Suma directa de grupos topológicos

En matemáticas , un grupo topológico se denomina suma directa topológica ^[1] de dos subgrupos y si el mapa es un isomorfismo topológico, lo que significa que es un homeomorfismo y un isomorfismo de grupo . ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}\times H_{2}&\longrightarrow G\\(h_{1},h_{2})&\longmapsto h_{1}h_{2}\end{aligned}}}$$

Definición

De manera más general, se denomina suma directa a la de un conjunto finito de subgrupos de la función que es un isomorfismo topológico. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{n}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{i=1}^{n}H_{i}&\longrightarrow G\\(h_{i})_{i\in I}&\longmapsto h_{1}h_{2}\cdots h_{n}\end{aligned}}}$$

Si un grupo topológico es la suma directa topológica de la familia de subgrupos, entonces, en particular, como grupo abstracto (sin topología), también es la suma directa (en la forma habitual) de la familia. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{n}}$ ${\displaystyle H_{i}.}$

Sumandos directos topológicos

Dado un grupo topológico decimos que un subgrupo es una suma directa topológica de (o que se divide topológicamente de ) si y solo si existe otro subgrupo tal que sea la suma directa de los subgrupos y ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K\leq G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K.}$

Un subgrupo es un sumando directo topológico si y solo si la extensión de los grupos topológicos se divide, donde es la inclusión natural y es la proyección natural. ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle 0\to H{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}G/H\to 0}$$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \pi }$

Ejemplos

Supongamos que es un grupo abeliano localmente compacto que contiene al círculo unitario como subgrupo. Entonces es un sumando directo topológico de La misma afirmación es cierta para los números reales ^[2] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Véase también

• Subespacio complementado
• Suma directa  : Operación de álgebra abstracta que compone objetos en objetos "más complicados"
• Suma directa de módulos  – Operación en álgebra abstracta

Referencias

1. E. Hewitt y KA Ross, Análisis armónico abstracto. vol. I, segunda edición, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 115, Springer, Berlín, 1979. MR0551496 (81k:43001)
2. Armacost, David L. La estructura de los grupos abelianos localmente compactos. Monografías y libros de texto de matemáticas puras y aplicadas, 68. Marcel Dekker, Inc., Nueva York, 1981. vii+154 pp. ISBN  0-8247-1507-1 MR0637201 (83h:22010)