En matemáticas , la categoría de anillos , denotada por Ring , es la categoría cuyos objetos son anillos (con identidad) y cuyos morfismos son homomorfismos de anillos (que preservan la identidad). Como muchas categorías en matemáticas, la categoría de anillos es grande , lo que significa que la clase de todos los anillos es propia .
La categoría Ring es una categoría concreta, es decir, los objetos son conjuntos con estructura adicional (suma y multiplicación) y los morfismos son funciones que preservan esta estructura. Existe un functor olvidadizo natural
para la categoría de anillos a la categoría de conjuntos que envía cada anillo a su conjunto subyacente (por lo que "olvida" las operaciones de adición y multiplicación). Este funtor tiene un adjunto izquierdo
que asigna a cada conjunto X el anillo libre generado por X .
También se puede considerar la categoría de anillos como una categoría concreta sobre Ab (la categoría de los grupos abelianos ) o sobre Mon (la categoría de los monoides ). En concreto, existen funtores olvidadizos
que "olvidan" la multiplicación y la suma, respectivamente. Ambos funtores tienen adjuntos izquierdos. El adjunto izquierdo de A es el funtor que asigna a cada grupo abeliano X (considerado como un módulo Z ) el anillo tensorial T ( X ). El adjunto izquierdo de M es el funtor que asigna a cada monoide X el anillo monoide integral Z [ X ].
La categoría Ring es completa y cocompleta , lo que significa que todos los límites y colímites pequeños existen en Ring . Como muchas otras categorías algebraicas, el funtor olvidadizo U : Ring → Set crea (y preserva) límites y colímites filtrados , pero no preserva ni coproductos ni coecualizadores . Los funtores olvidadizos de Ab y Mon también crean y preservan límites.
Algunos ejemplos de límites y colimites en Ring incluyen:
A diferencia de muchas categorías estudiadas en matemáticas, no siempre existen morfismos entre pares de objetos en Ring . Esto es consecuencia de que los homomorfismos de anillo deben conservar la identidad. Por ejemplo, no existen morfismos desde el anillo cero 0 a ningún anillo distinto de cero. Una condición necesaria para que existan morfismos desde R a S es que la característica de S divida a la de R .
Tenga en cuenta que aunque algunos de los conjuntos de inicio están vacíos, la categoría Anillo todavía está conectada ya que tiene un objeto inicial.
Algunas clases especiales de morfismos en Ring incluyen:
La categoría de anillos tiene varias subcategorías importantes , entre las que se incluyen las subcategorías completas de anillos conmutativos , dominios integrales , dominios ideales principales y cuerpos .
La categoría de anillos conmutativos , denominada CRing , es la subcategoría completa de Ring cuyos objetos son todos anillos conmutativos . Esta categoría es uno de los objetos centrales de estudio en la materia de álgebra conmutativa .
Cualquier anillo puede hacerse conmutativo tomando el cociente por el ideal generado por todos los elementos de la forma ( xy − yx ). Esto define un funtor Ring → CRing que es adjunto por la izquierda al funtor de inclusión, de modo que CRing es una subcategoría reflexiva de Ring . El anillo conmutativo libre en un conjunto de generadores E es el anillo polinómico Z [ E ] cuyas variables se toman de E . Esto da un funtor adjunto por la izquierda al funtor olvidadizo de CRing a Set .
CRing está cerrado en términos de límites en Ring , lo que significa que los límites en CRing son los mismos que en Ring . Sin embargo, los colímites son generalmente diferentes. Se pueden formar tomando el cociente conmutativo de colímites en Ring . El coproducto de dos anillos conmutativos está dado por el producto tensorial de rings . Nuevamente, el coproducto de dos anillos conmutativos distintos de cero puede ser cero.
La categoría opuesta de CRing es equivalente a la categoría de esquemas afines . La equivalencia está dada por el funtor contravariante Spec que envía un anillo conmutativo a su espectro , un esquema afín .
La categoría de campos , denotada Campo , es la subcategoría completa de CRing cuyos objetos son campos . La categoría de campos no se comporta tan bien como otras categorías algebraicas. En particular, los campos libres no existen (es decir, no hay adjunto izquierdo para el funtor olvidadizo Campo → Conjunto ). De ello se deduce que Campo no es una subcategoría reflexiva de CRing .
La categoría de campos no es ni finitamente completa ni finitamente cocompleta. En particular, Campo no tiene productos ni coproductos.
Otro aspecto curioso de la categoría de cuerpos es que todo morfismo es un monomorfismo . Esto se deduce del hecho de que los únicos ideales en un cuerpo F son el ideal cero y el propio F. Por lo tanto, se pueden considerar los morfismos en un cuerpo como extensiones de un cuerpo .
La categoría de campos no es conexa . No hay morfismos entre campos de diferente característica . Los componentes conexos de Campo son las subcategorías completas de característica p , donde p = 0 o es un número primo . Cada una de estas subcategorías tiene un objeto inicial : el campo primo de característica p (que es Q si p = 0, en caso contrario el campo finito F p ).
Existe un funtor natural de Ring a la categoría de grupos , Grp , que envía cada anillo R a su grupo de unidades U ( R ) y cada homomorfismo de anillos a la restricción a U ( R ). Este funtor tiene un adjunto izquierdo que envía cada grupo G al anillo de grupo integral Z [ G ].
Otro funtor entre estas categorías envía cada anillo R al grupo de unidades del anillo matricial M 2 ( R ) que actúa sobre la línea proyectiva sobre un anillo P( R ).
Dado un anillo conmutativo R se puede definir la categoría R -Alg cuyos objetos son todos R -álgebras y cuyos morfismos son homomorfismos de R -álgebras .
La categoría de anillos puede considerarse un caso especial. Cada anillo puede considerarse una Z -álgebra de una manera única. Los homomorfismos de anillos son precisamente los homomorfismos de las Z -álgebras . La categoría de anillos es, por tanto, isomorfa a la categoría Z-Alg . [1] Muchas afirmaciones sobre la categoría de anillos pueden generalizarse a afirmaciones sobre la categoría de las R -álgebras.
Para cada anillo conmutativo R hay un funtor R -Alg → Ring que olvida la estructura del módulo R. Este funtor tiene un adjunto izquierdo que envía cada anillo A al producto tensorial R ⊗ Z A , considerado como un R -álgebra al establecer r ·( s ⊗ a ) = rs ⊗ a .
Muchos autores no requieren que los anillos tengan un elemento identidad multiplicativo y, en consecuencia, no requieren que el homomorfismo de anillos preserve la identidad (en caso de que exista). Esto conduce a una categoría bastante diferente. Para distinguirlas, llamamos a estas estructuras algebraicas rngs y a sus morfismos homomorfismos de rng . La categoría de todos los rngs se denotará por Rng .
La categoría de anillos, Ring , es una subcategoría no completa de Rng . No es completa porque hay homomorfismos de rng entre anillos que no preservan la identidad y, por lo tanto, no son morfismos en Ring . El funtor de inclusión Ring → Rng tiene un adjunto izquierdo que formalmente une una identidad a cualquier rng. El funtor de inclusión Ring → Rng respeta límites pero no colímites.
El anillo cero sirve como objeto inicial y terminal en Rng (es decir, es un objeto cero ). De ello se deduce que Rng , como Grp pero a diferencia de Ring , tiene morfismos cero . Estos son solo los homomorfismos de rng que asignan todo a 0. A pesar de la existencia de morfismos cero, Rng todavía no es una categoría preaditiva . La suma puntual de dos homomorfismos de rng generalmente no es un homomorfismo de rng.
Hay un funtor completamente fiel de la categoría de grupos abelianos a Rng que envía un grupo abeliano al rng asociado de cuadrado cero .
Las construcciones libres son menos naturales en Rng que en Ring . Por ejemplo, el rng libre generado por un conjunto { x } es el anillo de todos los polinomios enteros sobre x sin término constante, mientras que el anillo libre generado por { x } es simplemente el anillo de polinomios Z [ x ].