Suma directa de grupos topológicos.

En matemáticas , un grupo topológico se llama suma directa topológica ^[1] de dos subgrupos y si el mapa ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{1}}$ ${\displaystyle H_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}H_{1}\times H_{2}&\longrightarrow G\\(h_{1},h_{2})&\longmapsto h_{1}h_{2}\end{aligned}}}$$

homeomorfismoisomorfismo de grupo

Definición

De manera más general, se llama suma directa de un conjunto finito de subgrupos del mapa. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{n}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\prod _{i=1}^{n}H_{i}&\longrightarrow G\\(h_{i})_{i\in I}&\longmapsto h_{1}h_{2}\cdots h_{n}\end{aligned}}}$$

Si un grupo topológico es la suma directa topológica de la familia de subgrupos, entonces, en particular, como grupo abstracto (sin topología), también es la suma directa (de la forma habitual) de la familia. ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H_{1},\ldots ,H_{n}}$ ${\displaystyle H_{i}.}$

Sumandos directos topológicos

Dado un grupo topológico decimos que un subgrupo es una suma topológica directa de (o que se divide topológicamente de ) si y sólo si existe otro subgrupo tal que sea la suma directa de los subgrupos y ${\displaystyle G,}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle K\leq G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle K.}$

A el subgrupo es una suma directa topológica si y solo si la extensión de los grupos topológicos ${\displaystyle H}$

$${\displaystyle 0\to H{\stackrel {i}{{}\to {}}}G{\stackrel {\pi }{{}\to {}}}G/H\to 0}$$

${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \pi }$

Ejemplos

Supongamos que es un grupo abeliano localmente compacto que contiene el círculo unitario como subgrupo. Entonces es una suma directa topológica de La misma afirmación es cierta para los números reales ^[2] ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

Ver también

• Subespacio complementado
• Suma directa  : operación en álgebra abstracta que compone objetos en objetos "más complicados"
• Suma directa de módulos  – Operación en álgebra abstracta

Referencias

1. E. Hewitt y KA Ross, Análisis armónico abstracto. vol. I, segunda edición, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 115, Springer, Berlín, 1979. MR0551496 (81k:43001)
2. Armacost, David L. La estructura de grupos abelianos localmente compactos. Monografías y libros de texto sobre matemáticas puras y aplicadas, 68. Marcel Dekker, Inc., Nueva York, 1981. vii+154 págs. ISBN  0-8247-1507-1 MR0637201 (83h:22010)