Coproducto

Construcción de teoría de categorías

En teoría de categorías , el coproducto , o suma categórica , es una construcción que incluye como ejemplos la unión disjunta de conjuntos y de espacios topológicos , el producto libre de grupos y la suma directa de módulos y espacios vectoriales . El coproducto de una familia de objetos es esencialmente el objeto "menos específico" al que cada objeto de la familia admite un morfismo . Es la noción dual de la teoría de categorías del producto categórico , lo que significa que la definición es la misma que la del producto pero con todas las flechas invertidas. A pesar de este cambio aparentemente inocuo en el nombre y la notación, los coproductos pueden ser y normalmente son dramáticamente diferentes de los productos dentro de una categoría dada.

Definición

Sea una categoría y sean y objetos de Un objeto se llama coproducto de y escrito o o a veces simplemente si existen morfismos y que satisfacen la siguiente propiedad universal : para cualquier objeto y cualquier morfismos y existe un morfismo único tal que y Es decir, el siguiente diagrama conmuta : ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle C.}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{2},}$ ${\displaystyle X_{1}\sqcup X_{2},}$ ${\displaystyle X_{1}\oplus X_{2},}$ ${\displaystyle X_{1}+X_{2},}$ ${\displaystyle i_{1}:X_{1}\to X_{1}\sqcup X_{2}}$ ${\displaystyle i_{2}:X_{2}\to X_{1}\sqcup X_{2}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{1}:X_{1}\to Y}$ ${\displaystyle f_{2}:X_{2}\to Y,}$ ${\displaystyle f:X_{1}\sqcup X_{2}\to Y}$ ${\displaystyle f_{1}=f\circ i_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}=f\circ i_{2}.}$

La única flecha que hace que este diagrama conmute puede denotarse como o Los morfismos y se denominan inyecciones canónicas , aunque no necesitan ser inyecciones o incluso mónicas . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f_{1}\sqcup f_{2},}$ ${\displaystyle f_{1}\oplus f_{2},}$ ${\displaystyle f_{1}+f_{2},}$ ${\displaystyle \left[f_{1},f_{2}\right].}$ ${\displaystyle i_{1}}$ ${\displaystyle i_{2}}$

La definición de un coproducto se puede extender a una familia arbitraria de objetos indexados por un conjunto El coproducto de la familia es un objeto junto con una colección de morfismos tales que, para cualquier objeto y cualquier colección de morfismos existe un morfismo único tal que Es decir, el siguiente diagrama conmuta para cada : ${\displaystyle J.}$ ${\displaystyle \left\{X_{j}:j\in J\right\}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i_{j}:X_{j}\to X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f_{j}:X_{j}\to Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle f_{j}=f\circ i_{j}.}$ ${\displaystyle j\in J}$

El coproducto de la familia a menudo se denomina o ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left\{X_{j}\right\}}$ ${\displaystyle \coprod _{j\in J}X_{j}}$ ${\displaystyle \bigoplus _{j\in J}X_{j}.}$

A veces se puede denotar el morfismo para indicar su dependencia del individuo s. ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle \coprod _{j\in J}f_{j}}$ ${\displaystyle f_{j}}$

Ejemplos

El coproducto en la categoría de conjuntos es simplemente la unión disjunta con las aplicaciones i _j siendo las aplicaciones de inclusión . A diferencia de los productos directos , los coproductos en otras categorías no están todos obviamente basados ​​en la noción de conjuntos, porque las uniones no se comportan bien con respecto a las operaciones de conservación (por ejemplo, la unión de dos grupos no necesita ser un grupo), y por lo tanto los coproductos en diferentes categorías pueden ser dramáticamente diferentes entre sí. Por ejemplo, el coproducto en la categoría de grupos , llamado producto libre , es bastante complicado. Por otro lado, en la categoría de grupos abelianos (e igualmente para espacios vectoriales ), el coproducto, llamado suma directa , consiste en los elementos del producto directo que tienen solo un número finito de términos distintos de cero. (Por lo tanto, coincide exactamente con el producto directo en el caso de un número finito de factores).

Dado un anillo conmutativo R , el coproducto en la categoría de las R -álgebras conmutativas es el producto tensorial . En la categoría de las R -álgebras (no conmutativas) , el coproducto es un cociente del álgebra tensorial (véase producto libre de las álgebras asociativas ).

En el caso de los espacios topológicos , los coproductos son uniones disjuntas con sus topologías de unión disjunta . Es decir, se trata de una unión disjunta de los conjuntos subyacentes, y los conjuntos abiertos son conjuntos abiertos en cada uno de los espacios , en un sentido bastante evidente. En la categoría de espacios puntiagudos , fundamental en la teoría de la homotopía , el coproducto es la suma en cuña (que equivale a unir una colección de espacios con puntos base en un punto base común).

El concepto de unión disjunta subyace en secreto a los ejemplos anteriores: la suma directa de los grupos abelianos es el grupo generado por la unión "casi" disjunta (unión disjunta de todos los elementos distintos de cero, junto con un cero común), de manera similar para los espacios vectoriales: el espacio abarcado por la unión "casi" disjunta; el producto libre para los grupos es generado por el conjunto de todas las letras de una unión "casi" disjunta similar donde no se permite que dos elementos de conjuntos diferentes conmuten. Este patrón se cumple para cualquier variedad en el sentido del álgebra universal .

El coproducto en la categoría de espacios de Banach con mapas cortos es la suma l 1 , que no puede conceptualizarse tan fácilmente como una suma "casi disjunta", pero sí tiene una bola unitaria generada casi disjuntamente por la bola unitaria que son los cofactores. ^[1]

El coproducto de una categoría poset es la operación de unión .

Discusión

La construcción de coproducto dada anteriormente es en realidad un caso especial de un colímite en teoría de categorías. El coproducto en una categoría puede definirse como el colímite de cualquier funtor de una categoría discreta en . No todas las familias tendrán un coproducto en general, pero si lo tienen, entonces el coproducto es único en un sentido fuerte: si y son dos coproductos de la familia , entonces (por la definición de coproductos) existe un isomorfismo único tal que para cada . ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$ ${\displaystyle i_{j}:X_{j}\rightarrow X}$ ${\displaystyle k_{j}:X_{j}\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle f\circ i_{j}=k_{j}}$ ${\displaystyle j\in J}$

Como ocurre con cualquier propiedad universal , el coproducto puede entenderse como un morfismo universal. Sea el funtor diagonal que asigna a cada objeto el par ordenado y a cada morfismo el par . Entonces el coproducto en viene dado por un morfismo universal al funtor del objeto en . ${\displaystyle \Delta :C\rightarrow C\times C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \left(X,X\right)}$ ${\displaystyle f:X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle \left(f,f\right)}$ ${\displaystyle X+Y}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \left(X,Y\right)}$ ${\displaystyle C\times C}$

El coproducto indexado por el conjunto vacío (es decir, un coproducto vacío ) es el mismo que un objeto inicial en . ${\displaystyle C}$

Si es un conjunto tal que existen todos los coproductos de las familias indexadas con , entonces es posible elegir los productos de manera compatible de modo que el coproducto se convierta en un funtor . El coproducto de la familia se denota entonces a menudo por ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C^{J}\rightarrow C}$ ${\displaystyle \lbrace X_{j}\rbrace }$

${\displaystyle \coprod _{j\in J}X_{j}}$

y los mapas se conocen como inyecciones naturales . ${\displaystyle i_{j}}$

Si denotamos el conjunto de todos los morfismos desde hasta en (es decir, un hom-conjunto en ), tenemos un isomorfismo natural ${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}\left(U,V\right)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle \operatorname {Hom} _{C}\left(\coprod _{j\in J}X_{j},Y\right)\cong \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} _{C}(X_{j},Y)}$

dada por la biyección que mapea cada tupla de morfismos

${\displaystyle (f_{j})_{j\in J}\in \prod _{j\in J}\operatorname {Hom} (X_{j},Y)}$

(un producto en Conjunto , la categoría de conjuntos , que es el producto cartesiano , por lo que es una tupla de morfismos) al morfismo

${\displaystyle \coprod _{j\in J}f_{j}\in \operatorname {Hom} \left(\coprod _{j\in J}X_{j},Y\right).}$

Que este mapa es una sobreyección se deduce de la conmutatividad del diagrama: cualquier morfismo es el coproducto de la tupla. ${\displaystyle f}$

${\displaystyle (f\circ i_{j})_{j\in J}.}$

Que se trata de una inyección se desprende de la construcción universal que estipula la unicidad de tales funciones. La naturalidad del isomorfismo es también una consecuencia del diagrama. Así, el hom-funtor contravariante transforma coproductos en productos. Dicho de otro modo, el hom-funtor, visto como un funtor de la categoría opuesta a Set , es continuo; conserva los límites (un coproducto en es un producto en ). ${\displaystyle C^{\operatorname {op} }}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{\operatorname {op} }}$

Si es un conjunto finito , digamos , entonces el coproducto de objetos se denota a menudo por . Supongamos que todos los coproductos finitos existen en C , se han elegido los funtores de coproducto como se indicó anteriormente y 0 denota el objeto inicial de C correspondiente al coproducto vacío. Entonces tenemos isomorfismos naturales ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J=\lbrace 1,\ldots ,n\rbrace }$ ${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{n}}$ ${\displaystyle X_{1}\oplus \ldots \oplus X_{n}}$

${\displaystyle X\oplus (Y\oplus Z)\cong (X\oplus Y)\oplus Z\cong X\oplus Y\oplus Z}$

${\displaystyle X\oplus 0\cong 0\oplus X\cong X}$

${\displaystyle X\oplus Y\cong Y\oplus X.}$

Estas propiedades son formalmente similares a las de un monoide conmutativo ; una categoría con coproductos finitos es un ejemplo de una categoría monoidal simétrica .

Si la categoría tiene un objeto cero , entonces tenemos un morfismo único (ya que es terminal ) y, por lo tanto, un morfismo . Como también es inicial, tenemos un isomorfismo canónico como en el párrafo anterior. Por lo tanto, tenemos morfismos y , por lo que inferimos un morfismo canónico . Esto puede extenderse por inducción a un morfismo canónico desde cualquier coproducto finito hasta el producto correspondiente. Este morfismo no necesita ser en general un isomorfismo; en Grp es un epimorfismo propio mientras que en Set _* (la categoría de conjuntos puntiagudos ) es un monomorfismo propio . En cualquier categoría preaditiva , este morfismo es un isomorfismo y el objeto correspondiente se conoce como biproducto . Una categoría con todos los biproductos finitos se conoce como categoría semiaditiva . ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X\rightarrow Z}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow Z\oplus Y}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle Z\oplus Y\cong Y}$ ${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow X}$ ${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X\oplus Y\rightarrow X\times Y}$

Si todas las familias de objetos indexadas por tienen coproductos en , entonces el coproducto comprende un funtor . Nótese que, al igual que el producto, este funtor es covariante . ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C^{J}\rightarrow C}$

Véase también

• Producto
• Límites y colimites
• Coecualizador
• Límite directo

Referencias

1. Qiaochu Yuan (23 de junio de 2012). "Espacios de Banach (y métricas de Lawvere y categorías cerradas)". Annoying Precision .

• Mac Lane, Saunders (1998). Categorías para el matemático en activo . Textos de posgrado en matemáticas . Vol. 5 (2.ª ed.). Nueva York, NY: Springer-Verlag . ISBN. 0-387-98403-8.Zbl 0906.18001  .

Enlaces externos

• Página web interactiva que genera ejemplos de coproductos en la categoría de conjuntos finitos. Escrita por Jocelyn Paine.