales de entonces existe una función de adición bien definida. La función es un morfismo en la categoría de espacios vectoriales  , es decir, lineal . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}S:\;&&M\times N&&\;\to \;&X\\&&(m,n)&&\;\mapsto \;&m+n\\\end{alignedat}}}$$ ${\displaystyle S}$

Suma directa algebraica

Se dice que el espacio vectorial es suma directa algebraica (o suma directa en la categoría de espacios vectoriales) cuando se cumple cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\oplus N}$

1. El mapa de adición es un isomorfismo del espacio vectorial . ^{[1] [2]} ${\displaystyle S:M\times N\to X}$
2. La función de adición es biyectiva.
3. ${\displaystyle M\cap N=\{0\}}$y ; en este caso se llama complemento o suplemento algebraico a en y se dice que los dos subespacios son complementarios o suplementarios . ^{[2] [3]} ${\displaystyle M+N=X}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$

Cuando se cumplen estas condiciones, la inversa está bien definida y se puede escribir en términos de coordenadas como La primera coordenada se llama proyección canónica de sobre ; asimismo, la segunda coordenada es la proyección canónica sobre ^[4] ${\displaystyle S^{-1}:X\to M\times N}$ $${\displaystyle S^{-1}=\left(P_{M},P_{N}\right){\text{.}}}$$ ${\displaystyle P_{M}:X\to M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N.}$

De manera equivalente, y son los vectores únicos en y respectivamente, que satisfacen los mapas As, donde denota el mapa identidad en . ^[2] ${\displaystyle P_{M}(x)}$ ${\displaystyle P_{N}(x)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N,}$ $${\displaystyle x=P_{M}(x)+P_{N}(x){\text{.}}}$$ $${\displaystyle P_{M}+P_{N}=\operatorname {Id} _{X},\qquad \ker P_{M}=N,\qquad {\text{ and }}\qquad \ker P_{N}=M}$$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{X}}$ ${\displaystyle X}$

Motivación

Supongamos que el espacio vectorial es la suma directa algebraica de . En la categoría de espacios vectoriales, los productos y coproductos finitos coinciden: algebraicamente, y son indistinguibles. Dado un problema que involucra elementos de , se pueden descomponer los elementos en sus componentes en y , porque las funciones de proyección definidas anteriormente actúan como inversas a la inclusión natural de y en . Luego se puede resolver el problema en los subespacios vectoriales y recombinarlos para formar un elemento de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M\oplus N}$ ${\displaystyle M\oplus N}$ ${\displaystyle M\times N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

En la categoría de espacios vectoriales topológicos , esa descomposición algebraica resulta menos útil. La definición de un espacio vectorial topológico requiere que la función de adición sea continua; su inversa puede no serlo. ^[1] Sin embargo, la definición categórica de suma directa requiere que y sean morfismos, es decir, funciones lineales continuas . ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S^{-1}:X\to M\times N}$ ${\displaystyle P_{M}}$ ${\displaystyle P_{N}}$

El espacio es la suma directa topológica de y si (y solo si) se cumple alguna de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$

1. El mapa de adición es un isomorfismo TVS (es decir, un homeomorfismo lineal sobreyectivo ). ^[1] ${\displaystyle S:M\times N\to X}$
2. ${\displaystyle X}$es la suma directa algebraica de y y también cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$
   1. La inversa del mapa de adición es continua. ${\displaystyle S^{-1}:X\to M\times N}$
   2. Ambas proyecciones canónicas son continuas. ${\displaystyle P_{M}:X\to M}$ ${\displaystyle P_{N}:X\to N}$
   3. Al menos una de las proyecciones canónicas y es continua. ${\displaystyle P_{M}}$ ${\displaystyle P_{N}}$
   4. El mapa cociente canónico es un isomorfismo de espacios vectoriales topológicos (es decir, un homeomorfismo lineal). ^[2] ${\displaystyle p:N\to X/M;p(n)=n+M}$
3. ${\displaystyle X}$es la suma directa de y en la categoría de espacios vectoriales topológicos. ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$
4. El mapa es biyectivo y abierto . ${\displaystyle S}$
5. Cuando se consideran grupos topológicos aditivos , es la suma directa topológica de los subgrupos y ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N.}$

La suma directa topológica también se escribe ; si la suma está en sentido topológico o algebraico generalmente se aclara a través del contexto . ${\displaystyle X=M\oplus N}$

Definición

Toda suma directa topológica es una suma directa algebraica ; no se garantiza lo contrario. Incluso si tanto y están cerrados en , pueden no ser continuos. es un complemento o suplemento (topológico) de si evita esa patología —es decir, si, topológicamente, . (Entonces  es asimismo complementario de .) ^[1] La condición 2(d) anterior implica que cualquier complemento topológico de es isomorfo, como espacio vectorial topológico, al espacio vectorial cociente . ${\displaystyle X=M\oplus N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S^{-1}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X=M\oplus N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X/M}$

${\displaystyle M}$Se dice que un subespacio vectorial complementado tiene complementos algebraicos que no se complementan topológicamente . La elección de puede tener una gran importancia: cada subespacio vectorial complementado tiene complementos algebraicos que no se complementan topológicamente. ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Dado que una función lineal entre dos espacios normados (o de Banach ) está acotada si y sólo si es continua , la definición en las categorías de espacios normados (o de Banach ) es la misma que en los espacios vectoriales topológicos.

Caracterizaciones equivalentes

El subespacio vectorial se complementa en si y sólo si se cumple alguna de las siguientes condiciones: ^[1] ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$

• Existe una función lineal continua con imagen tal que . Es decir, es una proyección lineal continua sobre . (En ese caso, algebraicamente , y es la continuidad de la que implica que es un complemento.) ${\displaystyle P_{M}:X\to X}$ ${\displaystyle P_{M}(X)=M}$ ${\displaystyle P\circ P=P}$ ${\displaystyle P_{M}}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X=M\oplus \ker {P}}$ ${\displaystyle P_{M}}$
• Para cada TVS el mapa de restricción es sobreyectivo. ^[5] ${\displaystyle Y,}$ ${\displaystyle R:L(X;Y)\to L(M;Y);R(u)=u|_{M}}$

Si además es Banach , entonces una condición equivalente es ${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle M}$está cerrado en , existe otro subespacio cerrado , y es un isomorfismo de la suma directa abstracta a . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle N\subseteq X}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle M\oplus N}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos

• Si es un espacio de medida y tiene medida positiva, entonces se complementa en . ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\subseteq Y}$ ${\displaystyle L^{p}(X)}$ ${\displaystyle L^{p}(Y)}$
• ${\displaystyle c_{0}}$, el espacio de sucesiones que convergen a , se complementa en , el espacio de sucesiones convergentes. ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle c}$
• Por descomposición de Lebesgue , se complementa en . ${\displaystyle L^{1}([0,1])}$ ${\displaystyle \mathrm {rca} ([0,1])\cong C([0,1])^{*}}$

Condiciones suficientes

Para cualesquiera dos espacios vectoriales topológicos y , los subespacios y son complementos topológicos en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\times \{0\}}$ ${\displaystyle \{0\}\times Y}$ ${\displaystyle X\times Y}$

Todo complemento algebraico de , la clausura de , es también un complemento topológico. Esto se debe a que tiene la topología indiscreta , y por lo tanto la proyección algebraica es continua. ^[6] ${\displaystyle {\overline {\{0\}}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\overline {\{0\}}}}$

Si y es sobreyectiva, entonces . ^[2] ${\displaystyle X=M\oplus N}$ ${\displaystyle A:X\to Y}$ ${\displaystyle Y=AM\oplus AN}$

Dimensión finita

Supongamos que es Hausdorff y localmente convexo y un subespacio vectorial topológico libre : para algún conjunto , tenemos (como tvs). Entonces es un subespacio vectorial cerrado y complementado de . ^{[prueba 1]} En particular, cualquier subespacio de dimensión finita de es complementado. ^[7] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle Y\cong \mathbb {K} ^{I}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

En espacios vectoriales topológicos arbitrarios, un subespacio vectorial de dimensión finita se complementa topológicamente si y solo si para cada , distinto de cero , existe una funcional lineal continua en que separa de . ^[1] Para un ejemplo en el que esto falla, consulte § Espacios de Fréchet. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle y\in Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 0}$

Codimensión finita

No todos los subespacios vectoriales codimensionales finitos de un TVS son cerrados, pero aquellos que lo son, tienen complementos. ^{[7] [8]}

Espacios de Hilbert

En un espacio de Hilbert , el complemento ortogonal de cualquier subespacio vectorial cerrado es siempre un complemento topológico de . Esta propiedad caracteriza a los espacios de Hilbert dentro de la clase de espacios de Banach : cada espacio de Banach no Hilbert de dimensión infinita contiene un subespacio cerrado no complementado, un teorema profundo de Joram Lindenstrauss y Lior Tzafriri. ^{[9] [3]} ${\displaystyle M^{\bot }}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$

Espacios de Fréchet

Sea un espacio de Fréchet sobre el cuerpo . Entonces los siguientes son equivalentes: ^[10] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {K} }$

1. ${\displaystyle X}$no es normable (es decir, ninguna norma continua genera la topología)
2. ${\displaystyle X}$contiene un subespacio vectorial TVS-isomorfo a ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }.}$
3. ${\displaystyle X}$contiene un subespacio vectorial complementado TVS-isomorfo a . ${\displaystyle \mathbb {K} ^{\mathbb {N} }}$

Propiedades; ejemplos de subespacios no complementados

Un subespacio (vectorial) complementado de un espacio de Hausdorff es necesariamente un subconjunto cerrado de , al igual que su complemento. ^{[1] [prueba 2]} ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

A partir de la existencia de bases de Hamel , todo espacio de Banach de dimensión infinita contiene subespacios lineales no cerrados. ^{[prueba 3]} Dado que cualquier subespacio complementado es cerrado, ninguno de esos subespacios está complementado.

De la misma manera, si es un TVS completo y no es completo, entonces no tiene complemento topológico en ^[11] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$

Aplicaciones

Si es una sobreyección lineal continua , entonces las siguientes condiciones son equivalentes: ${\displaystyle A:X\to Y}$

1. El núcleo de tiene un complemento topológico. ${\displaystyle A}$
2. Existe una "inversa derecha": una función lineal continua tal que , donde es la función identidad. ^[5] ${\displaystyle B:Y\to X}$ ${\displaystyle AB=\mathrm {Id} _{Y}}$ ${\displaystyle \operatorname {Id} _{Y}:Y\to Y}$

(Nota: Esta afirmación es un ejercicio erróneo dado por Trèves. Sea y ambos donde está dotado de la topología usual, pero está dotado de la topología trivial. La función identidad es entonces una biyección lineal continua pero su inversa no es continua, ya que tiene una topología más fina que . El núcleo tiene como complemento topológico, pero acabamos de demostrar que no puede existir una inversa derecha continua. Si también es abierto (y por lo tanto un homomorfismo TVS) entonces el resultado afirmado es válido.) ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X\to Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A:X\to Y}$

El método de descomposición

Los espacios vectoriales topológicos admiten el siguiente teorema de tipo Cantor-Schröder-Bernstein :

Sean y TVS tales que y Supongamos que contiene una copia complementada de y contiene una copia complementada de Entonces es TVS-isomorfo a ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X=X\oplus X}$ ${\displaystyle Y=Y\oplus Y.}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y.}$

Los supuestos de "autoescisión" de que y no pueden eliminarse: Tim Gowers demostró en 1996 que existen espacios de Banach no isomorfos y , cada uno complementado en el otro. ^[12] ${\displaystyle X=X\oplus X}$ ${\displaystyle Y=Y\oplus Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

En los espacios de Banach clásicos

La comprensión de los subespacios complementados de un espacio de Banach arbitrario hasta el isomorfismo es un problema clásico que ha motivado mucho trabajo en la teoría de bases, en particular el desarrollo de operadores de suma absoluta. El problema permanece abierto para una variedad de espacios de Banach importantes, en particular el espacio . ^[13] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle L_{1}[0,1]}$

Para algunos espacios de Banach la cuestión está cerrada. El más famoso es el siguiente: si los únicos subespacios de dimensión infinita complementados de son isomorfos a y lo mismo ocurre con Tales espacios se denominan primos (cuando sus únicos subespacios de dimensión infinita complementados son isomorfos al original). Sin embargo, estos no son los únicos espacios primos. ^[13] ${\displaystyle 1\leq p\leq \infty }$ ${\displaystyle \ell _{p}}$ ${\displaystyle \ell _{p},}$ ${\displaystyle c_{0}.}$

Los espacios no son primos siempre que , de hecho, admitan un número incontable de subespacios complementados no isomorfos. ^[13] ${\displaystyle L_{p}[0,1]}$ ${\displaystyle p\in (1,2)\cup (2,\infty );}$

Los espacios y son isomorfos a y respectivamente, por lo que de hecho son primos. ^[13] ${\displaystyle L_{2}[0,1]}$ ${\displaystyle L_{\infty }[0,1]}$ ${\displaystyle \ell _{2}}$ ${\displaystyle \ell _{\infty },}$

El espacio no es primo, porque contiene una copia complementada de . Actualmente no se conocen otros subespacios complementados de . ^[13] ${\displaystyle L_{1}[0,1]}$ ${\displaystyle \ell _{1}}$ ${\displaystyle L_{1}[0,1]}$

Espacios de Banach indecomponibles

Un espacio de Banach de dimensión infinita se denomina indecomponible siempre que sus únicos subespacios complementados sean de dimensión finita o -codimensional. Debido a que un subespacio finito- codimensional de un espacio de Banach es siempre isomorfo a los espacios de Banach indecomponibles, son primos. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X,}$

El ejemplo más conocido de espacios indecomponibles es, de hecho, el de los hereditariamente indecomponibles, lo que significa que todo subespacio de dimensión infinita también es indecomponible. ^[14]

Véase también

• Suma directa  : Operación de álgebra abstracta que compone objetos en objetos "más complicados"
• Suma directa de módulos  – Operación en álgebra abstracta
• Suma directa de grupos topológicos

Pruebas

1. está cerrado porque está completo y es Hausdorff. ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \mathbb {K} ^{I}}$ ${\displaystyle X}$
   Sea un isomorfismo TVS; cada uno es un funcional lineal continuo. Por el teorema de Hahn-Banach , podemos extender cada uno a un funcional lineal continuo en La función conjunta es una sobreyección lineal continua cuya restricción a es . La composición es entonces una proyección continua continua sobre . ${\displaystyle f=\left(f_{i}\right)_{i\in I}:Y\to \mathbb {K} ^{I}}$ ${\displaystyle f_{i}:Y\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle f_{i}}$ ${\displaystyle F_{i}:X\to \mathbb {K} }$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle F:X\to \mathbb {K} ^{I}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle P=f^{-1}\circ F:X\to Y}$ ${\displaystyle Y}$

   QED
2. En un espacio de Hausdorff, es cerrado. Un espacio complementado es el núcleo de la proyección (continua) sobre su complemento. Por lo tanto, es la preimagen de bajo una función continua y, por lo tanto, cerrado. ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle \{0\}}$
   QED
3. Cualquier secuencia define una función sumatoria . Pero si son (algebraicamente) linealmente independientes y tienen soporte completo, entonces . ${\displaystyle \{e_{j}\}_{j=0}^{\infty }\in X^{\omega }}$ ${\displaystyle T:l^{1}\to X;T(\{x_{j}\}_{j})=\sum _{j}{x_{j}e_{j}}}$ ${\displaystyle \{e_{j}\}_{j}}$ ${\displaystyle \{x_{j}\}_{j}}$ ${\displaystyle T(x)\in {\overline {\operatorname {span} {\{e_{j}\}_{j}}}}\setminus \operatorname {span} {\{e_{j}\}_{j}}}$
   QED

Referencias

1. Grothendieck 1973, págs. 34–36.
2. Fabián, Marián J.; Habala, Petr; Hájek, Petr; Montesinos Santalucía, Vicente; Zizler, Václav (2011). Teoría del espacio de Banach: la base del análisis lineal y no lineal (PDF) . Nueva York: Springer. págs. 179–181. doi :10.1007/978-1-4419-7515-7. ISBN 978-1-4419-7515-7.
3. Brezis, Haim (2011). Análisis funcional, espacios de Sobolev y ecuaciones diferenciales parciales . Universitext. Nueva York: Springer. pp. 38–39. ISBN 978-0-387-70913-0.
4. Schaefer y Wolff 1999, págs. 19-24.
5. Trèves 2006, pág. 36.
6. Wilansky 2013, pág. 63.
7. Rudin 1991, pág. 106.
8. Serre, Jean-Pierre (1955). "Un teorema de dualidad". Comentarios Mathematici Helvetici . 29 (1): 9–26. doi :10.1007/BF02564268. S2CID  123643759.
9. Lindenstrauss, J., y Tzafriri, L. (1971). Sobre el problema de los subespacios complementados. Israel Journal of Mathematics, 9, 263-269.
10. Jarchow 1981, págs. 129-130.
11. Schaefer y Wolff 1999, págs. 190-202.
12. Narici y Beckenstein 2011, págs. 100–101.
13. Albiac, Fernando; Kalton, Nigel J. (2006). Temas de la teoría espacial de Banach. GTM 233 (2ª ed.). Suiza: Springer (publicado en 2016). págs. 29-232. doi :10.1007/978-3-319-31557-7. ISBN 978-3-319-31557-7.
14. Argyros, Spiros; Tolias, Andreas (2004). Métodos en la teoría de espacios de Banach hereditariamente indecomponibles. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-3521-0.

Bibliografía

• Bachman, George; Narici, Lawrence (2000). Análisis funcional (segunda edición). Mineola, Nueva York: Dover Publications. ISBN 978-0486402512.OCLC 829157984  .
• Grothendieck, Alexander (1973). Espacios vectoriales topológicos . Traducido por Chaljub, Orlando. Nueva York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7.OCLC 886098  .
• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Stuttgart: BG Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4.OCLC 8210342  .
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (segunda edición). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666.OCLC 144216834  .
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional. Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol. 8 (segunda edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5.OCLC 21163277  .
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol. 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprenta Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0.OCLC 840278135  .
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1.OCLC 853623322  .
• Wilansky, Albert (2013). Métodos modernos en espacios vectoriales topológicos . Mineola, Nueva York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4.OCLC 849801114  .